数学同步测控：圆锥的截线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基我达标在空间中，取直线l为轴,直线l′与l相交于O点,夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点。l′为母线的圆锥面。任取平面π,若它与轴l的交角为β（当π与l平行时,记β=0）.请完成1~4题。1。当β＞α时,平面π（不过O点）与圆锥面的交线为()A.椭圆B.圆C.椭圆或圆D.双曲线解析:若β=90°，则平面π与圆锥面的交线为圆；若α＜β＜90°,则平面π与圆锥面的交线为椭圆.答案：C2.当β=0时,平面π(不过O点）与圆锥面的交线为……（）A。椭圆B。圆C。抛物线D.双曲线解析:β=0时，交线为双曲线.答案:D3.若平面π过O点,当β＜α时，则平面π与圆锥面的交线为（）A.两条相交直线B。双曲线C.椭圆D.可能为圆、椭圆、双曲线或抛物线中的某一个解析：若平面π过O点,当β＜α时，平面π与圆锥面的交线一定是两条相交直线。答案:A4.当α=30°,β=45°时，平面π(不过O点)与圆锥面的交线的离心率为（）A。B。C。D.解析：e=。答案：B5。若圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角）为60°，圆锥的截面与轴成30°角时,截线的离心率为…（）A.B.C。D。1解析：2α=60°,β=30°,故α=β，∴截线为抛物线，离心率e=1。答案：D6。关于Dandelin球的说法正确的是（）A.Dandelin双球一定是两个半径相等的球B。利用Dandelin双球证明平面π与圆锥面的交线为双曲线时,两球的半径相等C.利用Dandelin双球证明平面π与圆锥面的交线为椭圆时,两球的位置应一个在平面π上方,一个在平面π下方且都与平面π和圆锥面相切D。利用Dandelin球证明平面π与圆锥的交线为抛物线时，两球的位置应一个在平面π的上方，一个在平面π的下方,且都与平面π和圆锥面相切解析:因为利用Dandelin球证明平面π与圆锥面的交线为双曲线时,两球的半径不一定相等。故A、B错误，又因为证明平面π与圆锥面的交线为抛物线时,只需一个Dandelin球,故D错。答案：C7.利用Dandelin双球证明平面π与圆锥面的交线为椭圆时,Dandelin双球与圆锥面的切点圆所在的两平面间的距离为()A.椭圆的长轴长B.椭圆的焦距长C。椭圆的短轴长D.一定小于椭圆的长轴长解析：椭圆的长轴长等于两切点圆所在平行平面间的与母线平行的线段的长度,大于两平行平面间的距离.答案：D我综合我发展8.设圆锥面V是由直线l′绕直线l旋转而得，l′与l交点为V,l′与l的夹角为α（0°＜α＜90°）,不经过圆锥顶点V的平面π与圆锥面V相交，设轴l与平面π所成的角为β,则：当_____________时，平面π与圆锥面的交线为圆；当_____________时，平面π与圆锥面的交线为椭圆;当_____________时,平面π与圆锥面的交线为双曲线;当_____________时，平面π与圆锥面的交线为抛物线.答案：β=90°α＜β＜90°β＜αβ=α9。条件同7题，平面π与圆锥面交线若为圆锥曲线,则该圆锥曲线的离心率e=_____________。答案:10.设圆锥的顶角（圆锥轴截面上两条母线的夹角）为120°,当圆锥的截面与轴成45°角时,求截得二次曲线的形状及离心率.解析：如下图所示,设平面π与圆锥内切球相切于点F1，球与圆锥的交线为S，过该交线的平面为π′，π与π′相交于直线m。在平面π与圆锥的截线上任取一点P，连结PF1。过点P作PA⊥m，交m于点A,过点P作π′的垂线，垂足为B,连结AB，则AB⊥m,所以∠PAB是π与π′所成二面角的平面角。连结点P与圆锥的顶点,与S相交于点Q1,连结BQ1。则∠BPQ1=α，∠APB=β.在Rt△APB中，PB=PAcosβ。在Rt△PBQ1中,PB=PQ1cosα。∴=.又∵PQ1=PF1，α=β，∴=1，即PF1=PA,动点P到定点F1的距离等于它到定直线m的距离，故当α=β时，平面与圆锥的交线为抛物线。这时,π与π′的交线m为抛物线的准线,离心率e==1。解:由题意知α=60°，β=45°，满足β＜α，这时截面截圆锥得的交线是双曲线,其离心率为e==.我创新我超越11.在一平面π上放了一个直径为d的球,一个点光源P照在球上(P不在过(球与平面的）切点而与平面π垂直的直线上）。若P的高度（P与平面π的距离）为h，试分别就h，d的大小关系，判断球在平面π上的投影的形状：(1）h＞d;（2）h=d;（3)0＜h＜d.解:(1）h＞d时，连PO（O为球心），则球在点光源P的照射下的投影可看作圆锥面.取过圆锥面的轴PO且与平面π垂直的轴截面POK,则α、β如下图所示。当h＞d时，β=α+γ＞α，又由已知β≠90°,故球在平面π上的投影为椭圆。（2）当h=d时,如下图，圆锥