大学物理矢量

补充：（——）矢量利矢量运算

两种物理量：

标量:只有大小，没有方向。如质量，速率，温度..

矢量:既有大小又有方向。如速度，加速度，动量..

矢量;：它的大空和方向可用从始点O指向终

点p的有向线段65表示，并标记为A

在直角坐标系下:

A=Axi+Ayj+Azk

第1章运动的描述

如/=4%+4)和

xyB二B「Byj，则有:

C=Ci+Cj=B+A=(A+B)i+(A+B)j

xyvxxzyyJ

显然:C=A+BCH

XX

第1章运动的描述

第1章运动的描述

:号物理号】

松1

矢量的内积

a-b=ab-c=abcoscp

(点乘、标乘)：

一ab=ba)a-a=a\

9=0,cos(p=\,a•b=ab77二二一一

i-i=j-j=k'k=1

Jo-

9=180,cos(p=-\,a-b=-ab一_一-一一

I71"_-一i'j-Jj-Jk=k-i=0

(P=—,cos(p=0,a-b=0—_

2ab=aXbx+ayby+azbz

矢里的外积_--J大小：d=absin°

(叉乘、矢乘)：。*b=d［方向：右手螺旋法则

—►—►——►—►—————*一

axb=—bxaii=jx.j=kxk=0

———ixj=k,jxk=i,kxi=j

ijk

一—►—*-,,

aaa

aXb=xyz=(a/z-+(ix-aJIj+(axby-aybJk

hbb

X-Jz

第1章运动的描述

--

力"a=a(t)b=b(t)

d-fdadbd一da

—(ka)=，化为常量

—(Q+6)=+---

dtdtdtdtdt

点乘的微分b)=

_db

叉积的微分----(axb)ax------+xb

dtdtdt

第1章运动的描述

八号物理号

（二）和"山”的含义（筋3版J,

符号入”一般表示改变量或者增加量。如果该

值为正，则表明增加；反之，则表明减少。

当时间由，时刻增加了一定时间间隔时，通常会表述为

时间增加到胃+△胃时刻。

当改变量为无限小量，如△胃一＞O时，符号匕”

通常会改写，记为«dt”。

第1章运动的描述

大号物理号

3（三）积分的含义」至m版L

一、问题的提出

1求平面图形的面积

会求梯形的面积，曲边梯形的面积怎样求？若

会，则可求出各平面图形的面积。

考虑如下曲边梯形面积的求法。

第1章运动的描述

大卷物理号

施J

用已知代未知，利用极限由近似到精确。

用矩形面积近似曲边梯形面积:

一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲

边梯形面积.

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

大卷曲理号■

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

大卷曲理号■

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

大号物理号

'、%3敝〉

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

33个分割点的图示

0.0909091（上和一下和）

1.00046（积分近似值）

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

观察下列演示过程，注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

第1章运动的描述

大代物理号

（其言松<L

曲边梯形囿积的计算:

在［a,5］内插入若干个分点,

〃=、o<*1<%

把［〃，〃］分成〃个小八

区间［x,._i，xj,长度

为Ax,=x『—Xj；

在每个［工”］,巴］上____

o

任取一点二，

以［*j1,Xj］为底,f"］）为高的小矩形面积为

4=/",.)△+

第1章运动的描述

曲边梯形面积的近似值为

n

Ax

力Hf)/

当分割无限加细,即小区间的最大长度

2=max{Ax1,Ax2,•­•Ax}—>0时，

n

有，小矩形面积和E/(QAXjfA.

艮［3有曲也择形面检讨算步或N=lim

入fo

Z=1

第1章运动的描述

大卷物理号

施J

记为积分和

积分上限

Ef(Q'x,

积分下F艮

被

被

积

积

表[6Z,Z?]----------自令^区.可.

函

达

量

数

式

第1章运动的描述

大号物理号

本章目录

1-0内容提要

1-1参考系坐标系物理模型

1-2运动的描述

1-3相对运动

第1章运动的描述

:号物理号

CO松

力学—研究机械运动及其规律的物理学分支。

按研究内容分类

r运动学——研究物体运动的规律

动力学——研究物体运动的原因

〔静力学——研究物体平衡时的规律

第1章运动的描述

士代物理号

版J,

•机械运动：宏观物体之间（或物体内各部分之间）相对

位置的变化。

"平动：物体各点的运动情况完全相同。

机械运动＜转动：物体各点绕轴作圆周运动。

I振动：物体各点相对平衡位置作往复运动。

注意:

实际物体的运动往往包含两种或两种以上运

动形式的叠加：如汽车的行进、子弹的飞行、

大分子的热运动等等。

第1章运动的描述

1号物理号

、运动的绝对性和相对性

・斗转星移，海陆变迁

自然界是不停运动的

•电子饶着原子核运动＞

•铁生锈，事物腐烂，

•离离原上草，一岁一苦荣

广义运

•少小离家老大还，乡音无改鬓毛衰

•小时四条腿，长大两条腿，老了三条腿

•奴隶社会・封建社会■资本主义社会■社会主义社

会……人类社会也是不停运动

结论：世界上一切事物都处于运动和变化中

第1章运动的描述

绝对性:

观察表明：

v地日=30kms/

第1章运动的描述

结论：一切运动都是绝对的，但是只有讨论相对意

义上的运动才有意义。

第1章运动的描述

士代物理号

版J,

二、参考系

为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.

选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不

同，这就是运动描述的相对性.

常用的参考系有：

地面参考系、地心参考系、太阳参考系、实验

室参考系等等

选取原则：

使问题的研究最方便、最简单

第1章运动的描述

二、坐标系

为定量地描述物体位置而引入。

常用的有直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球

面坐标系或柱面坐标系等。

第1章运动的描述

士代物理号

版J,

四、物理模型

对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题

的基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用

数学方法描述的理想模型。

如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其

大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转

动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量

的点（即质点）来处理.

第1章运动的描述

工第3枝二I

第1章运动的描述

质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模

型.目的是为了突出研究对象的主要性质，暂不考

虑一些次要的因素.

物体抽象为质点的条件:

1.物体做平动；

物体不变形，不作转动

（此时物标上各点的建

度及加速度都相同，物

体上任一点可以代表所

有点的运动）。

第1章运动的描述

弟1草运动的描述

1-2运动的描述

、位置矢量运动方程位移

1位置矢量

确定质点尸某一时刻在

坐标系里的位置的物理量称

位置矢量，简称位矢：.

r-xi+yj+zk

式中，、八人分别为x、y>z

方向的单位矢量.

第1章运动的描述

第1章运动的描述

1-2运动的描述

运动方程

如果质点是运动的，则位矢5

随时间不断变化，记为：

r(0=x⑴i+y(t)j+z⑴k

Lx=x(%)

或分量式yy=y(t)

JZ=z(%)称为运动方程

运动方程包含了质点运动的全部

信息，是运动学的核心。

第1章运动的描述

1-2运动的描述大号物理号

从中消去参数，得轨迹方程

V

12

—gt

2

兀

y=3cos—tg2

<----------X

6y=2

222.。

x+y=9

为圆周运动为抛体运动

N=O

第1章运动的描述

大号物理号

1-2运动的描述（第3鼠L

经过时间间隔△，后，质点位置矢量发生变化，

把由始点力指向终点6的有向线典/尔为声）到

5的位移矢量,简称位移.、丫=丫-r

第1章运动的描述

位移的大小为Ar=^A%2+AJ^2+AZ2

路程（As）：质点实际运动轨迹的长度.

第1章运动的描述

大号物理号

1-2运动的描述

讨论位移与路程

(A)位移是矢量，路程是标量.

(B)P/2两点间的路程是不唯

一的，可以是膜或As，而位移△:

是唯一的.

位移反映物体在空间位置的变化，

只决定于质点的始末位置,与路径

无关.

(C)一般情况，位移大小不

等于路程.AR&

［不改变方向的直线运动；

(D)什么情况=As?V

、当\tT0时dr=ds.

第1章运动的描述

大号物理号

（第3版）

第1章运动的描述

位矢长度的变化

增量的大小黄大小的增量

第1章运动的描述

1-2运动的描述大号物理号

3速度是描述物体运动快慢和运动方向的物理量。

第1章运动的描述

火号物理号

1-2运动的描述版2一

Ax_Ay_Az

若B=vxi+vyi+zvk匚。

AtAtAt

△x.AyAz

平均速度大小09

v一）+（一）+（一）

AtAtAt

2）瞬时速度

当-0时平均速度的极限值叫做瞬时速度,

简称速度____________________

_ArdrJ位矢对时间的变化率

0=lim------=-------

A—o△/dt

Ax-△y-Az-dx-dy-dz-

v=limi+limj+limk—i+j+k

0At'—Q'toAtdtdtdt

第1章运动的描述

质点在三维空间运动，即:

Vvi+vjJ+vk

Xyz

即:

dxdydz

V=,v=,v=

Xz

dtdtdt

说明质点的运动可以分解为各个坐

标轴上的分运动。

第1章运动的描述

瞬时速率：速度V的大小称为瞬时速率，简称速率。

V=V

当A130时,ds

一ds

V=V=--

dt

第1章运动的描述

当质点做曲线运动时，质

点在某一点的速度方向就

是沿该点曲线的切线方

向.即：

ds一

------e

dt

As

平均速率石

At

第1章运动的描述

大号物理号

1-2运动的描述(第3鼠L

讨论

一运动质点的运动方程为7=工⑺；+、(%)),则

任意时刻其速度的大小为

drdr

(A)—(B)一

dtdt

dr

dx2dy

(C)一(D))+(—)

第1章运动的描述

1-2运动的描述

讨论

（1）速度分量匕＜0意味着什么？

（答案:意味着速度方向沿x轴负向。）

（2）瞬时速度的大小是否等于速率？，一工口尽、

（答案:相等）

（3）平均速度的大小是否等于平均速率？

（答案:不一定相等）

（4）龟兔赛跑这个寓言故事中，谁的平均速率大?谁的瞬

时速率大？

第1章运动的描述

大号物理号

1-2运动的描述

4加速度（反映速度变化快慢的物理量）

1）平均加速度

单位时间内的速度增量即平

均加速度

一一。

a二---

L4At

a与Av同方向・

2）（瞬时）加速度

1

一。dvdr

alim-----=-----

△J°A，dtdt

第1章运动的描述

1-2运动的描述

质点作三维运动时加速度为a=ai+aj+ak

xyz

2

dtdtd，d，df

第1章运动的描述

1-2运动的描述

加速度的性质:加速度是瞬时矢量。

方向：是速度增量的极限方向。

__________£

讨论加速度分量值的正负意味着什么？正值是否

意味着加速?负值是否意味着减速？

（否。如a*vO意味着，加速度沿x轴分量与x轴负向一致。

是否作加速运动决定于加速度和速度的关系。如物体做自

由落体运动时，取向上为坐标轴正向,加速度为负。）

第1章运动的描述

大号物理号】

可1・2运动的描述-金3喙)

例1已知质点运动函数r=(2f+5)m

V

/2、

y-(t+3t-4)m

求：

⑴质点的运动函数矢量式；

⑵质点的轨道方程；

⑶时间在0〜2秒内的位移矢量式；

⑷速度函数；

⑸加速度函数。

第1章运动的描述

1-2运动的描述大号物理号

⑴质点的运动函数矢量式；

r=r(/)=x(t)i+y(t)j

-2一

=(2，+5)z+(t+3t—4)j

⑵质点的轨道方程；

y=a-1)(，+4)

4y=(2—2)(2/+8)

x=2%+5

2t=x-5

/、/2

4y=(x-7)(x+3)=x-4x-21

第1章运动的描述

1-2运动的描述大号物理号

⑶时间在0〜2秒内的位移

r(0)=5i-4j

尸(2)=9i+6j

Ar=4i+10j

⑷速度函数

―►

_dr-

v==2i+(2z+3)j

dt

⑸加速度函数

―►

dv-

a==2j

dt

第1章运动的描述

火号物理号

(黑”L

2.一质点在xoy平面上运动，运动方程为

12

x=3，+5y=-t+3，一4

2

式中，以s计，x,y以加计.

(1)以时间，为变量，写出质点位置矢量的表示式；

(2)求出，=1s时刻和，=2s时刻的位置矢量，计算这1秒

内质点的位移；

(3)计算，=0s时刻到，=4s时刻内的平均速度；

(4)求出质点速度矢量表示式，计算，=4s时质点的速度;

(5)计算，=0s至卜=4s内质点的平均加速度；

第1章运动的描述

:号物理号

CO松

(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算，=4s时质点的加

速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加

速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).

解：⑴r=(3/+5)i+(—t2+3t-4)y

2

(2)将公2代入上式即有

-.4----b

-4-"■

r,=8/-0.5/r=11i+4y

Ar=-r=3i+4.5i

21J

(3)Vro=5y-4j,r4=17z+16j

•—ArrA-r12i+20i--,

••v=----二---------------------=----------------------------------=3i+5ym-s

Nt4-04

第1章运动的描述

_dr

(4)v==3i+(，+3)7

dt

则-1

m-s

v4A=3i+7j

⑸•::0=37=3z+7

+3),v4

-Avv4-vo4-

a=-----=------------=—=1ym-s

At44

_dv-

(6)a=-----=1Jm•s

dt

这说明该点只有歹方向的加速度，且为恒量。

第1章运动的描述

大号物理号

5版2一

前情提要:

_dx-dy-dz

一直角坐标系下：。=——z+—j+一k

1•_drdtdtdt

V=------Y

dt一ds一

l自然坐标系下：。=——e,

dt

dvd2x

dtdJ

dvd2y

=~i、><a

dtdt分量式dtdt2

dvd2z

Ia=-----

dt2

增量的大小w大小的增量

第1章运动的描述

1,判断：若质点每一秒内的平均速度都相等，则质点

做匀速运动。

2.一质点在xo『平面上运动，运动方程为

-12一

r=(3t+5)z+(—t+3t-4)7

2

则质点作什么运动？

若运动方程为尸=3cos—ti+3sin—tj呢？

66

第1章运动的描述

士代物理号

版J，

x=(2Z+5)m

例已知质点运动函数Y

2

y=(t+3t-4)m

求:

⑴质点的运动函数矢量式;

⑵质点的轨道方程;

⑶时间在0〜2秒内的位移矢量式;

⑷速度函数；

⑸加速度函数。

第1章运动的描述

⑴质点的运动函数矢量式;

r=r(/)=x(t)i+y(t)j

-2一

=(2，+5)z+(t+3t—4)y

⑵质点的轨道方程；

y=(-1)"+4)

4y=(2/-2)(2，+8)

%=2，+5

2，=x-5

2

4y=(x—7)(x+3)=x—4x—21

第1章运动的描述

大卷物理号

施J

⑶时间在0〜2秒内的位移

r(0)=5i-4j

-►-►

r(2)=9i+6j

—►-►

Ar=4z+10j

⑷速度函数

一d/f一

v==2i+(2z+3)j

dt

⑸加速度函数

dv-

a==2j

dt

第1章运动的描述

1-2运动的描述

运动学中的两类问题

一由已知的运动方程可以求得质点在任一

时刻的速度和加速度；

二已知质点的加速度以及初始条件，可求

质点速度及其运动方程.

第1章运动的描述

1-2运动的描述

例1.4已知一质点的运动方程为二=3〃-，式中

r以m计，，以s计，求质点运动的轨道、速度、加速度.

解将运动方程写成分量式

x=3t,y=-4t2

消去参变量力得轨道方程：4-+9伊=0,这是

顶点在原点的抛物线.见图1.15.

由速度定义得

—►

_dr一一

v=------=3i—8tj

dt

图L15

第i章运动的描述

大号物理号

1-2运动的描述

其模为。=6+(8/,与X轴的夹角0=arctan—

3

由加速度的定义得

―►

dv-

a==-8/

dt

即加速度的方向沿了轴负方向，大小为3mls2

第1章运动的描述

dt

t_V

两边积分可得：\adt=[dv=v-v

JoJv0

v=vo+[adt.

Jo______

__＞适用于所有运动

vdt=dr

r=%+jvdt

Jo

第1章运动的描述

<V=V+at

匀加速运动;=常量xOxX

一一‘一--yv=v+at

yyy

v=v0+(adt=vQ+at

Jo

/%=%。++~at

2

12

r=r+\vdt=r+vt+—at•V=九+V0yt+~ayf

0；，0Q2

J。212

Jz=z0+v0：t+-a2t

2

匀加速直线运动质点运动的所在的直线为x轴，只取标量式中的第一项。

12

常量

2

第1章运动的描述

1-2运动的描述

补充：一质点作平面运动，其加速度为3=21+3/，

设t=0时，质点由原点从静止出发。求：任意时刻的速

度和位置

一v

ddvxdvy

解由a=ax—ay—

dtdtdt

tt

=adtv-v=v=fadt=f2dt=2t

可知d0*XXXn0X1X

J0J0

tt

dv=adtv-v=v=[adt=[3dt=3t

yyyyQn

yyJo

―►—►—»

•・v=2ti+3tj

第1章运动的描述

drdxdy

由vVV

Xy

dtdtdt

3

22

xvdt2tdtyvdt3tdt

oXo002

232

+J

2

已知初始条件:

求导求导

二二？

0（，）

积分积分

第1章运动的描述

士代物理号

版J,

质点沿一条直线运动时，其位片0

矢、速度和加速度均沿*轴，ox

此时可将矢量符号省略。

1匀速直线运动:

q=00=00=吊里

时刻：

2匀加速直线运动:

V=00+办

a=常量1

x=xQ-\-vQt+—at

初始条件：J，%2

22

v-v0-2a(1x-x0

第1章运动的描述

3自由落体运动：01片。

a=g=9.8m/J,方向竖直向下［且,

初始条件："

°0二°，九二°

，时亥I):J

v=vQ+at=gt

1212

y=>o++一前=—at

22

第1章运动的描述

4竖直上抛运动:

a=-g=-9.8m/s

初始条件：。0,九=。I

，时刻：vv+at=vQ-gt片0

12121g

V=九十+~at=v0t~-gt

22

质点达到最高点时，v=Q

第1章运动的描述

士代物理号

版J,

5抛体运动：

抛体运动一般是二维运动，其运

动轨迹为抛物线。

已知条件:

与=0,a=-g

片。时，初速度为%，抛射角为仇

BP：VVCOS

0A-0O9vOy=vosin0

々=0,y(r°

第1章运动的描述

士代物理号

(O版J,

求:

L在直角坐标系下,任意一t时刻物体的速度函数和位

置函数。

2.物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间K

3.飞行中的最大高度L依

第1章运动的描述

士代物理号

(O版J,

4.飞行的轨迹方程。

5.飞行的射程四。

解：L运动函数和速度函数

%=0ocos0sin0-gt

12

X=0cos0-ty=V0sm6-t--gt

°2

2.物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间T

令7=0得

2。0sin0

g

第1章运动的描述

3.飞行中达到最大高度Ymax时，v=0o得

vQsin0

t=-------------

g

4.轨迹方程

1

x=00cos0-ty=osin9-t--gt

2

消去方程中的参数，得轨迹

八12

y-xtan3------------------x

22

2vcos3

第1章运动的描述

5.飞行的射程盛为

2

d0二^sinecos0

求最大射程

sin20

_p_______

d°二A

g

e=it]4

最大射程九二说/g

0mO/o

第1章运动的描述

火号物理号

（黑”L

注意：

1.以上关于抛体运动的公式，都是在忽略空气阻力的情况下得

出的。只有在初速比较小的情况下，它们才比较符合实际。实

际上子弹或炮弹在空气中飞行的规律和上述公式是有很大差别

的。例如，以550m/s的初速沿45。抛射角射出的子弹，按

上述公式计算的射程在30000m以上，实际上，由于空气阻力，

射程不过8500m,不到前者的1/3,子弹或炮弹飞行的规律，

在军事技术中由专门的弹道学进行研究。

2.空气对抛体的影响，不只限于减小射程。对于乒乓球、排球、

足球等在空中的飞行，由于球的旋转，空气的作用还可能使他们的

轨道发生侧向弯曲。

3.对于飞行高度与射程都很大的抛体,例如州际弹道导弹,弹头在

很大部分时间内都在大所层以外飞行，所受空气阻力是很小的。

但是由于在这样大的范围内，重力加速度的大小和方向都有明显

的变化，因而上述公式也都不能应用。

第1章运动的描述

1-2运动的描述

斜抛运动

当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止

自由下落.试说明为什么子弹总可以射中椰子？

第1章运动的描述

K必必A

;

斜抛运动=g为重力加速度，方向沿竖直向下,

其中g-9.8m/52o

v=v0+at=v0+gt

—►—►—»1—►2—►—►1—*

r=r()+vot+-at=0+-gt

22

取射击点为坐标原点，即1°=0

2

第1章运动的描述

1-2运动的描述（第习编・

第1章运动的描述

1-2运动的描述大号物理号

5=cb速度大小变化

第1章运动的描述

1-2运动的描述大号物理号

―/—0

讨论问a=a¥--吗?

/dt

例匀速率圆周运动

因为^(/)=o(%+d/)

dv

所以一三。

dt

而a-a0

dv

所以aw—

dt

第1章运动的描述

大号物理号

1-2运动的描述施J

、曲线运动的描述运动轨迹为曲线的运动

描述曲线的弯曲程度：曲率限曲率半径）

1ds

曲率半径P=

曲线在某一点的曲率半

径〃等于其在该点的密接

圆的半径九

曲率半径越小，曲线弯曲

得越厉害

第1章运动的描述

1平面曲线运动

质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为

一维坐标的轴线——自然坐标。

W切向单位矢量、

指向物体运动方向A

三法向单位矢量，

”指向轨道的凹侧

位移八=

_ds_

速度v=----e

dt

第1章运动的描述

△一°A,△30AtAz->oAt

AvAv

tn

lim---------十limJ+a

n

△tf0At△3°At

第1章运动的描述

一Az?"p

t—lim—