2025届河南省偃师市高级中学培优部高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2025届河南省偃师市高级中学培优部高二数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.2．在等差数列中，已知，则（）A.4 B.8C.3 D.63．已知向量，，则等于（）A. B.C. D.4．在数列中，若，，则（）A.16 B.32C.64 D.1285．已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（）A椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆6．若圆与圆外切，则（）A. B.C. D.7．已知圆，圆C2：x2+y2－x－4y+7=0，则“a=1”是“两圆内切”的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件8．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.9．已知数列满足，，则的最小值为（）A. B.C. D.10．在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B.C. D.11．若函数在上为单调减函数，则的取值范围（）A. B.C. D.12．下列说法正确的有（）个.①向量，，，不一定成立；②圆与圆外切③若，则数是数，的等比中项.A.1 B.2C.3 D.0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．点到直线的距离为_______.14．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________15．圆和圆的公切线的条数为______16．一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点，，分别为，，的中点，平面棱（1）试确定的值，并证明你的结论；（2）求平面与平面夹角的余弦值18．（12分）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，点M和点N分别为PA和PC的中点（1）证明：直线DM∥平面PBC；（2）求直线BM和平面BDN所成角的余弦值；（3）求二面角M-BD-N正弦值；（4）求点P到平面DBN距离；（5）设点N在平面BDM内的射影为点H，求线段HA的长20．（12分）已知数列的前n项和，递增等比数列满足，且.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和为.21．（12分）已知圆C：，圆C与x轴交于A，B两点（1）求直线y＝x被圆C所截得的弦长；（2）圆M过点A，B，且圆心在直线y＝x+1上，求圆M的方程22．（10分）已知数列的前n项和为，且（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题设易知四边形为矩形，可得，结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.【详解】由椭圆的对称性知：，而，又，即四边形为矩形，所以，则且M在第一象限，整理得，所以，又即，综上，，整理得，所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性及矩形性质可得，由已知条件得到，进而得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.2、B【解析】根据等差数列的性质计算出正确答案.【详解】由等差数列的性质可知，得.故选:B3、C【解析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.【详解】由，，得，因此.故选：C.4、C【解析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，故.故选：C5、A【解析】根据椭圆的定义即可求解.【详解】解：，故，又，根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.故选：A.6、C【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆与圆可得，，因为两圆相外切，可得，解得故选：C.7、B【解析】先得出圆的圆心和半径，求出两圆心间的距离，半径之差，根据两圆内切得出方程，从而得出答案.【详解】圆的圆心半径的圆心半径两圆心之间的距离为两圆的半径之差为当两圆内切时，，解得或所以当，可得两圆内切，当两圆内切时，不能得出（可能）故“”是“两圆内切”的充分不必要条件故选：B8、B【解析】根据a的值和离心率可求得b,从而求得渐近线方程.【详解】由双曲线的离心率为，知，则，即有，故，所以双曲线C的渐近线方程为，即，故选：B.9、C【解析】采用叠加法求出，由可得，结合对勾函数性质分析在或6取到最小值，代值运算即可求解.【详解】因为，所以，，，，式相加可得，所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.故选：C10、D【解析】过点作的垂线，垂足为，由线面垂直判定可知平面，则所求角即为，由长度关系求得即可.【详解】在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.，，，平面，平面，的正弦值即为所求角的正弦值，，，.故选：D.11、A【解析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知，对任意的恒成立，则，当时，在上单调递减，在上单调递减，所以，，故.故选：A.12、A【解析】由向量数量积为实数，以及向量共线定理，即可判断①；求出圆心距，即可判断两圆位置关系，从而判断②；取，即可判断③【详解】对于①，与共线，与共线，故不一定成立，故①正确；对于②，圆的圆心为，半径为，圆可变形为，故其圆心为，半径为，则圆心距，由，所以两圆相交，故②错误；对于③，若，取，则数不是数的等比中项，故③错误故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】应用点线距离公式求点线距离.【详解】由题设，点到距离为.故答案为：14、1【解析】根据三视图可得如图所示的几何体，从而可求其体积.【详解】据三视图分析知，该几何体为直三棱柱，且底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所以其体积故答案为：115、3【解析】判断出两个圆的位置关系，由此确定公切线的条数.内含关系0条公切线，内切关系1条公切线，相交关系2条公切线，外切关系3条公切线，外离关系4条公切线。【详解】由题知圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，所以，，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线.故答案为：316、【解析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥斜高为该六棱锥的侧面积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），证明见解析（2）【解析】（1），利用线面平行的判定和性质可得答案；（2）以为原点，所在直线分别为的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量由向量夹角公式可得答案.【小问1详解】.证明如下：在△中，因为点分别为的中点，所以//.又平面，平面，所以//平面.因为平面，平面平面，所以//所以//.在△中，因为点为的中点，所以点为的中点，即.【小问2详解】因为底面为正方形，所以.因为底面，所以，.如图，建立空间直角坐标系，则，，，因为分别为的中点，所以.所以，.设平面的法向量，则即令，于.又因为平面的法向量为，所以所以平面与平面夹角的余弦值为.18、（1）证明见解析；（2）；（3）或【解析】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值为.（3）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段AH的长为或.【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.19、（1）证明见解析（2）（3）（4）（5）【解析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，证明与平面的法向量垂直，从而证明直线平面（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直线和平面所成角的余弦值（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值（4）求出的坐标，再求出平面的法向量，利用向量法，求出点到平面的距离；（5）设点在平面内的射影为点，从而表示出的坐标，求出到平面的距离，列出方程组，求出点坐标，从而求出的长度.【小问1详解】四棱锥，底面是一个直角梯形，，平面，所以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的法向量，所以，，取，则，所以，平面，所以直线平面.【小问2详解】，，，设平面的法向量，则，即，取，则，设直线与平面所成的角为，则，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为.【小问3详解】设平面的法向量为，则，即，取，得，平面的法向量，设二面角的平面角为，则，所以，所以二面角的正弦值为.【小问4详解】，平面的法向量，所以点到平面的距离为.【小问5详解】设点在平面的射影为点，则，所以点到平面的距离为，根据，得解得，，，或者，，（舍）所以.20、（1），（2）【解析】（1）先求，再由求出，设等比数列的公比为q，由条件可得，解出结合条件可得答案.（2）由（1）可得，利用错位相减法可求【小问1详解】，当时，，也满足上式，∴，则.设等比数列的公比为q，由得，解得或.因为是递增等比数列，所以，.【小问2详解】①①①②：∴21、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解（2）根据已知圆的方程，令y＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径【小问1详解】∵圆C：，∴，即圆心为(－1,1)，半径r＝3，∵直线y＝x，即x－y＝0，∴圆心(－1,1)到直线x－y＝0的距离d＝，∴直线y＝x被圆C所截得的弦长为＝【小问2详解】设A（x1，y