2025届浙江省绍兴市高级中学高一上数学期末学业水平测试试题含解析

2025届浙江省绍兴市高级中学高一上数学期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，有下面四个结论：①的一个周期为；②的图像关于直线对称；③当时，的值域是；④在(单调递减，其中正确结论的个数是（）A.1 B.2C.3 D.42．已知，，则（）A. B.C. D.3．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.4．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（）A. B.或C. D.或5．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），则函数f（x）为（）A.奇函数且在上单调递增 B.偶函数且在上单调递减C.非奇非偶函数且在上单调递增 D.非奇非偶函数且在上单调递减6．在下列区间中，函数fxA.0,14C.12,7．若－4<x<1，则（）A.有最小值1 B.有最大值1C.有最小值－1 D.有最大值－18．已知函数在上是增函数，则的取值范围是（）A.， B.，C.， D.，9．设，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.10．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（）A.90° B.45°C.60° D.30°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____12．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.13．设函数，则________.14．函数的图象恒过定点P，P在幂函数的图象上，则___________.15．已知，，则的最大值为______；若，，且，则______.16．函数是定义在上的奇函数，当时，，则______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得（1）若，求；（2）若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围18．直线过定点，交、正半轴于、两点，其中为坐标原点.（Ⅰ）当的倾斜角为时，斜边的中点为，求；（Ⅱ）记直线在、轴上的截距分别为，其中，求的最小值.19．已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求方程在区间内的所有实数根之和.20．已知直线l：与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：相外切求动圆圆心M的轨迹C的方程若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由21．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）与其耗氧量单位数之间的关系可以表示为函数，其中为常数，已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为时，其耗氧量为2700个单位.（1）求出游速与其耗氧量单位数之间的函数解析式；（2）求当一条鲑鱼的游速不高于时，其耗氧量至多需要多少个单位？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】函数周期.，故是函数的对称轴.由于，故③错误.，函数在不单调.故有个结论正确.【点睛】本题主要考查三角函数图像与性质，包括了周期性，对称性，值域和单调性.三角函数的周期性，其中正弦和余弦函数的周期都是利用公式来求解，而正切函数函数是利用公式来求解.三角函数的对称轴是使得函数取得最大值或者最小值的地方.对于选择题2、B【解析】应用同角关系可求得，再由余弦二倍角公式计算．【详解】因，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查余弦的二倍角公式．求值时要注意角的取值范围，以确定函数值的正负．3、A【解析】函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点，再分别画出和的图像，通过观察图像得出a的范围.【详解】解：方程所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点记，画出函数简图如下画出函数如图中过原点虚线l，平移l要保证图像有三个交点，向上最多平移到l’位置，向下平移一直会有三个交点，所以，即故选A.【点睛】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题4、C【解析】根据题意，直接求解即可.【详解】根据题意，由，得，因为不等式的解集为，所以由，知，解得，故不等式的解集为.故选：C.5、C【解析】根据已知求出a=，从而函数f（x）=，由此得到函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增【详解】∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），∴2a=，解得a=，∴函数f（x）=，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增故选C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6、C【解析】利用零点存在定理即可判断.【详解】函数fx=e因为函数y=ex,y=2x-3均为增函数，所以fx又f1=ef12=由零点存在定理可得：fx的零点所在的区间为1故选：C7、D【解析】先将转化为，根据－4<x<1，利用基本不等式求解.【详解】又∵－4<x<1，∴x－1<0∴－(x－1)>0∴．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.8、D【解析】先根据题意建立不等式组，再求解出，最后给出选项即可.【详解】解：因为函数在上是增函数，所以，解得，则故选：D.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，是基础题9、A【解析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,结合中间量法,即可比较大小.【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知综上可知,大小关系为故选:A【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用,中间值法是比较大小常用方法,属于基础题.10、D【解析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案.【详解】解：设G为AD的中点，连接GF，GE则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.∴，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数又EF⊥AB，∴EF⊥GF则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°∴在直角△GEF中，∴∠GEF=30°故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①③【解析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题12、9【解析】根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式求解.【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2，所以，所以扇形的面积为，故答案为：9.13、6【解析】根据分段函数的定义，分别求出和，计算即可求出结果.【详解】由题知，，，.故答案为：6.【点睛】本题考查了分段函数求函数值的问题，考查了对数的运算.属于基础题.14、64【解析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得.【详解】令，则，故点；设幂函数，则，则；故；故答案为：64.15、①.14②.10【解析】根据数量积的运算性质，计算的平方即可求出最大值，两边平方，可得，计算的平方即可求解.【详解】，当且仅当同向时等号成立，所以，即的最大值为14，由两边平方可得：，所以，所以，即.故答案为：14；10【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质，数量积的定义，考查了运算能力，属于中档题.16、11【解析】根据奇函数性质求出函数的解析式，然后逐层代入即可.【详解】，，当时，，即，，，故答案为：11.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.【小问1详解】当时，集合，集合，所以；【小问2详解】i.当选择条件①时，集合，当时，，舍；当集合时，即集合，时，，此时要满足，则，解得，结合，所以实数m的取值范围为或；ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，所以实数m取值范围为或；iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合子集，即，解得，所以实数m的取值范围为或；故，实数m的取值范围为或.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)9.【解析】(Ⅰ)首先求得直线方程与坐标轴的交点，然后求解的值即可；(Ⅱ)由题意结合截距式方程和均值不等式的结论求解的最小值即可.【详解】（Ⅰ），令令，.（Ⅱ）设，则，，当时，的最小值.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误19、（1）（2）【解析】（1）由图像得，并求解出周期为，从而得，再代入最大值，利用整体法，从而求解得，可得解析式为；（2）作出函数与的图像，可得两个函数在有四个交点，从而得有四个实数根，再利用三角函数的对称性计算得实数根之和.【小问1详解】由图可知，，∴∴，又点在的图象上∴，∴，，，∵，∴，∴.【小问2详解】由图得在上的图象与直线有4个交点，则方程在上有4个实数根，设这4个实数根分别为，，，，且，由，得所以可知，关于直线对称，∴，关于直线对称，∴，∴【点睛】求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令或，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.20、（1）（）（2）存在，【解析】（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程；（2）求出过原点且倾斜角为的直线方程，和曲线C联立后利用根与系数关系得到M，N的横纵坐标的和与积，由，得列式求解m的值，结合m的范围说明不存在以MN为直径的圆过点A试题解析：（1）设动圆圆心为，则，化简得（），这就是动圆圆心的轨迹的方程.（2）直线的方程为，代入曲线的方程得显然.设，，则，，而若以为直径的圆过点，则