第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 精讲（解析版）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

目录

第一部分：知识点必背................................................1

第二部分：高考真题回归.............................................6

第三部分：高频考点一遍过...........................................10

高频考点一：基本立体图形........................................10

高频考点二：立体图形的直观图....................................14

高频考点三：空间几何体的表面积与体积...........................17

角度1：表面积和侧面积........................................17

角度2：体积..................................................19

角度3：蚂蚁爬行最短问题.....................................22

高频考点四：空间几何体的外接球.................................31

角度1：补形法................................................31

角度2：对棱相等型...........................................32

角度3：借助三角形外心确定球心...............................34

高频考点五：空间几何体的内切球.................................40

第四部分：数学文化题..............................................45

温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头

第一部分：知识点必背

知识点一：空间几何体的结构特征

1、多面体的结构特征

1.1棱柱

(1)棱柱的定义

定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面所围成的多面体叫做棱柱

底面(底)：两个互相平行的面

侧面：其余各面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与底面的公共顶点

(2)棱柱的图形

三棱柱、四棱柱、五棱柱、

(3)棱柱的分类及表示

①按棱柱底面边数分类：

②按棱柱侧棱与底面位置关系分类：

③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱

直棱柱、斜棱柱

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱

平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱

表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱ABCDEF-AB'C'DE'F

1.2棱锥

(1)棱锥的定义

定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥

底面：多边形面

侧面：有公共顶点的各三角形面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：各侧面的公共顶点

(2)棱锥的图形

A'R

(3)棱锥的分类及表示

按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……

特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥

表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥S-A3CD

1.3棱台

(1)棱台的定义

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台

上底面：原棱锥的截面

下底面：原棱锥的底面

侧面：除上下底面以外的面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点

(2)棱台的图形

三棱台、四棱台、五棱台、

(3)棱台的分类及表示

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台

用各顶点字母表示棱柱，如棱台A6CD—A'8'C'Q'

2、旋转体的结构特征

2.1圆柱

(1)圆柱的定义底面

以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

圆柱的轴：旋转轴侧面

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面一母线

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面底面

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边

(2)圆柱的图形

(3)圆柱的表示

圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱OO'

2.2圆锥

（1）圆锥的定义

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体

轴：旋转轴叫做圆锥的轴

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

锥体：棱锥和圆锥统称为锥体

（2）圆锥的图形

（3）圆锥的表示

用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥SO

2.3圆台

（1）圆台的定义

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台

轴：圆锥的轴

底面：圆锥的底面和截面

侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分

母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分

台体：棱台和圆台统称为台体

（2）圆台的图形

（3）圆台的表示

用表示它的轴的字母表示，如图，圆台OO'

2.4球

球的表面积和体积

（1）球的表面积：S=4TTR2

4a

（2）球的体积：V=—1收

3

知识点二：直观图

1、空间几何体的直观图的绘制方法

（1）画轴.在平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点。，画直观图时，把它们分别画成对应

的X,轴与了轴，两轴交于点O',且使Nx'O'y'=45"（或135°）,它们确定的平面表示水平面；

（2）画底面.已知图形中，平行于％轴》轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于才轴、y'轴或z'轴

的线段；

（3）画侧棱.已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度

变为原来的一半；

（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.

简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.

2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质

①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍

然相交；③平行于X,Z轴的长度不变.

知识点三：柱、锥、台、球的表面积和体积

几何体表面积体积

柱体（棱柱，圆柱）S表二S侧+2S底V=Sh

椎体（棱锥，圆锥）

S表=S«!+S底V=-Sh

3

台体（棱台，圆台）

S表=3侧+S上+S下v=g（s上+S下+JS上S下抽

球S=4兀K

V=-7lR3

3

知识点四：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

几何体圆柱圆锥圆台

图示六一1

1

2wr口

侧面积公式S恻s侧S恻=万（厂'+厂）1

常用结论

1.球的截面的性质

（1）球的截面是圆面,且球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面;

⑵球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=JK—笛

第二部分：高考真题回归

1.（多选）（2023•全国（新高考I卷）•统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）

的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C,底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

【答案】ABD

【详解】对于选项A：因为0.99m<lm,即球体的直径小于正方体的棱长,

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为国，且0>1.4，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为括m,且g<1.8,

所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；

对于选项D：因为1.2m>lm,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，

如图，过AG的中点。作OE^AG，设OEIAC=E,

可知AC=A/2,CC,=1,AC,=J3,OA=—,贝UtanZCAQ=0=空,

2ACAO

1OE

即二方一逅，解得。后二A/6

~T

I》?。—即?。6,

故以AG为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱，

若底面直径为L2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心与正方体的下底面的切点为

M,

可知：AC,±0^,0^=0.6,则tan/C4G=用=整，

ACAC7]

10,6_「

即=解得4?i=°.6直，

根据对称性可知圆柱的高为6-2X0.6五®1.732-1.2x1.414=0.0352>0.01,

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

故选:ABD.

2.（2023•全国（乙卷文）•统考高考真题）已知点S,A,3,C均在半径为2的球面上，，由C是边长为3的

等边三角形，SAmABC,贝lJS4=.

【答案】2

【详解】如图，将三棱锥S-ASC转化为直三棱柱SAW-ABC,

设，抽。的外接圆圆心为。一半径为『，

2r=A'__=3_2百

则sinZACBg,可得厂=近，

T

设三棱锥S-ABC的外接球球心为。，连接OAOQ,则。4=2,OQ=gsA,

因为0A2=oo：+0^2,即4=3+；ST,解得1s4=2.

故答案为：2.

3.（2023•全国（甲卷文）•统考高考真题）在正方体ABCD-ABGP中，AB=4,O为AC1的中点，若该正

方体的棱与球。的球面有公共点，则球。的半径的取值范围是.

【答案】［2衣2封

【详解】设球的半径为R.

当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包

含正方体，导致球面和棱没有交点，

正方体的外接球直径2R为体对角线长AC；=142+42+4?=4石，B|J2R'=4y/3,R'=2y/3,故凡^=2右;

分别取侧棱4VBB1,CG，D2的中点显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且。为正方形

MZVGH的对角线交点，

连接MG,贝IJMG=4夜，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径达到最小，即R的最

小值为2应.

综上，R72a,2出、.

故答案为：［2夜,2石］

4.（2023,全国（甲卷理）•统考高考真题）在正方体ABC。-4月G。中，E,尸分别为CZ）,AA的中点,

则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为.

【答案】12

【详解】不妨设正方体棱长为2,所中点为O,取A3,8瓦中点G,M,侧面24cle的中心为N,连接

FG,EG,OM,ON,MN,如图，

由题意可知，。为球心，在正方体中，

即R=&,

2222

则球心。到BB｛的距离为OM=s]ON+MN=Vl+1=，

所以球。与棱B片相切，球面与棱B片只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点,

所以以跖为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.

故答案为：12

5.（2023・全国（新高考n卷）•统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截

去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

【答案】28

21

【详解】方法一：由于彳=：，而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱锥的体积为gx（2x2）x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为gx3x（16+4+而可=28.

故答案为：28.

6.（2023・全国（新高考I卷）•统考高考真题）在正四棱台A3CD-A3CQ1中，AB-2,A^BX=1,AA^=V2,

则该棱台的体积为.

【答案】巫白岳

6O

【详解】如图，过4作AMLAC,垂足为"，易知AM为四棱台ABCO-AAG。的高，

因为AB=2,A4=1,AA^=y/2,

则Aa='夜44=—,AO=-AC=-x-j2AB=y[2,

222

故AM=g(AC—4G)=当，则4M=Ja42_AAf2

所以所求体积为V」x(4+l+"^)x^=W!.

326

故答案为:等

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：基本立体图形

典型例题

例题1.（2023春•黑龙江大庆•高一铁人中学校考期中）给出下列说法：

①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块

其中正确说法的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【详解】对于①中，根据棱台的定义，延长棱台的所有侧棱交于一点，所以有两个面平行且相似，其他各

个面都是梯形的多面体不一定是棱台，所以①不正确；

对于②中，根据棱锥的定义，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，所

以②不正确；

对于③中，根据棱柱的定义，有两个面平行，且该多面体的顶点都在这两个平面上，其余各面都是四边形

的几何体叫棱柱，所以③不正确；

对于④中，一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成8块，所以④不正确.

故选：A.

例题2.（2023春•山东临沂•高一校考期中）下列说法中，正确的是（）

A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥

B.以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥

C.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

D.用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面

【答案】D

【详解】选项A：以直角三角形的一个直角边所在直线为轴旋转一周所得的

几何体是圆锥.判断错误；

选项B：由正四棱锥定义可得以正方体的顶点为顶点不可以构成正四棱锥.判断错误；

选项C：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台.判断错误；

选项D：用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.判断正确.

故选：D

例题3.（2023•江西•统考模拟预测）已知在长方体ABC。-A4G2中，AB=BBI=2BC,点P,Q,T

分别在棱8月，CG和A3上，且用尸=32尸，CQ=3ClQ,BT=3AT,则平面尸。7截长方体所得的截面形

状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】C

【详解】如图连接。尸并延长交CB的延长线于点E,连接ET并延长交AD于点S,

过点S作SR//EQ交DR于点R,连接RQ,

则五边形PQRST即为平面PQT截该长方体所得的截面多边形.

其中因为4尸=3BP,CQ=3QQ,BT=3AT,

所以EBPsECQ,则铛=城=!，所以即=28C,

ziCJ2

SAAT111

又,SATs.EBT,所以不="=彳，所以&4=彳历=24£>,

EBTB336

则SD=*A£）,

6

显然一SDRs..EC。，则/=簧，所以DK=3QC=]|CG=VDR.

E

故选：c

例题4.（2023春•高一课时练习）如图，已知正方体ABCD-A耳GR中截去一部分，其中"G/A4D//EE

剩下的较大的几何体是什么？

【答案】直五棱柱A^BEH-D&CFG

【详解】正方体ABCD-44CR中截去一部分，其中HGIIADIIEF,

剩下的较大的几何体中，

五边形ABQEH与五边形〃GCFG全等且所在平面平行，

侧面AD'GH,HGFE,EFCB,BCQB「BiQDA均为矩形，

则该几何体为直五棱柱9阻-RQCFG.

练透核心考点

1.（2023春•安徽•高一安徽省太和中学校联考阶段练习）下列叙述正确的是（）

A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

D.棱台的侧棱延长后必交于一点

【答案】D

【详解】对于A,当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误；

对于B,C,如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B,C错误;

对于D,由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确.

故选：D.

2.（2023春•广东深圳•高一校考期中）从正方体的8个顶点上任取4个顶点，则这4个顶点构成的几何图

形不可能是（）

A.三个面是直角三角形的正三棱锥

B.有一个面是钝角三角形的四面体

C.每个面都是等边三角形的四面体

D.每个面都是直角三角形的四面体

【答案】B

【详解】

如图ABC。-44GR是正方体，三棱锥A-A即是三个面为直角三角形的正三棱锥，A正确；

三棱锥A-ABC是四个面都是直角三角形的四面体，D正确；

三棱锥是四个面都是等边三角形的四面体，c正确；

对于B,先选取4点，与剩下的7个顶点的任意两个都不可构成钝角三角形，B错误；

故选：B.

3.（多选）（2023春•高一课时练习）下列说法正确的是（）

A.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台

B.以等腰三角形底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180。形成的曲面所围成的几何体是圆锥

C,圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

D.用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面

【答案】BCD

【详解】对于A,以直角梯形中垂直于底的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故A错误;

对于B,以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体

是圆锥，B对；

对于C,圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，C对；

对于D,用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，D对.

故选:BCD.

4.（2023春・广东东莞•高一东莞市东莞中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（）

A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

B.棱柱的面中，至少有两个面互相平行

C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥

D.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥

【答案】BC

【详解】

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.

而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误；

由棱柱定义可知棱柱的面中，至少有两个面互相平行，故B正确；

一个”棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和60°〃<360°,即“<6,故C正确；

一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥，故D错误.

故选：BC.

高频考点二：立体图形的直观图

典型例题

例题1.（2023春•安徽•高一安徽省太和中学校联考阶段练习）如图所示，A2C'是水平放置的一ABC

的斜二测直观图，其中O'C'=O'A，=2OE,贝！|ABC是（)

B.钝角三角形

C.等腰直角三角形D.以上选项都不对

【答案】C

【详解】根据斜二测画法可知，在原图形中，。为CA的中点，ACLOB.

因为O'C'=O'A=2O'B'，所以CO=40==-AC,

2

则」是以AC为斜边的等腰直角三角形，如图所示:

故选：C.

例题2.（2023春•湖北•高一校联考阶段练习）如图所示，矩形O'AB'C是水平放置的一个平面图形的

B.面积为乎的矩形

A.面积为60的矩形

D.面积为羊的菱形

C.面积为6近的菱形

【答案】C

【详解】N£>'O'A=45,OfC'=CD'=l,所以=夜,

故在原图中，OD=2也,CD=C'D'=1

OC=yJOD2+CD2=^/8+T=3>

所以四边形。4BC为菱形（如图所示），。4=3,

则原图形面积为S=O4xOD=6^.

练透核心考点

1.（2023春•高一课时练习）如图是水平放置的三角形ABC的直观图，次是A'3'C‘中B'C’边上的一点,

且次离9比。，离C'近，轴，3'C'〃x'轴，那么线段AB,AD,AC中，最长、最短的线段分别是

()

ADC.AD,ACD.AB,AD

【答案】B

【详解】原,ABC的平面图如图所示.

由题意可知，AD1BC,BD<DC,所以AC>AB>AT>,

所以在线段AB,AC,AD中，最长的是AC,最短的是AD

故选：B.

2.(2023春•高一课时练习)用斜二测画法画出图中四边形03CZ)的直观图.

【答案】答案见解析

【详解】分以下三步进行作图：

(1)过点C作CELx轴，垂足为E,如图①所示.

在X,轴上取点8',E',使得O'F=O8,O'E'=OE；

在了轴上取一点使得0力'=：。£＞；

2

过后作EC〃，轴，使EC'=；EC,连接B'C',CD,如图②所示.

(3)擦去V轴与了轴及其他辅助线，

如图③所示，四边形O'8'C'力就是所求的直观图.

高频考点三：空间几何体的表面积与体积

角度1:表面积和侧面积

典型例题

例题1.（2023•山东烟台•统考三模）已知底面半径为3的圆锥SO,其轴截面为正三角形，若它的一个

内接圆柱的底面半径为1,则此圆柱的侧面积为（）

A.B.26兀C.4百兀D.8A/3TI

【答案】C

【详解】如图作出圆锥的轴截面依题意03=04=3,OD=OC=1,SB=6,

所以SO=Jse-9=3上,

易知BDFsBOS,则——=——,所以DF=2A/3,

BOSO

即圆锥的内接圆柱的底面半径厂=1,高〃=2有，

所以圆柱的侧面积S=27t泌=2xlx2岛=4岛.

故选：C

例题2.（2023春•高一课时练习）已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和2,高为1,则圆台的表面

积为（）

A.3岳B.（5+30）兀C.凡D.兀

【答案】B

【详解】如图所示，由题知。4=1,。d=2,OOl=l,则AB=42-1）2+段=6.

故圆台的表面积5=兀、12+兀、22+也无（1+2）=（5+3应）无,

故选：B

例题3.（2023春•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第六中学校校考期中）棱长为1的正方体纸盒展开后如

图所示，则在原正方体纸盒上，分别将C,D四点两两相连，构成的几何体的表面积为.

【答案】2A/3

【详解】在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，如图所示,

因为MN,MC,MD,ND,NC,CD为正方体的面对角线，

所以MN=MC=MD=ND=NC=CD=6,

所以D-MNC为正四面体，

所以表面积为：—X（72）2X4=2A/3,

故答案为：26.

例题4.（2023春•黑龙江大庆•高一铁人中学校考期中）由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔

的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为回L则以该四棱锥

4

的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为.

【答案】7

4

【详解】如图,

p

设正四棱锥的底面边长为。，高为h,斜高为"，E为8的中点,

则由题意得：「粤,所以仁空

则设以该四棱锥的高为边长的正方形面积为R，=/?=〃=j今一［=二54,

设该四棱锥侧面积为邑=4小〃'=2,•"”平,

1

所以

2

故答案为：!

角度2：体积

典型例题

例题1.（2023春•湖北•高二黄石二中校联考阶段练习）圆柱的轴截面是周长为12的矩形，则满足条件

的圆柱的最大体积为（）

A.8兀B.IOTIC.12TID.16冗

【答案】A

【详解】圆柱的底面半径为二，高为〃，则4r+27?=12,即2厂+/?=6,

圆柱的体积V=7tr2h=Tir2（6-2r）=-2;ir3+6jir2,0<r<3,

V—~6冗户+121厂=-6^r（r-2）,

当0</<2时，V>0,函数单调递减，当2<r<3时，V'<0,函数单调递增，

所以，当r=2时，函数叭厂）取得最大值，最大值丫（2）=8兀.

故选：A

例题2.（2023春•湖北•高一校联考阶段练习）某广场内供休闲人员休息的石凳是由一个正方体石块截

去8个相同的四面体得到的，如图所示，若被截正方体石块棱长为60cm,则该石凳的体积为（）

（单位cn?）

A.180000B.160000C.140000D.120000

【答案】A

【详解】正方体的体积为60x60x60=216000cm3，

切去的每个四面体的体积为:x30x；x30x30=4500cm3,

所以该石凳的体积为216000-8x4500=18OOOOcm3.

故选：A.

例题3.（2023•河北唐山•唐山市第十中学校考模拟预测）如图，正方体的棱长为4,

点尸，。，R分别在棱。A,M.CG上，且RP=AQ=Q?=1,则以平面尸QR截正方体所得截面为底

面，A为顶点的棱锥的体积为.

14

【答案】~

【详解】延长尸。交的延长线于点延长尸R交。C的延长线于点N,连接初V交

AB于点E,交于点/，连接则平面PQMR即为平面PQR截正方体所得的截面.

因为£）/=4。=1,贝I］。尸=3,

,,,,,,MAAQMA1,

又因为A。〃。尸,所以x,a即n—7=彳，斛佝A£4=2,

MDDPMA+4-3

同理可得CN=2,贝l|DN=DC+CZV=4+2=6,MD=6,

因为AE//DN,所以半=坐=:，又DN=6,则AE=2,同理可得CF=2；

MDDN3

所以％由=:"»5"=33义?6*6=18,

^Q-AME=§.AQ.S.E=]XlX]x2x2=I,VR_CFN=VQ_AME=—,

1114

VR-AFC=-CR^SACF=-xlx-x2x4=-9

11132

=

VAPRCD—AO,SpRe=_x4x_x(1+3)x4=—,

243214

^A-QEFRP-Vp-DMN-^^Q-AME-^R-AFC~^A-PRCD=18-2x————=.

例题4.(2023•内蒙古呼和浩特•统考二模)如图；在直三棱柱ABC-A与G中，AC=3,BC=AAi=4,

AB=5,点。为AB的中点.

(1)求证ACL2G；

(2)求三棱锥4-⑺片的体积.

【答案】①证明见解析

(2)8

【详解】(1)在/ABC中，

因为AC=3,AB=5,BC=4,

所以ACjBC?=44，

所以.ABC为直角三角形，即AC1BC,

又因为在直三棱柱ABC-AAG中，CG，平面A3C,且ACu平面ABC,

所以CG^AC,

又CCqBC=C,CG，BCu平面BCG，

所以AC，平面BCC1,

又因为BGu平面BCC一

所以ACLBC-

（2）在ABC中，过C作CF1AB,尸为垂足,

由直三棱柱ABC-44cl得平面平面ABC,且平面A84A）平面ABC=AB,CFJ.AB,C/u平

面A3C,

所以CF±平面ABB^,

又因为S%4=5X4X1=10,

11I?

7

所'以，/匕一DB|C,iCyD=^C-A[LDz£B»|=~3SznJA/i]BD|-CF=-3X10X—5=8.

角度3:蚂蚁爬行最短问题

典型例题

2

例题1.（2023春•高一课时练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为一cm,高为2cm,AB,CD分别

71

是两底面的直径，AD,8。是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点。处，则小虫爬行的最短距

离是（)

C.正cm

A.2&cmB.2cmD.1cm

2

【答案】A

【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段AG的长度即为所求,

71

•AQ=722+22=2直（cm）.

故小虫爬行的最短距离是2，5cm.

故选：A.

例题2.（2023•新疆阿勒泰•统考三模）有一个圆锥形铅锤，其底面直径为2cm,母线长为3cm.尸是

铅锤底面圆周上一点，则关于下列命题：①铅锤的侧面积为371cm②；②一只蚂蚁从P点出发沿铅锤侧面爬

行一周、最终又回到P点的最短路径的长度为3辰m.其中正确的判断是（）

A.①②都正确B.①正确、②错误

C.①错误、②正确D.①②都错误

【答案】A

【详解】依题意，圆锥的底面圆半径为1cm,母线长为3cm,所以铅锤的侧面积为371cm?,①正确;

沿着过点尸的圆锥的母线剪开，把侧面展成平面图形，如图，

显然扇形弧长为圆锥底面圆周长27rcm,而扇形半径为母线长3cm,因此扇形圆心角NPOP=可，

在APOP'中,由余弦定理得PP'=y/OP2+OP'2-2OP-OP'cosZPOP'=J32+32-2x3x3xL|j=3^,

蚂蚁从尸点出发沿铅锤侧面爬行一周、最终又回到P点的最短路径即为线段尸尸'长36cm,②正确.

故选：A

例题3.(2023春•高一单元测试)如图，已知圆柱的高为〃，底面半径为R,轴截面为矩形四，在

母线AA上有一点尸，且PA=a,在母线B片上取一点Q,使4Q=人，则圆柱侧面上尸、。两点的最短距

离为•

【答案】J(nA),+(/z-a-

【详解】如图，把圆柱的半个侧面展开，是一个下长为兀R,宽为。的矩形,

B}Q=b,PA^a,过户作PE，3耳，£为垂足，所以QE=h-a-b,

即可把尸2放在一个直角边为您和/z-a-b的直角三角形尸。E中，

根据勾股定理可得：PQ=y]PE2+QE2=yJ(itR)2+(h-a-b)2.

故答案为：J(无&2+(/?-a-A)?.

例题4.(2023•安徽铜陵•统考三模)如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为

2km,山高为2&5km,6是山坡SA上一点，且AB=2km.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公

路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为.

【答案】3.6km

【详解】由题意，半径为2km,山高为2岳km,则母线S4=后1^1=8,

47rIT

底面圆周长2m=4兀，所以展开图的圆心角。=t-=7，

82

如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，钻=78r苕=10，

由点S向A3引垂线，垂足为点H,此时为点S和线段A3上的点连线的最小值，即点H为公路的最高点,

上出段即为下坡路段，

则即36=10即，得3”=3.6km

下坡路段长度为3.6km.

A

故答案为：3.6km

练透核心考点

1.（2023春•全国•高一专题练习）已知等边三角形SA8为圆锥的轴截面，48为圆锥的底面直径，O,C分

别是A8,S3的中点，过OC且与平面SA8垂直的平面记为a,若点S到平面a的距离为布，则该圆锥的

侧面积为（）

A.8兀B.16TIC.24兀D.32兀

【答案】B

【详解】如图，作SZJLOC于点。，

因为平面5AB_1_平面a,且平面5AB平面e=OC,

所以平面a,SD=#,点。,C为的中点，则OC〃SB,

且△SAB为等边三角形，则ZDSC=30,所以SC=20，

所以底面半径04=2&，母线SB=4夜，

则该圆锥的侧面积S=mi=TTX2后x472=16%

2.（2023•福建厦门•统考模拟预测）已知圆台上下底面的半径分别为1和2,母线长为3,则圆台的体积为

（）

7兀14后

A.B.C.7兀D.14A/2K

33

【答案】B

【详解】由图可得，圆台的高为=2匿,

故圆台的体积为丫=3义20义卜*12+兀*22+5/^再7天）=¥^1

3.（2023•全国•统考高考真题）在三棱锥P-ABC中，一ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=娓,

则该棱锥的体积为（）

A.1B.V3C.2D.3

【答案】A

【详解】取A3中点E,连接尸及CE,如图，

ABC是边长为2的等边二角形，PA—PB—2,

:.PE±AB,CE±AB,又尸E,CEu平面PEC,PECE=E,

平面PEC,

5LPE=CE=2x—=y/3,PC=46,

2

故PC?=PE2+CE2,即PE_LCE,

x

所以V=匕-pEc+%-PEC=]SAPEC'AB——-XA/3XA/3X2=1,

故选：A

4.（2023春・湖北•高一校联考阶段练习）将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转3弧度,

则纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为.

2兀

【答案】2+y

【详解】由已知可得该几何体为底面半径为1,高为1的圆柱的!，如下图：

所以该几何体的表面积S=2+2xLx7ixl2+^x27rxi=2+生，

663

2冗

故答案为：2+—.

5.（2023・全国•高一专题练习）如图，正方体ABC。-的棱长为，，连接4。，4。，A'B，BD,

BC’,CD,得到一个三棱锥.则三棱锥4-BCD的体积是.

3

【答案】—

3

【详解】三棱锥A—ABD,C'—CBD,D-A'D'C',3—49。是完全一样的.

故%,-BCD=V；-4y4._ABD=〃3_4X；X；〃2XQ=?

3

故答案为：—.

3

6.（2023春•高一课时练习）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120。，半径为1的扇形，则这个圆锥的

表面积与侧面积的比是.

【答案】4:3

【详解】设圆锥底面圆的半径为厂，则底面圆的周长为2口，即展开后的扇形弧长为2”，

又扇形的圆心角为120,半径为1.

所以12°一x2Kx1=271r，所以〃=L

3603

兀

故圆锥的侧面积为；1X1X2?==7T,

233

表面积为二+=—,

3⑶9

4兀

所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为

3

即这个圆锥的表面积与侧面积的比是4:3.

故答案为：4:3

7.（2023春•黑龙江哈尔滨・高一黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）如图所示，正三棱柱

ABC-AB=AA,=4,E,尸分别为4G，BC的中点.

（1）证明：EP〃平面ABC；

（2）求三棱锥片-ABC的体积.

【答案】⑴证明见解析

⑸16g

（2）利用^ABC-^C,~2VA,-ABC,可求三棱锥耳-ABC的体积.

【详解】（1）在正三棱柱ABC-ABC中，侧面BCG片为矩形，

连接8G，歹为qc的中点，则BG与qc交于点尸，且F为8G的中点,

因为E,歹分别为AC，BG的中点，

则EB//A8,又ABu平面ABC,Ebz平面ABC,

故斯〃平面ABC；

(2)由已知可得5.=348'46*5指60°=34、4、亭=46,

所以力登国=匕8c-48向-2匕,”c=473x4-2x]x4后x4=6f.

8.（2023春•高一课时练习）如图是一个圆锥形物体，其母线长为3cm,一只小虫子从圆锥的底面圆上的

点P