2025届上海市虹口区上海外国语大学附属外国语学校数学高二上期末检测模拟试题含解析

2025届上海市虹口区上海外国语大学附属外国语学校数学高二上期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列{}中，，，则的值为（）A.18 B.20C.22 D.242．若动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，则此动圆与直线（）A.相交 B.相切C.相离 D.不确定3．已知点，则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.4．已知函数，则等于（）A.0 B.2C. D.5．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为6π，则椭圆C的标准方程为（）A. B.C. D.6．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题是“甲同学解出试题”，命题是“乙同学解出试题”，则命题“至少一位同学解出试题”可表示为（）A. B.C. D.7．已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（）A. B.C. D.8．已知△的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△的周长是（）A. B.C.8 D.169．已知直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，则a＝（）A. B.C.﹣1 D.110．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1 B.2C.3 D.411．已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.12．某人忘了电脑屏保密码的后两位，但记得最后一位是1，3，5，7，9中的一个数字，倒数第二位是G，O，D中的一个字母，若他尝试输入密码，则一次输入就解开屏保的概率是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆与圆的公共弦长为______14．某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时，弹簧振子的瞬时速度为_________mm/s.15．若圆C的方程为，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则的最大值为______16．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求不等式的解集.18．（12分）已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和19．（12分）已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值20．（12分）一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示（1）请将字母F，G，H标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由）：（2）若且有下面两个条件：①；②，请选择其中一个条件，使得DF⊥平面，并证明你的结论21．（12分）如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由22．（10分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC上的动点，且.（1）求证：；（2）当时，求点A到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据等差数列通项公式相关计算求出公差，进而求出首项.【详解】设公差为，由题意得：，解得：，所以.故选：B2、B【解析】根据题意得定点为抛物线的焦点，为准线，进而根据抛物线的定义判断即可.【详解】解：由题知，定点为抛物线的焦点，为准线，因为动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，所以根据抛物线的定义得动圆的圆心到直线的距离等于圆心到定点，即圆心到直线的距离等于动圆的半径，所以动圆与直线相切.故选：B3、A【解析】由两点坐标，求出直线的斜率，利用，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】设直线AB的倾斜角为，因为，所以直线AB的斜率，即，因为，所以.故选：A4、D【解析】先通过诱导公式将函数化简，进而求出导函数，然后算出答案.【详解】由题意，，故选：D.5、D【解析】设椭圆的方程为，根据题意得到和，求得的值，即可求解.【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为，因为椭圆C的离心率为，可得，又由，即，解得，又因为椭圆的面积为，可得，即，联立方程组，解答，所以椭圆方程为.故选：D.6、D【解析】根据“或命题”的定义即可求得答案.【详解】“至少一位同学解出试题”的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题”.故选：D.7、D【解析】由离心率得，再由转化为【详解】因为，所以8a2＝9b2，所以故选：D.8、D【解析】根据椭圆定义求解【详解】由椭圆定义得△的周长是，故选：D.9、A【解析】利用两直线垂直斜率关系，即可求解.【详解】直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故选:A【点睛】本题考查两直线垂直间的关系，属于基础题.10、B【解析】因为随机事件指的是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，只需逐一判断4个事件哪一个符合这种情况即可【详解】解：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，①是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，②是随机事件从集合，2，中任取两个元素，它们的和必大于2，③是必然事件在标准大气压下，水加热到时才会沸腾，④是不可能事件故随机事件有2个，故选：B11、A【解析】先根据双曲线的离心率得到，然后由，得，即为所求的渐近线方程，进而可得结果【详解】∵双曲线的离心率，∴又由，得，即双曲线（）的渐近线方程为，∴双曲线的渐近线方程为故选：A12、C【解析】应用分步计数法求后两位的可能组合数，即可求一次输入就解开屏保的概率.【详解】由题设，后两位可能情况有，∴一次输入就解开屏保的概率是.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即该直线截其中一圆求弦长即可【详解】圆与圆两式相减得，公共弦所在直线方程为：圆，圆心为到公共弦的距离为：公共弦长故答案为：14、0【解析】根据题意得，进而根据导数几何意义求解时的导函数值即可得答案.【详解】解：因为，所以求导得，所以根据导数的几何意义得该振子在时的瞬时速度为,故答案为：.15、##【解析】根据点与圆的位置关系求得正确答案.【详解】圆的方程可化为，所以圆心为，半径.由于，所以原点在圆外，所以最大值为.故答案为：16、2【解析】设切点，根据，可得，在中，利用余弦定理构造齐次式，从而可得出答案.【详解】解：设切点，由，∴，∵为中点，则为中位线，∴，，中，，，，∴.故答案为：2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用与的关系求解即可；（2）首先利用裂项求和得到，从而得到，再解不等式即可.【小问1详解】令，则，当时，，当时，也符合上式，即数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）得，则，所以故可化为：，故，故不等式的解集为.18、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件求出数列的公比即可计算得解.(2)由(1)的结论求出，然后利用分组求和方法求解作答.【小问1详解】设等比数列的公比为q，而，且是递增数列，则，，解得，所以数列的通项公式是：.【小问2详解】由(1)知，，，，所以数列的前n项和.19、（1）（2）6【解析】（1）由椭圆的定义求解（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解【小问1详解】由题意可得，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；【小问2详解】由题意可设的方程为，联立方程得，设，，则由根与系数关系有，所以，根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，所以四边形ABDE面积为，令得，由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．20、（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）由展开图及直观图直接观察可得；（2）选择②，根据线面垂直的判定定理即可证明DF⊥平面.【小问1详解】如图，【小问2详解】若选择①，若此时有平面，则由平面可得，而平面，而平面，故，因为，则平面，由平面可得，故此时矩形为正方形，，矛盾.选择条件②，使得平面，下面证明如图，连接,在长方体中，平面，而平面，故，而，故矩形为正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.21、（1）证明见解析（2）（3）存在点，使得平面，且【解析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可证得结论，（2）可证得两两垂直，所以分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，（3）设，然后利用空间向量求解【小问1详解】证明：因为为正方形，所以又因为平面平面，且平面平面，所以平面平面所以；【小问2详解】由（1）可知，平面，所以，因为，所以两两垂直分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）因为，，所以，所以，设平面的一个法向量为，则,即令，则，；所以设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角为的正弦值为；【小问3详解】设，易知设，则，所以，所以，所以设平面的一个法向量为，则，因为，所以令，则，所以在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得因为，由，所以，