第三章代数式（图形数字规律的探索与整式加减实际应用压轴）

第三章代数式（压轴题专练）一、图形类规律探索1．数学实践课中：一张纸片，第一次将其撕成四小片,以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去,撕到第2次手中共有7张纸片，问撕到第4次时，手中共有张，撕到第n次时，手中共有（用含有n的代数式表示）张．【答案】133n+1【详解】解：从图中可以看出，当撕了1次时，手中有4张纸=3×1+1；当撕了2次时，手中有7张纸=3×2+1；当撕了3次时，手中有10张纸=3×3+1；…可以发现：撕了几次后，手中纸的张数等于3与几的乘积加1．所以，当撕了4次时，手中有3×4+1=13张纸．设撕的次数为n，纸的张数为s，按照规律可得：s=3n+1．故答案为：13；3n+1．2．下列是用火柴棒拼出的一列图形．仔细观察，找出规律，解答下列各题：(1)第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴；(2)第n个图形中共有_________根火柴(用含n的式子表示)(3)若f(n)=2n−1（如f(−2)=2×(−2)−1，f(3)=2×3−1），求的值．(4)请判断上组图形中前2017个图形火柴总数是2017的倍数吗，并说明理由?【答案】(1)17，25(2)(4n+1)(3)2017(4)是，理由见解析【详解】（1）第4个图案中火柴有4×4+1=17；第6个图案中火柴有4×6+1=25；（2）当n=1时，火柴的根数是4×1+1=5；当n=2时，火柴的根数是4×2+1=9；当n=3时，火柴的根数是4×3+1=13；所以第n个图形中火柴有4n+1．（3）f(1)=2×1−1=1，f(2)=2×2−1=3，f(3)=2×3−1=5，∴原式=2017.（4）4×1+1+4×2+1+⋯+4×2017+1=4×（1+2+⋯+2017）+1×2017=4××（1+2017）×2017+2017=2×（1+2017）×2017+2017=4037×2017.∴是2017倍数.3．请阅读下列材料，并解答相应的问题：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图“、“洛书“等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到3×3的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．（1）设图1的三阶幻方中间的数字是x，用x的代数式表示幻方中9个数的和为；（2）请你将下列九个数：﹣10、﹣8、﹣6、﹣4、﹣2、0、2、4、6分别填入图2方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等；（3）图3是一个三阶幻方，那么标有x的方格中所填的数是；（4）如图4所示的每一个圆中分别填写了1、2、3…19中的一个数字（不同的圆中填写的数字各不相同），使得图中每一个横或斜方向的线段上几个圆内的数之和都相等，现在已知该图中七个圆内的数字，则图中的x＝，y＝．【答案】（1）9x；（2）答案见解析；（3）21；（4）1,19.【详解】解：（1）三阶幻方如图1所示：用x的代数式表示幻方中9个数的和S＝（x+3）+（x﹣4）+（x+1）+（x﹣2）+（x+2）+x+（x﹣1）+（x+4）+（x﹣3）＝9x；故答案为9x；（2）三阶幻方如图2所示：（3）故答案为21；（4）如图所示：x＝1，y＝19；故答案气为1，19；4．数学问题：计算（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣．探究二：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，两边同除以2，得+++…+=﹣．探究三：计算+++…+．（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算+++…+．（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n次分割图可得等式：_________，所以，+++…+=________．拓广应用：计算+++…+．【答案】【答题空1】【答题空2】【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…，第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为：，最后的空白部分的面积是，根据第n次分割图可得等式：=1﹣，两边同除以3，得=；解决问题：=1﹣，=；故答案为=1﹣，；拓广应用：，=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣，=n﹣（+++…+），=n﹣（﹣），=n﹣+．5．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．【I】如图，请你用“数形结合”的思想．（1）求的值为；（2）请你利用（1）的结论，求下列各式的值：①=；②计算：【II】将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片宽为a，长为b），请你仔细观察图形，解答下列问题：（1）a和b之间的关系满足．（2）图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是．（3）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据面积的不同表示方法，请你写出（ba）2与（b+a）2，ab三个代数式之间的等量关系；应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：x+y＝9，xy＝，求x﹣y的值．【答案】【I】（1）；（2）①；②；【II】（1）b＝3a；（2）；（3）．【详解】【I】（1）根据图形面积得出这些数的和即为1与的面积差，故答案为：；（2）分析得：故答案为：；（3）分析得：故答案为：【Ⅱ】（1）由大长方形的长的不同拼图可得，4b＝3a+3b，即b＝3a，故答案为：b＝3a；（2）由于b＝3a，大长方形的长为4b＝12a，宽为3a+b＝6a，因此面积为12a×6a＝72a2；阴影部分的面积为3（b﹣a）2＝3（2a）2＝12a2；因此其比值为，故答案为：；（3）如图，阴影正方形的边长为，因此面积为，正方形ABCD的边长为，因此面积为，四个小矩形的面积为4ab，因此有，故答案为：；把：，代入得，，∴．二、数字规律探索6．现有一列数，，，…，，，，其中，，，且满足任意相邻三个数的和为定值，则的值为.【答案】26【详解】因为任意相邻三个数的和为定值所以所以，，，因为，，所以因为所以所以故答案为267．一列数：，，，，，其中，，且当时，，用含的式子表示的结果是．【答案】【详解】解：，有，，，，，左右两边同时累加得，令，则，，解得：．．故答案为：．8．设，，，…；另设，，，…．已知是一个关于的三次多项式（为正整数），可表示为，则．【答案】1【详解】解：∵N1=n1=1∴令k=1，则有：N1==a+b+c+d∴a+b+c+d=1．故填1．9．为了求的值，可令，则，因此，所以.请仿照以上推理计算出的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：令∴∴∴∴故选D10．观察下列各等式：第1个：；第2个：；第3个：……（1）这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用发现的规律猜想并填空：若为大于1的正整数，则______；（2）利用（1）的猜想计算：（为大于1的正整数）；（3）拓展与应用：计算（为大于1的正整数）．【答案】（1）；（2）；（3）．【详解】解：（1）若为大于1的正整数，则根据这些等式的运算规律可得：，故答案为：；（2）（3）．三、整式加减的应用11．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为3a厘米，宽为（2a－b）厘米）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．（1）求大长方形ABCD的周长；（2）求图②中两块阴影部分周长之和．（用含a，b的式子表示）【答案】(1)10a2b;(2)8a4b.【详解】解：（1）大长方形ABCD的周长为：2（3a+2ab）=10a2b；（2）设小长方形的长为m，宽为n；则大阴影的长宽分别为：3a2n，2ab2n，周长为：2（3a2n+2ab2n）=10a2b8n小阴影的长宽分别为：3am，2abm，周长为：2（3am+2abm）=10a2b4m由图2可知：m+2n=3a两块阴影部分周长之和2（10a2b）4m8n=2（10a2b）4（m+2n）=20a4b12a=8a4b12．将7张相同的长方形纸片(如图1)按图2所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好可以分割为两个长方形，面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b.(1)当a=9,b=2,AD=30时，S1－S2=______.(2)当AD=30时，用含a,b的式子表示S1－S2.(3)若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而且S1－S2的值总保持不变，则a，b满足的关系是______.

【答案】(1)48；(2)30a－120b+ab；(3)a=4b.【详解】(