2023-2024学年山东省烟台市高一上学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省烟台市2023-2024学年高一上学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，且，则m的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣1〖答案〗B〖解析〗因为，所以或，解得，或或，当时，，又集合中不能有相同的元素，所以.故选：B.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据全称命题的否定是特称命题，命题“”的否定为“”.故选：A.3.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，取，则，此时，故A错误；对于B，取，则，此时，故B错误；对于C，取，则，此时，故C错误；对于D，∵，且，∴，且，则，即，故D正确.故选：D.4.某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（）每户每年用气量单价不超过的部分超过但不超过的部分超过的部分A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗该户居民去年的用气量为，缴纳的燃气费为元，当时，，令，解得，不合题意；当时，，令，解得，符合题意；当时，，令，解得，不合题意，综上，.故选：C.5.在同一坐标系内，函数和的图象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故A错误；对于B，由函数的图象可知，由的图象可知且，相符，故B正确；对于C，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故C错误；对于D，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故D错误.故选：B.6.若函数的图象恒在图象的上方，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的图象恒在图象的上方，则恒成立，即恒成立，因为，所以，解得.故选：A.7.若在上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得在上单调递减，当时，的开口向上，对称轴，当时，，得，所以得：，解得：，故D项正确.故选：D.8.已知是定义在上奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗是定义在上的奇函数，则，又在上单调递增，，则在上单调递增，，，所以，当时，；当时，，可化为，可得或，即或，解得.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下各组函数中，表示同一函数的有（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗AC〖解析〗与的定义域，对应关系均相同，是同一函数，故A正确；由解得，则的定义域为，由解得或，则的定义域为或，则与的定义域不同，不是同一函数，故B错误；与的定义域，对应关系均相同，是同一函数，故C正确；的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误.故选：AC.10.给定集合，定义且，若，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗∵，∴，∴，当且仅当时取等号，则，故A正确；∵，，由新定义可知，，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：ABD.11.已知，，则（）A.的最大值为 B.的最小值为6C.的最大值为0 D.的最小值为〖答案〗AC〖解析〗对于A：，当且仅当时取到等号，A正确；对于B：，当且仅当时取到等号，B错误；对于C：，所以，所以，因为，所以，当且仅当取到等号，C正确；对于D：，由函数性质易知在单调递增，所以，所以，故D错误.故选：AC.12.德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（）A.在上单调递增 B.的图象关于点对称C.当时， D.当时，〖答案〗BCD〖解析〗由②得，即，得，而，得，∴，故A错误；由③可知，，即，则的图象关于点对称，故B正确；由②得，则，由③得，即，由，得，故C正确；由，得，则，∵任意，，∴当时，，即，∴，即，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为奇函数，则实数a的值为______．〖答案〗1〖解析〗因为为奇函数，所以，得，得，得.故〖答案〗为：1.14.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗不等式的解集记为，不等式，解得或，解集记为或，若“”是“”的充分不必要条件，则，所以.故〖答案〗：.15.已知命题，为真命题，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由题意得：当时，，不符题意；当时，的对称轴为，所以，只需，解得：，当时，显然满足题意，综上，的取值范围为.故〖答案〗为：.16.设，，用表示，中较小者，记为，则______；若方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为______.〖答案〗2〖解析〗，，则；由，解得，由，解得或，则，作出图象，如图，由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，此时方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为.故〖答案〗为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）当时，，所以.（2）因为，，所以，解得：.故的取值范围为：.18.已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求在上的〖解析〗式；（2）根据函数单调性定义，证明在区间上单调递减．解：（1）因为是定义在R上的奇函数，所以，当时，．当时，，又为奇函数，所以，即．综上，，，（2）任取，且，，因为，且所以，，且，所以，即，所以，函数在区间上单调递减．19.某工厂拟建造一个深为2.5米的长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，总造价不超过3万元，怎样设计水池，才能使其容积最大?最大容积是多少?解：设池底长为x米，宽为y米，则水池的容积为，由题意得，因为，当且仅当时取“＝”，所以，即，解得，即．所以，当，即池底的长和宽均为10米时，其容积最大．此时，最大容积为立方米.20.已知幂函数的图象经过点．（1）求的〖解析〗式；（2）若存在，使得，求实数a的取值范围．解：（1）设的〖解析〗式为，则，解得，因此．（2）因为，所以．令，则，且．令，，因为在单调递增，在单调递减，所以．因为存在，使得，所以．所以．又因为，所以的取值范围为.21.已知函数满足：，．令．（1）求值，并证明为偶函数；（2）当时，．(i)判断在上的单调性，并说明理由；(ii)若，求不等式的解集．解：（1）因为，所以定义域为，因为，令，则，所以．令，则，所以．令，则，所以，，所以为偶函数.（2）(i)因为，两边同除以得，即．任取，且，则，，因为当时，，所以，即，所以在上单调递增．(ii)因为，所以，所以原不等式可化为．又为偶函数，且在上单调递增，所以，解得或，所以原不等式的解集为或．22.已知函数，，（1）解关于x的不等式；（2）从①，②]这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并给出问题的解答．问题：是否存在正数t，使得?若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）由，则，即，①当时，不等式的解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式的解集为，综上，当时不等式的解集为，时不等式的解集为，时不等式的解集为.（2）因为是开口向下的二次函数，若选择条件①：此时的解集为，所以，，且，由，，得，解得，当时，，此时，所以，因此时符合题意；若选条件②：此时，，①当时，在单增，此时，且，所以，此时，矛盾；②当时，在单减，此时，且，所以，此时，与矛盾；③当时，在单增，单减，此时，且，所以，解得，当时，与矛盾；当时，满足，所以满足要求；④当时，在单增，单减，此时，且，所以，解得，当时，与矛盾；当时，与矛盾，故正数t的取值为，综上，若选①则，若选②则.山东省烟台市2023-2024学年高一上学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，且，则m的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣1〖答案〗B〖解析〗因为，所以或，解得，或或，当时，，又集合中不能有相同的元素，所以.故选：B.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据全称命题的否定是特称命题，命题“”的否定为“”.故选：A.3.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，取，则，此时，故A错误；对于B，取，则，此时，故B错误；对于C，取，则，此时，故C错误；对于D，∵，且，∴，且，则，即，故D正确.故选：D.4.某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（）每户每年用气量单价不超过的部分超过但不超过的部分超过的部分A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗该户居民去年的用气量为，缴纳的燃气费为元，当时，，令，解得，不合题意；当时，，令，解得，符合题意；当时，，令，解得，不合题意，综上，.故选：C.5.在同一坐标系内，函数和的图象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故A错误；对于B，由函数的图象可知，由的图象可知且，相符，故B正确；对于C，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故C错误；对于D，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故D错误.故选：B.6.若函数的图象恒在图象的上方，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的图象恒在图象的上方，则恒成立，即恒成立，因为，所以，解得.故选：A.7.若在上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得在上单调递减，当时，的开口向上，对称轴，当时，，得，所以得：，解得：，故D项正确.故选：D.8.已知是定义在上奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗是定义在上的奇函数，则，又在上单调递增，，则在上单调递增，，，所以，当时，；当时，，可化为，可得或，即或，解得.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下各组函数中，表示同一函数的有（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗AC〖解析〗与的定义域，对应关系均相同，是同一函数，故A正确；由解得，则的定义域为，由解得或，则的定义域为或，则与的定义域不同，不是同一函数，故B错误；与的定义域，对应关系均相同，是同一函数，故C正确；的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误.故选：AC.10.给定集合，定义且，若，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗∵，∴，∴，当且仅当时取等号，则，故A正确；∵，，由新定义可知，，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：ABD.11.已知，，则（）A.的最大值为 B.的最小值为6C.的最大值为0 D.的最小值为〖答案〗AC〖解析〗对于A：，当且仅当时取到等号，A正确；对于B：，当且仅当时取到等号，B错误；对于C：，所以，所以，因为，所以，当且仅当取到等号，C正确；对于D：，由函数性质易知在单调递增，所以，所以，故D错误.故选：AC.12.德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（）A.在上单调递增 B.的图象关于点对称C.当时， D.当时，〖答案〗BCD〖解析〗由②得，即，得，而，得，∴，故A错误；由③可知，，即，则的图象关于点对称，故B正确；由②得，则，由③得，即，由，得，故C正确；由，得，则，∵任意，，∴当时，，即，∴，即，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为奇函数，则实数a的值为______．〖答案〗1〖解析〗因为为奇函数，所以，得，得，得.故〖答案〗为：1.14.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗不等式的解集记为，不等式，解得或，解集记为或，若“”是“”的充分不必要条件，则，所以.故〖答案〗：.15.已知命题，为真命题，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由题意得：当时，，不符题意；当时，的对称轴为，所以，只需，解得：，当时，显然满足题意，综上，的取值范围为.故〖答案〗为：.16.设，，用表示，中较小者，记为，则______；若方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为______.〖答案〗2〖解析〗，，则；由，解得，由，解得或，则，作出图象，如图，由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，此时方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为.故〖答案〗为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）当时，，所以.（2）因为，，所以，解得：.故的取值范围为：.18.已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求在上的〖解析〗式；（2）根据函数单调性定义，证明在区间上单调递减．解：（1）因为是定义在R上的奇函数，所以，当时，．当时，，又为奇函数，所以，即．综上，，，（2）任取，且，，因为，且所以，，且，所以，即，所以，函数在区间上单调递减．19.某工厂拟建造一个深为2.5米的长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，总造价不超过3万元，怎样设计水池，才能使其容积最大?最大容积是多少?解：设池底长为x米，宽为y米，则水池的容积为，由题意得，因为，当且仅当时取“＝”，所以，即，解得，即．所以，当，即池底的长和宽均为10米时，其容积最大．此时，最大容积为立方米.20.已知幂函数的图象经过点．（1）求的〖解析〗式；（2）若存在，使得，求实数a的取值范围．解：（1）设的〖解析〗式为，则，解得，因此．（2）因为，所以．令，