14.2.1 平方差公式 人教版数学八年级上册同步课堂教案

第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.1平方差公式一、教学目标1.了解并掌握平方差公式及其结构特征.实际问题.二、教学重难点重点：平方差公式及其结构特征.难点：灵活应用平方差公式进行计算.三、教学过程2.理解平方差公式的探索及推导过程，灵活应用平方差公式进行计算和解决【新课导入】[复习导入]多项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq（a，b，p，q分别是单项式）.学生积极思考，教师带领复习多项式乘多项式的运算法则.之后利用多媒体展示如下动画，加强巩固：【新知探究】知识点平方差公式[提出问题]大家是不是已经掌握了多项式乘多项式的法则呢？下面我们就来做这几道题，看看你是否掌握了以前的知识．[课件展示]教师利用多媒体展示如下三道小题：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？①(x＋1)(x－1)=x2-1；②(m＋2)(m－2)=m2-4；③(2x＋1)(2x－1)=4x2-1.[学生回答]学生在练习本上演算，之后教师点名学生回答.[提出问题]观察：（1）相乘的两个多项式有什么特点？（2）积有什么特点？[学生回答]学生思考1分钟，积极举手发言，对于回答不完整的，其他学生进行补充，学生的可能回答：相乘的两个多项式都是二项式，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；积为相同项的平方减去相反数的项的平方.[提出问题]你能用字母表示出这样的等式吗？[课件展示]教师利用多媒体展示如下等式.[提出问题]怎样验证等式的正确性呢？[课件展示]教师利用多媒体展示如下两种验证方法.推导方法一：用多项式乘多项式推导(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.推导方法二：借助几何图形推导如图①，在边长为a的大正方形中截去一个边长为b的小正方形.求图中蓝色阴影部分的面积.解：蓝色阴影部分的面积=原大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2.(2)将蓝色阴影部分通过剪拼，组合成一个大长方形，如图②，则这个大长方形的长为a+b，宽为a-b，面积为（a+b）（a-b）.(3)面积变了吗？从中你得到了什么等式？解：面积没有改变，∴（a+b）（a-b）=a2-b2.[归纳总结](a+b)(a-b)=a2-b2.也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.平方差公式的特点：(1)等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同（a），另一项互为相反数（b和-b）；(2)等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方（a2）减去相反项的平方（b2）.[课件展示]教师利用多媒体展示以下示例，帮助学生更好地理解公式：[课件展示]教师利用多媒体展示以下“平方差公式的变形与应用”[提出问题]平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只要正确找到a和b，一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发．填一填：下列格式中，想要套用平方差公式，谁是a？谁是b？[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：例1运用平方差公式计算：(3x+2)(3x-2);(2)(-x+2y)(-x-2y).解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4；(2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.例2计算:(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5)；解:(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.(2)102×98.解:102×98=（100+2）(100-2)=1002-22=10000-4=9996.提醒学生：例1中的第(2)题应分清楚哪个相当于公式中的a，哪个相当于公式中的b.例2中的第(1)题中不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.例2中的第(2)题中通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.[课件展示]跟踪训练计算:（1）(3+2a)(-3+2a)；解：原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9；（2）(-2x2-y)(2x2-y).解：原式=(-y-2x2)(-y+2x2)=(-y)2-(2x2)2=y2-4x4.[课件展示]根据例题和跟踪训练中遇到的常见点，总结如下注意事项：【课堂小结】【课堂训练】1.（2021•杭州江干区模拟）(3+2y)(3-2y)=（B）A．9+4y2 B．9-4y2 C．9+2y2 D．9-2y22.下列式子中，能用平方差公式计算的是(C)A．(x+y)(x+y)B．(-x+y)(x-y)C．(-x-y)(y-x)D．(x+y)(-x-y)3.如图，将一个边长为a的正方形减去一个边长为b的小正方形，将剩余部分对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到（D）A．a2-b2=（a-b）2 B．a2-b2=（a+b）2C．a2-b2=a（a+b） D．a2-b2=（a+b）（a-b）【解析】第一个图中阴影部分的面积为a2-b2，第二个图中阴影部分的面积为（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），根据面积相等,得a2-b2=（a+b）（a-b）．故选D．4.（2021•百色模拟）（-x-2y）（-x+2y）=x2-4y2．5.（2021•广安）若x、y满足则代数式x2-4y2的值为-6．【解析】x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，故答案为-6．6.计算:(1)(3x+2)(3x-2)-(2x+3)(2x-3)；解:(1)原式=(3x)2-22-[(2x)2-32]=9x2-4-(4x2-9)=5x2+5.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解:（2)原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.7.（2021吉林）先化简，再求值：(x+2)(x-2)-x(x-1)，其中x=.解：原式=x2-4-（x2-x）=x2-4-x2+x=x-4.将x=代入上式，得原式=-4=.8.计算下列式子：(1)10.3×9.7;(2)2020×2022-20212.解：(1)10.3×9.7=(10+0.3)(10-0.3)=102-0.32=100-0.09=99.91;(2)2020×2022-20212=(2021-1)(2021+1)-20212=20212-1-20212=-1.【教学反思】前几节课学习了多项式乘多项式的运算法则，因此在回顾旧知识的基础上，利用法则来计算（x＋1)(x－1）、（m＋2)(m－2）、（2x＋1)(2x－1）的同时，直接引入本节课的内容，学生通过探究这三个多项式乘多项式中各个式的特征、结果的特征，猜测结论：（a+b）（a-b）=a2-b2，体现了从特殊到一般的思想，然后通过推导方法一与推导方法二（体现了数形结合的思想）来验证结论的正确性.推导方法一较为简单、易懂，推导方法二是用几何图形的面积说明平方差公式，为学生营造了一个宽松、和谐的学习环境.通过