数学同步练习：第一章解三角形测评（A卷）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章解三角形测评（A卷）（时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分,共50分)1．在△ABC中，a＝5，b＝3，∠C＝120°，则sinA∶sinB的值是A。eq\f（5，3）B。eq\f（3，5)C。eq\f(3，7）D。eq\f(5，7)答案：A由正弦定理知sinA∶sinB＝a∶b＝5∶3.2．△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，若c＝eq\r(2)，b＝eq\r（6），∠B＝120°，则a等于A。eq\r（6)B．2C.eq\r（3)D.eq\r（2)答案：D由正弦定理eq\f(\r(6），sin120°）＝eq\f(\r（2)，sinC)，∴sinC＝eq\f(1,2).∴∠C＝30°.∴∠A＝30°.∴a＝c＝eq\r(2).3．在△ABC中,a＋b＋10c＝2（sinA＋sinB＋10sinC)，∠A＝60°，则a等于A。eq\r(3)B．2eq\r（3)C．4D．不确定答案：A由正弦定理易得△ABC的外接圆半径为1,∴eq\f（a，sinA)＝2R＝2。∴a＝2sinA＝eq\r(3).4．已知△ABC中，a＝eq\r（2),b＝eq\r(3），∠B＝60°，那么∠A等于A．135°B．90°C．45°D．30°答案：C由正弦定理，得eq\f(\r（2),sinA）＝eq\f(\r（3），sinB),∴sinA＝eq\f(\r（2)，\r（3））·sin60°＝eq\f（\r（2),2）.∵a〈b,∴∠A<∠B。∴∠A＝45°。5．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于A．1B。eq\r（2)C．2D．4答案:CbcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2a2，2a）＝a＝2。6．在△ABC中，∠A＝eq\f(π，3），BC＝3，则△ABC的周长为A．4eq\r(3）sin（B＋eq\f（π,3））＋3B．4sin(B＋eq\f（π，3))＋3C．6sin(B＋eq\f（π，3）)＋3D．6sin（B＋eq\f(π，6））＋3答案：D令AC＝b，BC＝a，AB＝c，a＋b＋c＝3＋b＋c＝3＋2R（sinB＋sinC）＝3＋eq\f(3，sin\f(π，3）)［sinB＋sin(120°－B）］＝3＋eq\f(6，\r(3））(sinB＋eq\f（\r（3），2）cosB＋eq\f（1，2）sinB)＝3＋6sin(B＋eq\f(π,6））．7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b,c，若(a2＋c2－b2)·tanB＝eq\r(3)ac,则∠B的值为A.eq\f（π,3)B.eq\f（2π，3）C。eq\f(π，6）D。eq\f（π,3)或eq\f(2π,3）答案:D由（a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac得eq\f（a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f（\r（3）cosB，2sinB),即cosB＝eq\f（\r(3),2)·eq\f（cosB，sinB），∴sinB＝eq\f（\r(3),2）。又∠B∈(0，π),∴∠B＝eq\f（π，3）或eq\f(2π，3).8．在△ABC中，a＝2bcosC,则△ABC的形状一定是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案：A9．伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场的形势，由分别位于科威特和沙特的两个距离eq\f（\r(3）,2)a的军事基地C和D,测得伊拉克两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°,∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，则伊军这两支精锐部队间的距离是A.eq\f（\r(6）,4)aB.eq\f（\r(6）,2)aC.eq\f（3,8）aD.eq\f（\r（3），2)a答案：A∵∠ADC＝∠ACD＝60°,∴△ADC是正三角形．∴AC＝eq\f（\r（3),2)a。在△BDC中，由正弦定理得eq\f(BC，sin∠BDC)＝eq\f（DC，sin∠DBC)，即BC＝eq\f(\f（\r（3),2）a·\f（1,2)，\f(\r(2),2））＝eq\f（\r（6）,4)a.∴在△ABC中由余弦定理得AB2＝(eq\f(\r（3),2）a）2＋(eq\f（\r（6),4）a）2－2·eq\f（\r（3），2)a·eq\f（\r（6）,4）acos45°＝eq\f（3，8）a2,∴AB＝eq\f（\r（6）,4）a.10．如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是A．2eq\r(3)B.eq\f（4，3）eq\r(6）C.eq\f(3，4)eq\r（17)D.eq\f（2，3)eq\r(21）答案：D设正三角形边长为a，AB与l2夹角为θ，易知，1＝asinθ，2＝asin(60°－θ)；于是2asinθ＝a·sin(60°－θ），∴eq\f(\r(3)，2)cosθ－eq\f（5,2)sinθ＝0.∴tanθ＝eq\f(\r（3)，5），cosθ＝eq\f（5,2\r（7)).∴sinθ＝eq\f(\r(3)，2\r(7））。∴a＝eq\f(2\r(7），\r（3）)＝eq\f（2，3）eq\r（21）。二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)11．在△ABC中，已知AB＝4,AC＝7，BC边的中线AD＝eq\f(7,2)，那么BC＝__________。答案：9如图，延长AD至E，使DE＝AD,连结BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形．AE＝2AD＝7,在△ACE中，cos∠ACE＝eq\f(72＋42－72，2×7×4)＝eq\f(2，7）,∴cos∠BAC＝－eq\f(2,7）.在△ABC中,BC2＝72＋42＋2×7×4×eq\f(2,7)＝81,∴BC＝9。12．已知平面上有四点O、A、B、C,满足Oeq\x\to(A)＋Oeq\x\to（B)＋Oeq\x\to(C）＝0,Oeq\x\to(A)·Oeq\x\to（B)＝Oeq\x\to(B）·Oeq\x\to(C)＝Oeq\x\to（C）·Oeq\x\to(A)＝－1,则△ABC的周长是__________．答案：3eq\r（6)由已知，得O是△ABC的外心，|Oeq\x\to（A)|＝｜Oeq\x\to（B）｜＝|Oeq\x\to（C）｜，又Oeq\x\to(A)·Oeq\x\to(B)＝Oeq\x\to（B)·Oeq\x\to（C)＝Oeq\x\to(C）·Oeq\x\to(A）＝－1，故∠AOB＝∠BOC＝∠BOA＝eq\f(2π,3)，｜Oeq\x\to(A）|＝|Oeq\x\to（B)|＝|Oeq\x\to(C)|＝eq\r（2）,∴△AOB为等腰三角形．在△AOB中，AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·coseq\f(2π,3）＝6，∴AB＝eq\r(6).∴△ABC的周长为3eq\r(6）.13．已知a,b，c为△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，向量m＝（eq\r(3),－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC,则∠B＝________。答案：eq\f（π，6）∵m⊥n，∴eq\r(3）cosA－sinA＝0.∴eq\f（\r（3)，2）cosA－eq\f（1,2)sinA＝0。∴cos(A＋eq\f(π，6))＝0.∵∠A＋eq\f(π，6)∈（eq\f（π,6），eq\f（7π，6）)，∴∠A＋eq\f(π，6)＝eq\f(π,2）.∴∠A＝eq\f(π，3)。由正弦定理acosB＋bcosA＝csinC可化为sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C,∴sin（A＋B)＝sin2C。而sinC＝sin（A＋B)≠0,∴sinC＝1.∴∠C＝90°.∴∠B＝eq\f(π,2）－∠A＝eq\f(π,6).14．在△ABC中，三个角∠A，∠B，∠C的对边边长分别为a＝3，b＝4,c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为__________．答案：eq\f（61，2)在△ABC中，由余弦定理cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc），有bccosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2)，同理accosB＝eq\f（a2＋c2－b2，2），abcosC＝eq\f（a2＋b2－c2，2)，∴原式＝eq\f（a2＋b2＋c2,2）＝eq\f（61，2)。三、解答题（本大题共5个小题，共54分)15．(10分）在△ABC中,（1）若a＝eq\r(6）,b＝2，c＝eq\r(3）＋1,求∠A、∠B、∠C及S△ABC；（2)已知b＝4,c＝8，∠B＝30°,求∠C、∠A与a.答案：解:(1）由余弦定理，得cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(22＋（\r(3)＋1）2－6,2×2×(\r(3)＋1))＝eq\f（1,2)，∴∠A＝60°，cosB＝eq\f（a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(2）,2),∴∠B＝45°。∴∠C＝180°－60°－45°＝75°，∴S△ABC＝eq\f(1，2）bc·sinA＝eq\f(1，2）×2×(eq\r（3）＋1）sin60°＝eq\f（3＋\r（3)，2）。（2）由正弦定理，得sinC＝eq\f（csinB，b）＝eq\f(8sin30°,4）＝1。又30°〈∠C〈150°，∴∠C＝90°.∴∠A＝180°－（∠B＋∠C)＝180°－120°＝60°。∴a＝eq\r(c2－b2）＝4eq\r（3)。16.(10分）（2009全国高考卷Ⅰ，文18)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c。已知a2－c2＝2b,且sinB＝4cosAsinC,求b.答案：解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA。又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①由正弦定理得eq\f（b,c）＝eq\f（sinB,sinC)，又由已知得eq\f(sinB，sinC）＝4cosA，所以b＝4ccosA.②故由①②解得b＝4。17．（10分)(2009海南、宁夏高考，理17）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．答案：解：方案一：①需要测量的数据有:A点到M，N点的俯角α1，β1;B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d（如图所示)．②第一步：计算AM。由正弦定理AM＝eq\f(dsinα2，sin(α1＋α2)）；第二步：计算AN。由正弦定理AN＝eq\f（dsinβ2,sin（β2－β1))；第三步：计算MN。由余弦定理MN＝eq\r(AM2＋AN2－2AM×ANcos(α1－β1）).方案二:①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1,β1;B点到M，N点的俯角α2,β2；A，B的距离d（如图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝eq\f(dsinα1,sin(α1＋α2））；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝eq\f(dsinβ1，sin(β2－β1）)；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝eq\r(BM2＋BN2＋2BM×BNcos(β2＋α2)）。18．（12分）在锐角三角形中,角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知sinA＝eq\f（2\r(2)，3).（1）求tan2eq\f(B＋C,2）＋sin2eq\f（A,2);（2）若a＝2，S△ABC＝eq\r(2)，求b的值．答案:解：(1）在锐角△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，sinA＝eq\f(2\r（2），3)，∴cosA＝eq\f(1,3）,则tan2eq\f（B＋C,2）＋sin2eq\f(A,2)＝eq\f(sin2\f（B＋C,2)，cos2\f(B＋C，2))＋sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cos（B＋C),1＋cos(B＋C））＋eq\f(1，2)（1－cosA)＝eq\f（1＋cosA,1－cosA)＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)。（2)∵S△ABC＝eq\r(2），又S△ABC＝eq\f(1,2）bcsinA＝eq\f(1，2)b·c·eq\f(2\r（2),3)＝eq