数学同步练习：等比数列等比数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3等比数列2．3。1等比数列1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则公比q为（）A．2B．3C．4D．82．若正数a，b,c依次成公比大于1的等比数列,则当x>1时，logax，logbx，logcx（）A．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列D．各项的倒数依次成等比数列3．在等比数列｛an｝中，若已知a3·a4·a5＝8,则a2·a3·a4·a5·a6等于____________．4．等比数列｛an}中，an∈R＋，a3·a6＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为________．答案:1．A∵a4＝a1·q3，即64＝8·q3，∴q＝2。2．C∵正数a,b，c成等比数列，∴b2＝ac,logax，logbx，logcx的倒数分别为logxa，logxb，logxc，∵logxa＋logxc＝logxac＝logxb2＝2logxb，∴logxa，logxb，logxc成等差数列．3．32由等比数列的性质，有a3·a4·a5＝aeq\o\al(3，4)＝8，所以a4＝2.则a2·a3·a4·a5·a6＝aeq\o\al（5,4)＝25＝32.4．20log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1a2…a8）＝log2［(a1a8)(a2a7）(a3a6)（a4a5)]＝log2（a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.课堂巩固1．｛an}是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为（)①｛aeq\o\al(2，n）｝也是等比数列②{can}（c≠0)也是等比数列③｛eq\f(1,an）｝也是等比数列④｛lnan}也是等比数列A．4B．3C．2D．12．在等比数列{an}中,如果a6＝6，a9＝9,那么a3等于()A．4B。eq\f（3，2)C。eq\f（16，9)D．23．已知等差数列{an｝的公差d≠0,且a1，a3，a9成等比数列，则eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)等于__________．4．在数列｛an｝和｛bn}中,bn是an与an＋1的等差中项,a1＝2,且对任意n∈N＋，都有3an＋1－an＝0,则数列｛bn｝的通项公式为________．5．在4与eq\f(1,4）之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的三个数．6．在等比数列{an｝中,已知a2＝4,a5＝－eq\f（1，2)，求an。答案：1．B{lnan}应是等差数列，其他都是等比数列．2．A因为a3，a6，a9仍成等比数列且a6是a3与a9的等比中项,所以a3＝eq\f（a\o\al(2，6）,a9）＝eq\f(36,9）＝4.3.eq\f（13,16）由a1，a3,a9成等比数列，可得aeq\o\al(2，3）＝a1·a9，即(a1＋2d）2＝a1（a1＋8d）,∴d2＝a1d.∵d≠0，∴a1＝d。∴eq\f（a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10）＝eq\f（3a1＋10d,3a1＋13d)＝eq\f（13d,16d）＝eq\f（13,16）.4。bn＝eq\f（4,3n）∵bn是an与an＋1的等差中项，∴2bn＝an＋an＋1。∵a1＝2，对任意n∈N＋都有3an＋1－an＝0，∴eq\f(an＋1，an)＝eq\f（1,3）。∴{an}是以2为首项，eq\f（1,3）为公比的等比数列．∴an＋1＝a1·qn＝2（eq\f(1，3））n，an＝3an＋1.∴bn＝eq\f（an＋an＋1,2)＝eq\f（3an＋1＋an＋1，2）＝2an＋1＝2·2（eq\f（1，3)）n＝eq\f（4,3n)。5．解:此等比数列共5项，a3是a1与a5的等比中项，因此a3＝±eq\r(a1a5)＝±1。a2是a1与a3的等比中项，a4是a3与a5的等比中项．因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a3＝1,a2＝±eq\r（a1a3)＝±2，a4＝±eq\r（a3a5）＝±eq\f（1,2）。因此，插入的3项依次为2,1，eq\f(1，2），或－2,1，－eq\f(1,2).6．解法一:设等比数列的公比为q，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝4,,a1q4＝－\f（1，2)。)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝－8，，q＝－\f(1，2)。)）∴an＝a1qn－1＝（－8)（－eq\f(1,2））n－1＝（－eq\f(1,2）)n－4。解法二：设等比数列的公比为q，则eq\f（a5，a2）＝q3，即q3＝－eq\f（1,8)，q＝－eq\f(1，2)。∴an＝a5qn－5＝（－eq\f(1,2)）·(－eq\f（1，2））n－5＝(－eq\f(1，2))n－4.1．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30等于（)A．210B．220C．216D．2151．答案：B∵a1a2a3＝aeq\o\al（3,2)，a4a5a6＝aeq\o\al(3,5)，a7a8a9＝aeq\o\al（3，8)，…,a28a29a30＝aeq\o\al(3,29)，∴a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝（a2a5a8…a29)3＝230。∴a2a5a8…a29＝210.∴a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)＝(a2a5a8…a29)q10＝210·210＝220.2。（江西高考，文8）公差不为零的等差数列｛an｝的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8＝32，则S10等于（)A．18B．24C．60D．902．答案：C设公差为d，由已知aeq\o\al(2，4）＝a3·a7，可得2a1＝－3d.又S8＝4(a1＋a8）＝8a1＋28d＝16d＝32，∴d＝2。∴S10＝10a1＋45d＝30d＝60。3．（广东高考，文5)已知等比数列｛an}的公比为正数,且a3·a9＝2aeq\o\al(2，5），a2＝1，则a1等于（)A。eq\f（1,2）B.eq\f(\r(2)，2)C。eq\r(2）D．23．答案：B由a3·a9＝2aeq\o\al（2,5)，得q2＝2。∵q〉0,∴q＝eq\r(2）。∵a2＝a1q＝eq\r（2)a1＝1,∴a1＝eq\f(\r(2）,2）。4．设等差数列｛an}的公差d不为0，a1＝9d。若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于(）A．2B．4C．6D．84．答案：B用首项、公差(基本量）表示出ak、a2k，解关于k的方程即可．由题意得：aeq\o\al（2,k）＝a1·a2k，即[9d＋(k－1)d]2＝9d·[9d＋(2k－1）d]，解得k＝4。5．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2004年产生的垃圾量为a，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________吨，年的垃圾量为__________吨．5．答案：a(1＋b）a(1＋b)5该地区垃圾量的年增长率为b，因此垃圾量构成一个公比为1＋b的等比数列．把2004年的垃圾量a作为首项，则下一年的垃圾量为a(1＋b)吨,而年为该数列的第6项，即a(1＋b)5吨．6．(江苏高考，理14）设｛an}是公比为q的等比数列，|q｜〉1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37，82｝中,则6q＝__________.6．答案：－9由题意：等比数列{an}有连续四项在集合｛－54，－24,18，36,81｝中，由等比数列的定义知：四项是两个正数、两个负数,故－24,36,－54，81符合题意，则q＝－eq\f（3，2)，∴6q＝－9。7．在等比数列｛an}中,若a9·a11＝4，则数列{logeq\f（1,2）an}的前19项之和为__________．7．答案：－19由题意an>0，且a1·a19＝a2·a18＝…＝a9·a11＝aeq\o\al(2,10)，∴a10＝2或－2（－2显然不满足logeq\f（1，2)an中an>0的条件)．又a9·a11＝4,故a1a2…a19＝219，故logeq\f(1，2）a1＋logeq\f（1，2)a2＋…＋logeq\f（1,2）a19＝logeq\f(1,2)(a1a2…a19）＝－19。8．数列｛an｝中,a1＝2，an＋1＝an＋cn(c为常数，n＝1，2，3，…),且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求｛an}的通项公式．8．答案：解:（1)a1＝2，a2＝2＋c,a3＝2＋3c。因为a1，a2,a3成等比数列，所以（2＋c）2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2。当c＝0时,a1＝a2＝a3，不符题意舍去，故c＝2。（2)当n≥2时,由于a2－a1＝c，a3－a2＝2c，……an－an－1＝(n－1）c，所以an－a1＝［1＋2＋…＋（n－1）]c＝eq\f(n(n－1),2）c.又a1＝2，c＝2,故an＝2＋n(n－1)＝n2－n＋2(n＝2,3，…),当n＝1时,上式也成立．∴an＝n2－n＋2,n∈N＋。9．（全国高考卷Ⅱ，理19)设数列{an｝的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.（1）设bn＝an＋1－2an,证明数列｛bn}是等比数列;(2）求数列{an｝的通项公式．9．答案：解：（1)由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an；于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an）,即bn＋1＝2bn.因此数列｛bn｝是首项为3，公比为2的等比数列．（2)由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是eq\f（an＋1，2n＋1）－eq\f(an,2n)＝eq\f（3,4）,因此数列｛eq\f(an,2n）｝是首项为eq\f（1,2），公差为eq\f（3,4）的等差数列,eq\f(an,2n）＝eq\f(1,2）＋（n－1）×eq\f（3,4）＝eq\f（3，4)n－eq\f(1,4），所以an＝（3n－1）·2n－2。10．有纯酒精aL(a〉1）,从中取出1L，再用水加满,然后再取出1L,再用水加满,如此反复进行．问第九次和第十次共取出多少升纯酒精?10．答案：解：第一次取出纯酒精1L，记为a1；加水后，浓度为eq\f(a－1,a）＝1－eq\f(1，a）,所以第二次取出纯酒精（1－eq\f(1,a））·1L，记为a2＝1－eq\f(1,a）;加水后,浓度为（1－eq\f（1，a）)·eq\f（a－1,a）＝