第3章《一元一次方程》-2021-2022学年七年级数学上册章节复习考点分类（人教版）

20212022学年人教版数学七年级上册章节复习考点分类精编讲义第3章一元一次方程知识点：一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．考点1：方程的定义【典例分析1】（2020秋•北海期末）下列式子中，是方程的是（）A．2x﹣5≠0 B．2x＝3 C．1﹣3＝﹣2 D．7y﹣1【思路引导】根据方程的意义：含有未知数的等式叫做方程，以此逐项分析后再进行选择．【完整解答】解：A、虽然含有未知数，但它是不等式，不是方程．B、既有未知数又是等式，且备了方程的条件，因此是方程．C、虽然等式，但它没含有未知数，不是方程．D、只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程．故选：B．【变式训练1】（2019春•奉贤区期中）方程+3＝0中，的次数是2次．【思路引导】根据单项式的次数解答即可．【完整解答】解：方程+3＝0中，的次数是2次．故答案为：2．【变式训练2】（2017秋•博兴县期中）已知式子：①3﹣4＝﹣1；②2x﹣5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；⑤3x2﹣2x+1＝0，其中是等式的有①③④⑤，是方程的有③④⑤．【思路引导】等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含未知数，②是等式．【完整解答】解：①3﹣4＝﹣1是等式；③1+2x＝0即是等式也是方程；④6x+4y＝2即是等式也是方程；⑤3x2﹣2x+1＝0即是等式也是方程，故答案为：①③④⑤；③④⑤．【变式训练3】（2009•江东区质检）在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①3x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1．【思路引导】根据一次方程与一元一次方程的定义即可解答．【完整解答】解：（1）一元方程，①3x+5＝9②x2+4x+4＝0；（2）一次方程①3x+5＝9⑤x﹣y+z＝8③2x+3y＝5；（3）既属于一元方程又属于一次方程的是①3x+5＝9．考点2：方程的解【典例分析2】（2021春•南阳期末）如果关于x的方程2x+k﹣4＝0的解x＝﹣3，那么k的值是（）A．﹣10 B．10 C．2 D．﹣2【思路引导】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．【完整解答】解：把x＝﹣3代入方程2x+k﹣4＝0，得：﹣6+k﹣4＝0解得：k＝10．故选：B．【变式训练4】（2021春•大英县期末）下列方程中，解是x＝4的是（）A．3x+1＝11 B．﹣2x﹣4＝0 C．3x﹣8＝4 D．4x＝1【思路引导】把x＝4代入各方程检验即可．【完整解答】解：解是x＝4的方程是3x﹣8＝4，故选：C．【变式训练5】（2021春•普陀区期中）在有理数范围内定义一个新的运算法则“*”；当a≥b时，a*b＝ab；当a＜b时，a*b＝ab．根据这个法则，方程4*（4*x）＝256的解是x＝1，3，16．【思路引导】根据运算法则当a≥b时，a*b＝ab；当a＜b时，a*b＝ab，分类讨论4与x的大小关系求解．【完整解答】解：由题意得①当x≤4时，4*（4*x）＝4*（4x），当4≥4x时，4*（4x）＝4＝256，解得x＝1．当4＜4x时，4*（4x）＝4x+1＝256，解得x＝3．②当x＞4时，4*（4*x）＝4*（4x）＝16x＝256，解得x＝16．故答案为：1，3，16．【变式训练6】（2019秋•靖远县期末）已知x＝﹣3是方程ax﹣6＝a+10的解，则a＝﹣4．【思路引导】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，解方程可求出a的值．【完整解答】解：把x＝﹣3代入方程ax﹣6＝a+10，得：﹣3a﹣6＝a+10，解方程得：a＝﹣4．故填：﹣4．【变式训练7】（2018秋•海淀区校级期中）阅读下列材料：关于x的方程x3+x＝13+1的解是x＝1；x3+x＝23+2的解是x＝2；x3+x＝（﹣2）3+（﹣2）的解是x＝﹣2；以上材料，解答下列问题：（1）观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于x的方程x3+x＝43+4的解为x＝4．（2）比较关于x的方程x3+x＝a3+a与上面各式的关系，猜想它的解是x＝a．（3）请验证第（2）问猜想的结论，（4）利用第（2）问的结论，求解关于x的方程（x﹣1）3+x＝（a+1）3+a+2的解．【思路引导】（1）根据已知方程的特点与解的关系即可写出方程的解；（2）结合（1）即可写出方程的解；（3）将x＝a代入方程左边，即可进行验证；（4）原方程可以变形为：（x﹣1）3+x﹣1＝（a+1）3+a+1把x﹣1当作一个整体，即可求解．【完整解答】解：（1）根据阅读材料可知：关于x的方程x3+x＝43+4的解为x＝4；故答案为：x＝4；（2）关于x的方程x3+x＝a3+a它的解是x＝a；故答案为：x＝a；（3）把x＝a代入等式左边＝a3+a＝右边；（4）（x﹣1）3+x＝（a+1）3+a+2整理，得（x﹣1）3+x﹣1＝（a+1）3+a+1，所以x﹣1＝a+1，解得x＝a+2．知识点：等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．考点3：等式的性质【典例分析3】（2020秋•下城区期末）设a，b，c均为实数，且满足（a﹣1）b＝（a﹣1）c，下列说法正确的是（）A．若a≠1，则b﹣c＝0 B．若a≠1，则＝1 C．若b≠c，则a+b≠c D．若a＝1，则ab＝c【思路引导】根据等式的性质解答即可．【完整解答】解：A．∵a≠1，∴a﹣1≠0，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴除以（a﹣1）得：b＝c，∴b﹣c＝0，故本选项符合题意；B．∵a≠1，∴a﹣1≠0，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴除以（a﹣1）得：b＝c，如果c＝0，则不成立，题目中没有对c的取值进行限定，因此B选项不符合题意；C．若b≠c，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴a﹣1＝0，b、c的大小关系不能确定，故本选项不符合题意；D．若a＝1，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴a﹣1＝0，b、c的大小关系不能确定，故本选项不符合题意；故选：A．【变式训练8】（2021•泗洪县三模）如果△+△＝★，〇＝□+□，△＝〇+〇+〇+〇，那么★÷□的值为16．【思路引导】根据题意可知★＝2个△＝8个〇＝16个□，再代入★÷□即可计算求解．【完整解答】解：∵△+△＝★，∴★＝2个△，∵△＝〇+〇+〇+〇，∴★＝8个〇，∵〇＝□+□，∴★＝16个□，∴★÷□＝16．故答案为：16．【变式训练9】（2019秋•长安区期末）阅读框图，在五个步骤中，依据等式的性质2的步骤有①⑤（只填序号）．【思路引导】根据等式的性质判断即可．【完整解答】解：解方程时，去分母，化系数为1时，用到等式的性质，故答案为①⑤．【变式训练10】（2020秋•饶平县校级期末）比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为3a+5＝4a．【思路引导】根据题意a的3倍表示为3a，即得出3a+5，同理a的4倍表示为4a，再用等号连接即可．【完整解答】解：根据题意得：3a+5＝4a．故答案为：3a+5＝4a．【变式训练11】（2020秋•饶平县校级期末）阅读题：课本上有这样一道例题：“解方程：解：去分母得：6（x+15）＝15﹣10（x﹣7）…①6x+90＝15﹣10x+70…②16x＝﹣5…③…④请回答下列问题：（1）得到①式的依据是等式性质2：等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，两边依然相等．；（2）得到②式的依据是乘法分配律；（3）得到③式的依据是等式性质1：等式两边同时加上（或减去）相等的数或式子，两边依然相等．；（4）得到④式的依据是等式性质2：等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，两边依然相等．．【思路引导】1、去分母时，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项．2、用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号．3、移项要变号．【完整解答】解：（1）得到①式的依据是等式性质2：等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，两边依然相等．（2）得到②式的依据是乘法分配律．（3）得到③式的依据是等式性质1：等式两边同时加上（或减去）相等的数或式子，两边依然相等．（4）得到④式的依据是等式性质2．知识点：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．考点4：解一元一次方程【典例分析4】（2021•饶平县校级模拟）解方程时，去分母、去括号后，正确结果是（）A．4x+1﹣10x+1＝1 B．4x+2﹣10x﹣1＝1 C．4x+2﹣10x﹣1＝6 D．4x+2﹣10x+1＝6【思路引导】方程去分母，去括号得到结果，即可做出判断．【完整解答】解：方程去分母得：2（2x+1）﹣（10x+1）＝6，去括号得：4x+2﹣10x﹣1＝6，故选：C．【变式训练12】（2020•武汉模拟）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在1++…中，“…”代表按规律不断求和，设1++…＝x．则有x＝1+x，解得x＝2，故1++…＝2．类似地1++…的结果为（）A． B． C． D．2【思路引导】设，知，据此可得，再进一步求解可得．【完整解答】解：设，则，∴，解得，故选：B．【变式训练13】（2021•罗湖区校级模拟）对于三个数a，b，c，我们规定用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，如果M{3，2x+1，4x﹣1}＝min{2，﹣x+3，5x}，那么x＝或．【思路引导】依据M{3，2x+1，4x﹣1}＝min{2，﹣x+3，5x}，分三种情况讨论，即可得到x的值．【完整解答】解：M{3，2x+1，4x﹣1}＝min{2，﹣x+3，5x}，①若（3+2x+1+4x﹣1）＝2，则x＝，（符合题意）②若（3+2x+1+4x﹣1）＝﹣x+3，则x＝，（﹣x+3不是三个数中最小的数，不符合题意）③若（3+2x+1+4x﹣1）＝5x，则x＝，（符合题意）故答案为：或．【变式训练14】（2021春•洪洞县期末）若代数式3x+2与代数式5x﹣10的值互为相反数，则x＝1【思路引导】利用互为相反数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【完整解答】解：根据题意得：3x+2+5x﹣10＝0，移项合并得：8x＝8，解得：x＝1，故答案为：1【变式训练15】（2021•杭州模拟）解方程：（1）2（x+1）＝1﹣（x+3）．（2）+1＝．【思路引导】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【完整解答】解：（1）去括号得：2x+2＝1﹣x﹣3，移项合并得：3x＝﹣4，解得：x＝﹣；（2）去分母得：10x﹣14+12＝9x﹣3，移项合并得：x＝﹣1．【变式训练16】（2021春•万柏林区校级月考）若a*b＝c，则ac＝b．例如：若2*8＝3，则23＝8．（1）根据上述规定，若5*＝x，则x＝﹣3．（2）记5*2＝a，5*6＝b，5*18＝c，求a，b，c之间的数量关系．【思路引导】（1）根据定义和负整数指数幂公式即可解答；（2）根据定义得5a＝2，5b＝6，5c＝18，发现62＝2×18，从而得到a，b，c之间的关系．【完整解答】解：（1）根据题意得：5x＝＝＝5﹣3，∴x＝﹣3．故答案为：﹣3；（2）根据题意得：5a＝2，5b＝6，5c＝18，∴52b＝（5b）2＝62＝36，5a×5c＝2×18＝36，∴52b＝5a×5c＝5a+c，∴2b＝a+c．考点5：同解方程【典例分析5】（2021春•侯马市期末）关于x的方程3x+5＝0与3x＝1﹣3m的解相同，则m等于（）A．﹣2 B．2 C． D．【思路引导】根据已知方程求出3x＝﹣5，根据两方程的解相同得出1﹣3m＝﹣5，再求出方程的解即可．【完整解答】解：解方程3x+5＝0得：3x＝﹣5，∵关于x的方程3x+5＝0与3x＝1﹣3m的解相同，∴1﹣3m＝﹣5，解得：m＝2，故选：B．【变式训练17】（2021春•十堰期末）关于y的方程ay﹣2＝4与方程y﹣2＝1的解相同，则a的值（）A．2 B．3 C．4 D．﹣2【思路引导】求出第二个方程的解得到y的值，代入第一个方程即可求出a的值．【完整解答】解：由y﹣2＝1，得到y＝3，将y＝3代入ay﹣2＝4中，得：3a﹣2＝4，解得：a＝2．故选：A．【变式训练18】（2020•邢台二模）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，则a＝7；若[m]表示不大于m的最大整数，那么[﹣1]＝2．【思路引导】先解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，求出a的值，代入a的值进而可得结果．【完整解答】解：解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，得a＝7，所以．故答案为：7；2．【变式训练19】（2020秋•锦江区校级期末）已知关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程﹣1＝的解相同．（1）求m，n的值；（2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．【思路引导】（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值，根据两个方程同解可得n的值；（2）把m和n的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得a的值．【完整解答】解：（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程，∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，解得：m＝3，当m＝3时，方程为：6x+6n＝0，解得：x＝﹣n，﹣1＝，2（2x+1）﹣10＝5（x+n），4x+2﹣10＝5x+5n，4x﹣5x＝5n+8，﹣x＝5n+8，解得：x＝﹣5n﹣8，∴﹣5n﹣8＝﹣n，∴n＝﹣2；（2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，∴y＝，∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解，∴，∴a＝﹣4．【变式训练20】（2019秋•东湖区期末）已知关于x的方程3[x﹣2（x﹣）]＝4x和﹣＝1有相同的解，求这个解．【思路引导】根据题意分别用含a的式子表示出两个方程的解，再求出a的值，进而可得结果．【完整解答】解：因为关于x的方程3[x﹣2（x﹣）]＝4x和﹣＝1有相同的解，所以3[x﹣2（x﹣）]＝4x的解为：x＝，﹣＝1的解为：x＝，所以＝，解得a＝，将a＝代入第二个方程，2（3x+a）﹣（1﹣5x）＝8，11x＝9﹣2a，11x＝9﹣2×，解得x＝．知识点：用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.考点6：一元一次方程的实际应用【典例分析6】（2020秋•沙坪坝区校级期末）重庆地铁10号线是重庆市正在运营的一条地铁线路，与重庆轨道交通3号线一起承担主城核心区南北向骨干公共交通的功能．该条线路于2020年9月18日正式通车，起于鲤鱼池站，止于王家庄站，全长约35千米．下表是重庆地铁10号线首班车时刻表，开往王家庄方向和鲤鱼池方向的首班车的速度均为60千米/小时．重庆地铁10号线首班车时刻表车站名称往王家庄方向首班车时间往鲤鱼池方向首班车时间鲤鱼池6：10…………王家庄…6：05（1）求从王家庄站6：05开出的首班车到达鲤鱼池站的具体时刻．（2）求由鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇的具体时刻．【思路引导】（1）求出首班车行驶全程所需的时间即可得出结论；（2）设由鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇的时间为x小时，则等量关系为：两列首班车行驶的路程和＝35，依题等量关系列出方程即可求解．【完整解答】解：（1）∵首班车行驶全程所需的时间为：35÷60＝（小时）＝35（分钟），∴从王家庄站6：05开出的首班车到达鲤鱼池站的具体时刻为：6：40．（2）设两列首班车在由鲤鱼池站开出的首班车开出x小时后第一次相遇，则：60x+60（x+）＝35，解得：x＝．∴在由鲤鱼池站开出的首班车开出小时后两列首班车第一次相遇．∵小时＝15分钟，∴由鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇的具体时刻为：6：25．【变式训练21】（2021•呼和浩特一模）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完．已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为8人．【思路引导】由题意可知每人每天除草量是一定的，设此次参加社会实践活动的人数为x人，每人每天除草量为y，则上午在大片草地除草量为0.5xy，下午在大片草地除草量为0.5×0.5xy，下午在小片草地除草量为0.5×0.5xy，一个人刚好把剩下一块的小片地除完则为y，又因为大片草地的面积是小片草地的2倍，列出方程解答即可．【完整解答】解：由题可知每人每天除草量是一定的，设此次参加社会实践活动的人数为x人，每人每天除草量为y，则上午在大片草地除草量为0.5xy，下午在大片草地除草量为0.5×0.5xy，下午在小片草地除草量为0.5×0.5xy，一个人刚好把剩下一块的小片地除完则为y，又因为大片地的面积是小片地的2倍，列出方程，0.5xy+0.5×0.5xy＝2×（0.5×0.5xy+y），0.5xy+0.25xy＝0.5xy+2y，0.75xy﹣0.5xy＝2y，0.25xy＝2y，0.25x＝2，x＝8．答：此次参加社会实践活动的人数为8人．故答案为：8．【变式训练22】（2020秋•通州区期末）一笔奖金总额为1092元，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍，若把这笔奖金发给6个人，并且要求一等奖的人数不能超过二等奖人数，二等奖人数不能超过三等奖人数，那么三等奖的奖金金额是78元．【思路引导】设评一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，由a，b，c之间的关系结合a，b，c均为整数，即可得出a，b，c的值，设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，根据奖金的总额为1092元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论（取其为整数的值）．【完整解答】解：设评一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，则a+b+c＝6，0＜a≤b≤c，且a，b，c均为整数，∴或或．设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，依题意，得：4x+2x+4x＝1092，4x+2×2x+3x＝1092，2×4x+2×