专题4.1因式分解重难点题型8个（原卷版）

专题4.1因式分解重难点题型8个题型1因式分解概念及意义【解题技巧】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解可称为分解因式。1．（2022·辽宁·丹东市八年级期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．2．（2022·山东·宁阳县八年级阶段练习）下列式子中，是因式分解的（

）A．B．C．D．3．（2022·广东·深圳八年级期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）．A．B．C．D．4．（2022·山东中区·初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．45．（2022·重庆八中初二期中）若多项式可分解为，则的值为（）A． B． C． D．6．（2022·常德市淮阳中学初一期中）若多项式可以因式分解成，那么a=_____．题型2提公因式法【解题技巧】如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法挖掘隐含公因式：有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。1．（2022·东平县八年级月考）代数式，，中的公因式是（）A． B． C． D．2．（2022·陕西靖边·八年级期末）用提公因式法分解因式时，提取的公因式是（）A． B． C． D．3．（2022·陕西碑林·）将﹣a2b﹣ab2提公因式﹣ab后，另一个因式是（）A．a+2b B．﹣a+2b C．﹣a﹣b D．a﹣2b4．（2022·山东单县·初一期末）已知，则代数式的值为____________．5．（2022·上海市初一课时练习）因式分解：6．（2022·上海市静安区初一课时练习）分解因式：题型3运用公式法【解题技巧】若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.平方差公式a2_b2=(a+b)(ab)完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2利用完全平方公式分解因式时，要求被分解的多项式的形式满足完全平方公式的形式。首、末项必须是单项式平方的形式，准确地找到中间项时正确分解的关键，中间项的符号决定了分解结果的运算符号。1）平方差公式的应用1．（2022·重庆九年级）分解因式：__．2．（2022·江西九江·七年级期末）若，且，则______．3．（2022·湖南益阳·期末）下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（）A． B． C． D．4．（2022·潍坊美加实验学校其他）分解因式：___________．5．（2022·静宁县七年级期中）在实数范围内因式分解：a2－2＝______.6．（2022·山东东平县八年级月考）对于任何整数m，多项式都能被（）整除．A．8 B．m C． D．2）完全平方公式的应用1．（2022·广西兴宾·）已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（）A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③3．（2022·广东八年级专题练习）下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是（）A． B． C． D．4．（2022·湖南涟源·七年级月考）因式分解______．5．（2022·湖南九年级月考）分解因式：______．6．（2022·四川内江八年级开学考试）分解因式：________．3）综合应用1．（2022·浙江上虞·）下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（）A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤2．（2022·广东七年级专题练习）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（）A．B．C．D．3．（2022·山东茌平·七年级期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1；③a2+ab+b2；④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2022·辽宁灯塔·期末）分解因式题型4分组分解法【解题技巧】当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则可以找到每一组各自的公因式，再分解。分组分解法的分解原则是：分组之后的每组之间能够再提公因式或能套用公式。1．（2022·北京市陈经纶中学分校）阅读下面材料：分解因式：．因为，设．比较系数得，．解得．所以．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．2．（2022·全国八年级课时练习）（1）（______）（______）（______）（______）（______）；（2）（______）（______）（______）（______）（______）（______）（______）；（3）在多项式①；②；③；④中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号）________．3．（2022·四川渠县·八年级期末）因式分解：．4．（2022·山西吕梁·八年级期末）阅读以下材料，并解决问题：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：例1：……分成两组………………分别分解………提取公因式完成分解像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．(1)材料例1中，分组的目的是_________________．(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？__________________；__________________．(3)利用分组分解法进行因式分解：．5．（2022·新疆·八年级阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：例如：＝(x﹣y﹣2)(x﹣y+2)．②拆项法：例如：＝(x+1﹣2)(x+1+2)＝(x﹣1)(x+3)③十字相乘法：例如：+6x﹣7解：原式=（x+7）（x﹣1）(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）；②（拆项法）﹣6x+8；③（十字相乘法）﹣5x+6＝______．(2)已知：a、b、c为△ABC的三条边，﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．6．（2022·重庆·八年级阶段练习）因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．7．（2022·安徽马鞍山·七年级期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．①分解因式：；②若都是正整数且满足，求的值；（2）若为实数且满足，，求的最小值．题型5十字相乘法1．（2022·江西抚州·八年级期中）分解因式：___________．2．（2022·贵州铜仁·七年级期中）(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究与拓展】对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①

分解因式__________；②

若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．3．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；4．（2022·湖南岳阳·七年级期末）阅读理解题由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：．示例：分解因式：．分解因式：．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．（1）尝试：分解因式：（______）（______）；（2）应用：请用上述方法将多项式：、进行因式分解．5．（2022·湖南雨花外国语学校）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．6．（2022·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：例：分解因式：解：如图1，其中，，而所以而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式例：分解因式解：如图3，其中，，而，，所以请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①．②．（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．题型6利用因式分解判断三角形1．（2022·广东河源·八年级期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式；(2)已知：，．求：的值．(3)三边a，b，c满足，判断的形状．2．（2021·河北沧州·七年级期末）阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状并说明理由．3．（2022·湖南天元·初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程为：；这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）三边a，b，c满足，判断的形状.4．（2022·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：；(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．5．（2022·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．6．（2022·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．题型7利用因式分解求值1．（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）已知，则代数式的值为（

）A．2020 B．2024 C．2021 D．20342．（2022·甘肃·临泽二中八年级期末）已知a−b=3，ab=2，则的值为____________．3．（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级期末）若，，则___．4．（2022·张家界市民族中学初一期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则ab的值是__________．5．（2022·山西阳泉·初二期末）请阅读下列材料,并完成相应的任务．任务:（1）利用上述方法推导立方和公式(从左往右推导)；（2）已知,求的值．6.（2022•鲤城区校级期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．题型8因式分解的应用解题技巧：因式分解知识方法应用与人们日常生活紧密联系，解决应用型问题，常用提公因式法、运用公式法等，并且我们要注意需符合实际要求。1．（2022·江苏南京·初一期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．2.（2022•乳山市期中）【阅读材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．【问题解决】（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．3．（2022·山东平阴·）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．即：（m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．（1）若x2－4xy＋