数学同步练习：不等关系与不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章不等式3．1不等关系与不等式1．a≥b可以推出（)A。eq\f（1，a)≥eq\f(1,b）B．ac2≥bc2C.eq\f（a,c2)〉eq\f(b，c2）D．（ac）2≥(bc）22．若eq\f（1，a）〈eq\f（1，b)〈0，则下列结论不正确的是(）A．a2〈b2B．ab〈b2C。eq\f（b,a)＋eq\f（a,b）>2D．｜a|－｜b｜＝｜a－b|3．设角α、β满足－eq\f（π，2)〈α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围为__________．4．证明:若a〉b>0，c〈d〈0，m〈0，则eq\f(m,a－c)〉eq\f（m，b－d）。答案：1．B∵c2≥0，a≥b，∴ac2≥bc2.2．D可取特殊值，令a＝－1，b＝－2代入验证知D不正确．3．－π<α－β<0在利用不等式的性质时，要注意α〈β这个隐含条件．∵－eq\f（π,2)<α<eq\f(π，2)，－eq\f(π,2）<β<eq\f（π，2）,∴－π〈α－β〈π.又∵α〈β，∴α－β〈0。综上，可知－π<α－β〈0。4．证明：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a>b>0,c<d〈0)）⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>b>0，－c>－d〉0）)⇒a－c>b－d〉0⇒eq\f（1，a－c)〈eq\f（1,b－d).又∵m〈0，∴eq\f（m，a－c)>eq\f（m，b－d)。课堂巩固1．已知a〈0，－1<b<0，下列不等式成立的是（）A．a>ab〉ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab〉ab2〉a2．x＝(a＋3)(a－5)与y＝（a＋2)(a－4)的大小关系为（）A．x>yB．x＝yC．x<yD．不能确定3．若f(x)＝3x2－x＋1,g（x)＝2x2＋x－1,则f(x）与g（x）的大小关系为__________．4．已知a〉b〉c，且a＋b＋c＝0,则b2－4ac的值的符号为__________．5．若a〉0，b〉0，比较eq\f（b2，a）＋eq\f（a2，b）和a＋b的大小．6．设x∈R，比较eq\f（1,1＋x）与1－x的大小．答案：1．D本题可以根据不等式的性质来解，由于－1<b〈0,所以0〈b2〈1⇒a<ab2〈0,且ab〉0,易得答案D.本题也可以根据a，b的范围取特殊值，比如令a＝－1,b＝－eq\f（1,2)，也容易得到正确答案．2．Cx－y＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8）＝－7〈0，∴x〈y。3.f（x)〉g(x)采用作差法可得:f（x）－g(x)＝3x2－x＋1－(2x2＋x－1）＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1,显然大于0.4．正∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)，b2＝a2＋c2＋2ac。∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c）2。∵a>c，∴(a－c)2>0.∴b2－4ac〉0，即b2－4ac的符号为正．5．解：eq\f（\f(b2,a)＋\f(a2，b),a＋b)＝eq\f（a2－ab＋b2,ab)＝eq\f((a－b)2＋ab,ab)≥eq\f(ab,ab)＝1，∵a>0，b>0,∴a＋b>0.∴eq\f(b2，a）＋eq\f(a2，b）≥a＋b.6．解：eq\f(1，1＋x)－（1－x)＝eq\f（x2,1＋x)。(1)当x＝0，即eq\f（x2，1＋x)＝0时,eq\f（1，1＋x)＝1－x。(2）当1＋x<0，即x<－1时，eq\f（x2，1＋x)〈0，∴eq\f（1,1＋x）〈1－x.（3）当1＋x>0且x≠0,即－1〈x〈0或x>0时，eq\f(x2，1＋x）>0，∴eq\f(1，1＋x)>1－x.1．已知a＋b>0，b〈0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(）A．a〉b〉－b>－aB．a〉－b>－a>bC．a>－b〉b〉－aD．a>b>－a>－b1．答案:C∵a＋b>0，b〈0,∴a>0，－b>0。又∵a＋b>0，a〉－b且b〉－a，∴a〉－b〉b>－a.2．如果a、b、c满足c〈b〈a且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是（)A．ab>acB．c（b－a）>0C．cb2〈ab2D．ac(a－c）〈02．答案：C∵c<b<a且ac<0，∴a>0，c〈0.∴b可能为0，也可能不为0。∴cb2〈ab2不一定成立．3．若a＝eq\f(ln2，2），b＝eq\f(ln3,3），c＝eq\f（ln5，5),则（）A．a〈b<cB．c<b<aC．c〈a<bD．b〈a<c3．答案:C采用作商法，易知a，b，c都是正值，eq\f(b,a）＝eq\f(2ln3，3ln2)＝log89〉1，又a＝eq\f（ln2,2)〉0,∴b>a，eq\f（a,c）＝eq\f（5ln2，2ln5)＝log2532〉1。∴a>c。4．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c,②a＋b＝c＋d，③a＋d〈b＋c，则将a，b，c,d按照从大到小的次序排列为__________．4．答案:b>d〉c>a由③可得，d－b〈c－a；由②可得，c－a＝b－d，于是有d－b<b－d，a－c<c－a，∴d〈b，a<c.再由①d>c可得结果：b〉d〉c>a。5．若a>b〉0，c〈d〈0,e〈0，则eq\f（e,（a－c）2）__________eq\f（e,（b－d）2）.（填不等号“〉"或“〈"）5．答案：〉∵c<d<0，∴－c〉－d〉0.又a>b〉0，∴a－c〉b－d>0。∴（a－c)2〉(b－d)2〉0.同边同乘以eq\f(1，(a－c）2（b－d)2)，得eq\f(1,(a－c)2）<eq\f(1，(b－d）2）。又e<0，∴eq\f（e，（a－c）2)>eq\f(e,（b－d)2)。6．给出下列命题：①若x〈y,则a2x〈a2y；②若x<y，则x2n＋1<y2n＋1(n∈N＋）；③若x〉y>1,则logeq\f（1，x）y>logeq\f（1，y）x。其中正确命题的序号是__________．6．答案：②③对于①，a＝0时，a2x＝a2y，故命题①错．对于②，由幂函数y＝x2n＋1（n∈N＋）是增函数这一性质可知：当x<y时，有x2n＋1<y2n＋1.故命题②正确．对于③，由x>y〉1，得0<eq\f(1,x）<eq\f（1,y)<1，而函数y＝logax当0<a〈1时，在(0，＋∞)上单调递减,故logeq\f（1,x）y>logeq\f（1,x）x＝－1＝logeq\f(1，y)y〉logeq\f(1,y）x，命题③也正确．7．已知a≥1，试比较M＝eq\r(a＋1)－eq\r（a）和N＝eq\r(a）－eq\r(a－1）的大小．7．答案：解:M－N＝(eq\r(a＋1）－eq\r(a））－(eq\r（a)－eq\r(a－1)）＝eq\f（1,\r(a＋1)＋\r（a)）－eq\f(1，\r（a)＋\r（a－1）)＝eq\f（\r（a－1）－\r(a＋1),（\r(a＋1）＋\r（a)）(\r（a)＋\r（a－1）)），∵a≥1,∴eq\r（a＋1）＋eq\r(a）>0，eq\r(a）＋eq\r(a－1）〉0。又0<a<a＋1，∴eq\r（a－1)〈eq\r（a＋1），即eq\r（a－1）－eq\r（a＋1）〈0.∴M－N〈0.故M<N。8．在等比数列｛an｝和等差数列{bn｝中，a1＝b1>0，a3＝b3〉0，且a1≠a3,试比较a2与b2的大小．8．答案:解：设｛an｝的公比为q，{bn｝的公差为d,则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d。∵a3＝b3，∴a1q2＝a1＋2d，即2d＝a1(q2－1)．∴d＝eq\f(1,2)a1（q2－1）．∵a1≠a3＝a1q2,∴q2≠1。∴q≠±1.∵a2－b2＝a1q－(a1＋d）＝a1q－a1－eq\f（1,2）a1（q2－1）＝－eq\f(1，2)a1(q－1）2<0，∴a2〈b2。9．（1)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小；(2)已知a〉0且a≠1，p＝loga（a3＋1),q＝loga(a2＋1）,比较p与q的大小．9．答案:解：（1)(2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f（1，2））2＋eq\f（3，4）。∵（x＋eq\f（1,2))2≥0,∴（x＋eq\f（1，2))2＋eq\f（3,4)≥eq\f（3,4）〉0。∴(2x2＋5x＋3)－（x2＋4x＋2)>0。∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.（2)p－q＝loga（a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1）。当a>1时，a3＋1〉a2＋1，∴eq\f（a3＋1,a2＋1)>1。∴logaeq\f（a3＋1，a2＋1）〉0；当0<a<1时，a3＋1〈a2＋1,∴0＜eq\f（a3＋1，a2＋1）<1。∴logaeq\f（a3＋1，a2＋1)>0.总之,p－q〉0，∴p>q。点评：(1)比较两数式的大小，可将其转化为差运算，即用作差比较法,共分为四点：作差→整理→符号→结论．（2）第(2)题通过分类讨论判断差的符号可以看到,用作差比较法时，判断所作的差的符号常用配方法、分解因式法、分类讨论法．（3)若都为正数的两个单项式比较大小，也可以采用作商比较法．依据是若a〉0,b>0，eq\f（b,a)〉1，则a<b，注意商与1比较．10．某商品计划两次提价,有甲、乙两种方案(p〉q>0)如下表，经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？次方案第一次提价第二次提价甲p％q％乙eq\f(1,2)(p＋q）%eq\f（1，2)(p＋q)%10．答案：解：设商品原价为a,按甲、乙方案两次提价后价格分别为N甲、N乙,则N甲＝a(1＋p%）（1＋q％)，N乙＝a［1＋eq\f（1,2）（p＋q