数学同步测控：函数的奇偶性用计算机作函数的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基，我达标1。已知y=f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是（）A.4B。2C.1解析：因为f（x）是偶函数且图象与x轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x1+x2+x3+x4=0。答案：D2。已知函数f（x）(x∈R），满足f(-x）=f(x),则下列各点中必在函数y=f(x)图象上的是()A。（-a,f（a）)B.(—a,—f（a))C。(—a，-f(-a))D。(a，-f(a）)解析：∵f（—x）=f(x）,∴f（—a)=f（a),即(-a，f(a))在函数f(x)的图象上.答案：A3.函数y=的奇偶性为（）A。非奇非偶函数B.既是奇函数，又是偶函数C.奇函数,不是偶函数D.偶函数，不是奇函数解析:先求函数的定义域得∴定义域为{x|—2≤x<0或0〈x≤2}。∴f（x)=,即f（x）=。所以f(—x）==—f（x）。答案：C4。设f（x）是（-∞,+∞）上的奇函数,f（x+2)=—f(x），当0≤x≤1时,f（x)=x，则f（7.5)等于…（)A.0。5B。-0。5C.1。5解析：由已知,可得f（7。5)=f（5。5+2）=-f（5。5）=-f(2+3。5）=-[-f（3。5）］=f（3。5)=f（2+1.5）=-f(1.5)=-f(2-0。5)=—［-f(-0.5)]=f（—0。5)=-f(0。5）=-0。5.答案:B5.若函数y=f（x）的定义域是［0，1],则下列函数中，可能是偶函数的是（）A.y=［f(x)]2B.y=f(2x）C。y=f(|x｜)D。y=f(-x）解析:y=［f（x）]2的定义域为［0，1］,y=f（2x)的定义域为[0，］,y=f（｜x｜）的定义域为［-1，1],y=f（—x)的定义域为［-1，0］。只有y=f（｜x|)可能是偶函数.答案：C6.设f(x）是定义在R上的偶函数,且在（0,+∞）上是减函数,若a〈0且a+b>0，则(）A.f(a）〉f（b）B。f（a）=f(b）C.f(a）<f(b）D。f（a)与f（b）的大小不确定解析:∵a〈0且a+b〉0，∴b〉—a〉0。又函数f（x）在（0，+∞）上是减函数,∴f(b）<f（-a）.又f（x)是定义在R上的偶函数,∴f（b)〈f（a).答案:A7。已知函数f(x）=x5+ax3+bx-8,且f(—2）=10,则f（2)=__________.解析:思路一:设g(x)=x5+ax3+bx,x∈R,∵g(—x)=—g（x),∴g（x）为奇函数.而f（x)=g(x)-8，又f(-2)=g（-2）—8=10,∴g（2)=-g（-2)=-18。∴f（2）=g（2)-8=—26.思路二：由题设有f（x）+f（—x）=—16,∴f(2)+f(—2)=—16.又∵f(—2)=10，∴f(2)=—16—10=-26.答案：-268.已知f(x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0,+∞）时，f(x)=x(1+）,求f(x)的解析式.分析：已知给定区域的解析式,求对称区域的解析式的问题,通常做法如下：（1)设所求的区域上的自变量x;(2)由自变量x的相反数为给定区域,可得f(—x）的解析式；(3)借助于函数的奇偶性，得到f（-x）与f（x）的关系，进而求得f（x)的解析式。解：∵f（x)是奇函数，∴f（x)=—f（—x）.当x=0时,f(0)=-f（0），∴f（0)=0.当x<0时，—x〉0,∴f（—x）=—x(1+）.∴f(x）=—f(—x）=x（1).∴f(x)=我综合,我发展9。奇函数y=f(x）在（0,+∞）上单调递增，则f（—2）,f(-3）和f（-4)由小到大的顺序是________.解析：奇函数在（0,+∞）上单调递增,在（—∞,0)上也单调递增,∵-3〈-4<—2,∴f(—3）<f（-4）〈f（-2).答案:f（—3）〈f（-4）<f(—2)10。若函数f（x)是定义在R上的偶函数,在(—∞，0］上是减函数，且f(2）=0，则使得f（x）〈0的x的取值范围是_____________。解析：因为函数f(x）是定义在R上的偶函数,在(—∞，0］上是减函数，故函数在（0，+∞）上为增函数,又由于f(2）=0,所以当x〉0时,f（x)<0即f（x)〈f(2）,可解得0<x<2，利用偶函数图象的对称性可知当x〈0时，满足f(x)〈0的x的取值范围为-2〈x〈0,因此在整个定义域内，使得f（x）〈0的x的取值范围是(—2，2).答案:(—2,2)11.已知奇函数f(x)=图2-1-18(1）求实数m的值，并在给出图2-1—18的直角坐标系中画出y=f(x）的图象;(2)若函数f(x）在区间［—1,｜a｜-2]上单调递增，试确定a的取值范围。分析:(1）利用奇函数的性质f（-x）=-f（x）得m的值，画函数y=f(x）的图象时要注意各段解析式的区别。(2)根据图象得函数的单调递增区间，则区间[—1，|a|-2］是函数单调递增区间的子集.解：（1）当x〈0时，—x〉0,f(—x）=-（—x)2+2（-x）=-x2—2x.又f（x)为奇函数,∴f（-x)=—f(x)=-x2-2x.∴f(x)=x2+2x.∴m=2。函数y=f（x)的图象如图所示。(2）由(1）知f（x)=由图象,可知f（x）在[—1,1］上单调递增，要使f(x)在［—1，｜a|-2]上单调递增,则有[-1,|a｜—2］［—1，1],所以有|a|-2>-1，｜a|—2≤1。解之，得-3≤a〈—1或1<a≤3。12.判断f（x)=的奇偶性。分析:分段函数的奇偶性的判断一定要注意全面考查定义域，要紧扣奇函数、偶函数的定义:对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,若都有f(-x）=f（x）,那么f（x）就叫做偶函数,若都有f（—x）=—f(x),那么f（x)就叫做奇函数.解：函数的定义域为R,关于原点对称.当x<—1时，f（x)=x+2，则-x>1，f（—x）=x+2，这就是说对于任意的x<—1，均有f(-x)=f（x)成立；当x〉1时，f(x)=—x+2，则—x<-1，f(-x）=—x+2,这就是说对于任意的x>1,均有f（—x)=f（x)成立;当—1≤x≤1时,f(x)=0，f(-x）=f（x)成立,综上可知，函数f（x）是偶函数.13.已知函数f(x）=x+,且f(1）=2。（1)求m；(2)判断f(x)的奇偶性;(3)判断函数f(x）在［1，2］上的单调性,并求函数f(x)在［1，2]上的最值.分析：判断函数的奇偶性,首先观察函数的定义域是否关于原点对称,然后判断f(-x)与f（x)的关系；而证明在某一区间上的单调性，常用定义进行证明，由于单调函数在闭区间内肯定有最值，可根据单调性求出最值。解：（1）f(1）=1+m=2,解得m=1。(2）f（x）=x+，f(—x)=—x=—f（x），∴f（x）是奇函数.(3）设x1、x2是［1，2]上的任意两个实数,且x1〈x2,则f(x1）—f(x2)=x1+—（x2+）=x1—x2+（)=x1-x2=(x1—x2）。当1≤x1〈x2≤2时,x1x2>1,x1x2—1〉0，从而f(x1）-f（x2）<0，即f（x1)<f(x2)。∴函数f（x)=+x在［1，2］上为增函数，其最小值为f(1）=2,最大值为f(2)=。我创新，我超越14.定义=x（x+1)(x+2)…（x+n—1)，其中x∈R，n∈N*,试判断函数f（x）=的奇偶性。分析：以新定义为信息的题目，审题时一定要理解题目所给出的新的数学定义,并与已有相关知识融合在一起来解决.解:由题目所给的定义，可知f(x）==(x-1003)（x-1002）（x—1001)…(x—1)x(x+1)…（x+1001）（x+1002）（x+1003)=x（x2-12）（x2—22）…（x2-10012）（x2—10022)（x2-10032）.f(-x）=(—x）［(—x）2-12]［（-x）2—22]…［（—x)2—10012]［(—x)2—10022］［（—x)2-10032]=—x(x2—12)(x2—22)…(x2—10012)(x2-10022）(x2-10032）=—f（x）,所以函数f（x）是奇函数.又f(x）不恒等于零，所以f（x)是奇函数不是偶函数。15.已知y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且在［0，+∞）上为增函数,如果f（）=1，解不等式—1〈f（2x