2021高考数学试题解析汇编

2021年全国乙卷高考理科数学试题解析

1.设2（z+z）+3（z-z）=4+6i,则2=（）

A.l-2zB.1+2;C.1+zD.l-i

【答案】C

【解析】设2=。+应，则之=a-初，则2（z+z）+3（z-z）=4a+64=4+6i,

4a=4

所以，<，解得。=/?=1,因此，z=1+z.

6b=6

故选：C.

2.已知集合5={s|s=2〃+l,〃eZ},T={f,=4〃+l,〃eZ},则S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【解析】任取fwT,则f=4〃+l=2・（2〃）+l,其中〃eZ,所以，teS,故TqS,

因此，5T=T.

故选：c.

|Al

3.已知命题p:lr£R,sinxvl；命题q:X/x£R,e>1，则下列命题中为真命题的是

（）

A.PMB.FMC.D.

」（pvq）

【答案】A

【解析】由于一l<sinxWl,所以命题〃为真命题；

由于国之（），所以e«21，所以命题4为真命题；

所以〃为真命题，~P、p、―q、-i（pvq）为假命题.

故选：A.

1—x

4.设函数/（幻=——，则下列函数中为奇函数的是（）

1+x

A.f（X—1）—1B./（%—1）+1C.f（X+1）—1D.

仆+1）+1

【答案】B

【解析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

1~r7

【解析】由题意可得/（幻=——=-1+——，

l+x1+X

对于A,-1=2-2不是奇函数；

x

2

对于B,7（x-l）+l=一是奇函数；

X

2

对于C,/（x+l）-l=------2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

x+2

2

对于D,/（X+1）+1=——，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

x+2

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

5.在正方体ABC。—A4G2中，尸为耳鼻的中点，则直线m与AA所成的角为（）

兀兀兀兀

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【解析】平移直线AA至3G，将直线与A。所成的角转化为依与3G所成的角，解

三角形即可.

【解析】

如图，连接因为A2〃BC1,

所以NPBG或其补角为直线PB与所成的角,

因为BB11平面A4GA,所以BB|_LPG，又PCi±BR,881c4。=与，

所以PG_L平面PBB、,所以PC,1PB,

设正方体棱长为2,则BG=2&,PG与=J5,

sinZPBC,=所以NPBG=f.

6cl26

故选：D

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，

每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【解析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组

合，排列，乘法原理求得.

【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先

从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元

素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!

种，根据乘法原理，完成这件事，共有C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后

利用先选后排思想求解.

7.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把所得曲

线向右平移(个单位长度，得到函数〉=5拘［％一?)的图像，则/(x)=()

【答案】B

【解析】解法一：从函数y=/(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到

y=制，即得了2^-yjj=sin^-^J,再利用换元思想求得y=f(x)的

解析表达式；

解法二：从函数y=sin|x-(

出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到

y=/(x)的解析表达式.

【解析】解法一：函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变,

TT

得到y=/(2x)的图象，再把所得曲线向右平移1个单位长度，应当得到

y=/2(》一号)的图象，

兀、

根据已知得到了函数y=sin|x-?

的图象，所以/2x-

令T崂兀7171

，则1=—H——，尤---=—H---,

234212

所以/(/)=sing+春，所以/(x)=sin：+专

解法二：由已知的函数y=sin逆向变换，

[4J

第一步：向左平移与个单位长度，得到y=sin[无+0-?J=sinx+^|J的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到^=5皿1]+5)的

图象，

即为y=/(x)的图象，所以/(x)=sing+行.

故选：B.

【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以逆

向变换求解，关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是X的变换，图象向左平移。个

单位，对应X替换成X+4,图象向右平移a个单位，对应X替换成X-。，牢记“左加右减”

X

口诀；图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原来的4倍，对应解析式中X替换成一.

K

7

8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于一的概率为()

4

,723八92

A.-B.—C.—D."

932329

【答案】B

【解析】设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为x,y,则实验的所有结果构成区域为

Q={(x,y)0<x<l,l<y<2},设事件A表示两数之和大于]，则构成的区域为

A="x,y)[0<x<l,l<y(2,x+y)：},分别求出O,A对应的区域面积，根据几何概型

的的概率公式即可解出.

fy

……

【解析】如图所示:

।—KT------------

7

♦：!、尸：4

：jI

\di\

设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为x,y,则实验的所有结果构成区域为

o={(x,y)[o<x<i[<y<2},其面积为%=ixi=i.

设事件A表示两数之和大于(，则构成的区域为A=j(x,j)|o<x<l,l<y[2,x+,

i3323S23

即图中的阴影部分，其面积为S.=l--x-x-=—,所以P(A)=d=3.

24432SQ32

故选：B.

【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件

A对应的区域面积，即可顺利解出.

9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，

点£,H,G在水平线AC上，£>£和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,

称为“表高”，EG称为“表距”，GC和E”都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表

目距的差”则海岛的高()

表高x表距主一D表高x表距主一

A.表目距的差卡表茴B.'Afr一表同1

表目距QC的差

表高X表距表高x表距

C.+表距D.

表目距的差表目距的差

【答案】A

【解析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出.

【解析】如图所示：

入TKs，，一r”DEEHFGCGhcl叱,，

由平面相似可知，——=——,——=——，而DE=FG,所以

ABAHABAC

DEEHCGCG—EHCG—EH

而CH=CE-EH=CG—EH+EG,

而一行一就一AC-AH~-CH

表高*表距,主直

映AB=CG-EH+EGXDE:互匹+DE表目距的差+表同.

CG-EHCG-EH

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出.

10.设GHO,若x=a为函数〃x)=a(x—a)2(x—与的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ah<erD.

ab>a1

【答案】D

【解析】结合对a进行分类讨论，画出/(x)图象，由此确定正确选项.

【解析】若。=人则/(x)=a(x—a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故标b.

依题意，x=a为函数/(%)=G(%一op(X一人)的极大值点，

当a<0时，由x>b,〃x)W(),画出〃x)的图象如下图所示：

由图可知b<a,a<0,故出?〉/.

当a>0时，由x>b时，.f(x)>0,画出/(x)的图象如下图所示:

由图可知b>a,a>Q)故ah〉/.

综上所述，ab〉"成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解

答.

22

11.设5是椭圆C:「+==1（。>人>0）的上顶点，若C上的任意一点尸都满足

ah

IPB|<2b,则C的离心率的取值范围是（）

A.修,1]C.（o当D.fo,|

L2JL2）I2「I2」

【答案】C

【解析】设P（x°，%），由B（O,b），根据两点间的距离公式表示出|P8|,分类讨论求出\PB\

的最大值，再构建齐次不等式，解出即可.

22

222

【解析】设尸（毛,%）,由B（0,8），因为其+与=1,a=b+c>所以

ab

（2\2/»3\214

222

|P5|=x（）+（y0-b\=a1一捐+（y0-^）'%+不+—+a~+b,

\J"ICJc

因为一人<%）4匕，当—£■4—b,即。2“2时，归求,、=4〃，B|]|PB|m[x=2b,符合题

意，由/2c?可得q222c2,即0<e<也；

2

当—4>—b,即户<c2时，|P51=^-+a2+b2,即/<4〃，化简得，

c21lmaxc2c2

（c2-&2）2<0,显然该不等式不成立.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是如何求出|产邳的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要

根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.

12.设a=21nl.01,/?=In1.021c=A/1.04-1.则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.h<a<cD.

c<a<h

【答案】B

【解析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c,b

与c的大小关系，将0.01换成不分别构造函数

/(x)=21n(l+x)-Jl+4x+l,g(x)=ln(l+2x)-JHH+l,利用导数解析其在0的

右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合F(0)=0,g(0)=0即可得出a与c,。与c的大小

关系.

【解析】。=21n1.01=In1.Of=m(1+O.O1/=In(1+2xO.Ol+O.Of)>m1.02=b,

所以bva;

下面比较c与的大小关系

记/(=2如(1+。)-Jl+4x+1,则

"0)=0,f'(x)

由于l+4x-(l+x)2=2x-j?=x(2-x)

所以当0<K2时，l+4x-(l+x『>0,即Jl+4x>(l+x),/'(x)>0,

所以/(x)在［0,2］上单调递增，

所以/(().()1)>/(0)=0即21nl.01>VT5?—1,即a>c;

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+1,则

222(Jl+4x-1—2.x

g(°)=°，g'(x)

1+2xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x—(l+2x『=-4X2,在X>0时，1+4X—(1+2X)2<0,

所以g'(x)<0,即函数g(x)在［0,+8)上单调递减，所以g(0.01)<g(O)=0,即

lnl.02<Vr5Z-l,即伏c；

综上，b<c<a,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换,

构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计

算往往是无法解决的.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线C：三—丁2=](根>0)的一条渐近线为6工+加了二。，则。的焦距为

m

【答案】4

【解析】将渐近线方程化成斜截式，得出人的关系，再结合双曲线中合/2对应关系，联

立求解m,再由关系式求得c,即可求解

【解析】由渐近线方程6x+〃少=0化简得y=-且x,即2=同时平方得耳=三，

tnama~m~

ai

又双曲线中a2-m,b2=1,故—=—，解得m=3,/n=0(舍去)，

m~m

c2=a2+b2=3+\=4=>c=2故焦品巨2c=4

故答案为：4

【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求

解是关键

14.已知向量Q=(1,3),〃=(3,4),若(a-4/7)_L〃，则2=.

3

【答案】二

5

【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【解析】因为a—血=(1,3)—4(3,4)=(1—343—44),所以由(。一劝)，人可得，

3(1—3%)+4(3—42)=0,解得％=

3

故答案为：一.

5

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设4=(%,凹)力=(々,%)，

al.b<^a-b-0<^xix2+yiy2=0，注意与平面向量平行的坐标表示区分.

15.记/.A8C的内角4,6,C的对边分别为a,b,c,面积为J5,3=60。，«2+c2=3tzc.

则6=.

【答案】2拒

【解析】由三角形面积公式可得ac=4,再结合余弦定理即可得解.

【解析】由题意，S=—acsinB=ac=>/3>

机AliC24

所以ac=4,a?+c，2=12,

所以。2=/+c2-2accosB=12-2x4x'=8,解得b=2a（负值舍去）.

2

故答案为：2后.

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三

视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

图④图⑤

【答案】③④

【解析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

【解析】选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体A3CO-44GA中，AB=BC=2,BB]=1,

分别为棱Bg,8c的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E-AZ）尸.

故答案为：③④.

【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置

关系和数量关系.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

（一）必考题：共60分.

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用

一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为工和亍，样本方差分别记为S；

和呼

(1)求X,y,,S；；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

：，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则

y-x>2.

不认为有显著提高).

【答案】(1)7=10,7=10.3,S；=0.036,S；=0.04；(2)新设备生产产品的该项指标的

均值较旧设备没有显著提高.

【解析】(1)根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

(2)根据题目所给判断依据，结合(1)的结论进行判断.

……、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7

［解析］(1)x=---------------------------------------------=10,

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=---------------------------------------------------=10.3,

10

。20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32八

5.=------------------------------------------------=0.036>

'10

0.22+0.F+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22

(2)依题意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=2A/0.025>2^°-036^0-04=270.038,

》_5<2干系，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.

18.如图，四棱锥产一ABC。的底面是矩形，PO_L底面ABC。，PD=DC=1,M为BC

的中点，且

(1)求8C；

(2)求二面角A-PM—B的正弦值.

【答案】（DV2；（2）W

14

【解析】（1）以点。为坐标原点，D4、DC、DP所在直线分别为x、＞、z轴建立空间

直角坐标系，设6C=2a,由已知条件得出PB.A"=0,求出。的值，即可得出8C的

长；

（2）求出平面RU/、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可

求得结果.

【解析】（1）FDJ_平面A8CD,四边形4BCO为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA.

DC、DP所在直线分别为X、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。—盯Z,

设3c=2”，则。（0,0,0）、P（o,o,l）、B（2a,1,0），M（a,l,0）、A（2a,0,0）,

则PB=（2a,l,—1）,AM=（—。,1,0）,

PBA.AM，则PB-AM=—2"+1=0，解得。=事，故BC=2a=叵;

（2）设平面Q4"的法向量为/"=（X|,y,zJ,则AMf凡0〕,=（-72,0,1）,

m-AM=-等玉+y=0

由＜取可得，〃=（夜』,21

m-AP=-V2x,+Z1=0

设平面的法向量为〃=（9,%，Z2），BM=

dI2。,。］J

V2

由《nBM---^~X2=0可得;7=(0,1,1),

2-取%=1

n.BP=->/2X2-y2+z2=0

m-n_33V14

cos<m,n>=

|m|-|??|V?x>/214

所以，sin<m,n>=^/1-cos2<m,n>=一誓'

因此，二面角A—QM—3的正弦值为叵.

14

【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：

（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注:

若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；

（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是

锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.

21

19.记S,为数列｛叫的前〃项和，2为数列⑸｝的前〃项积，已知了+7=2.

⑴证明：数列也｝是等差数列;

（2）求｛4｝的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）an=l[

21cc2b,3

【解析】(1)由已知不+丁=2得S“=k1,且2工0,取〃=1,得4=5,由题意得

S„b„2b-\

2bl2b,2b“,2bebll+.

丁、.h不…LT="，消积得到项的递推关系，进而证明数列

2仇-12d-12bn-i2/?„+1-1bn

也｝是等差数列;

（2）由（1）可得"的表达式，由此得到S“的表达式,然后利用和与项的关系求得

an=\]

〃（〃+1）

21cc1

【解析】（1）由已知不+[=2得S,,=h'，且或#0,b产3,

取〃=1,由E=々得

由于"为数列｛SJ的前A项积,

2bl2b,2hn,

所以不---\7---7T7―7=b”,

24一12b22bfl-1

2bl____2^_____2Z?〃+|

=%,

2b1—12/?2—12Z?〃+1—1

所以

由于d+1X。

211

所以右―丁，即2+其中

2%T7=b.2“GN*

0I

所以数列｛2｝是以4=5为首项，以d=［为公差等差数列；

乙2.

O1

（2）由（1）可得，数列｛“｝是以4=5为首项，以4=不为公差的等差数列,

乙，

•,也=5+（〃T）XW=I+,,

S_2d-2+〃

"2b“—11+〃’

3

当77=1时，a,=S,=—,

2

2+〃1+〃1

当G2时，氏=S”一Ei=0―〒=—而而,显然对于小1不成立,

3,

一,〃=1

2

,1

〃(九+1)

【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前〃项和与项的关系，数列的前万项积与项

、2h242b,.2h}2b22h.,

的关系'其中由纹》一1…2〃「］="'得到2b「1'2b2—1…2储+「1=""1，进

2bb»1

而得到是关键一步；要熟练掌握前〃项和，积与数列的项的关系，消和(积)

2%-1bn

得到项(或项的递推关系)，或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法.

20.设函数/'(x)=ln(a—x),已知x=0是函数y=J^(X)的极值点.

(1)求a；

(2)设函数函幻=一，、」.证明：g(x)<L

xf(x)

【答案】1;证明见解析

【解析】(1)由题意求出y',由极值点处导数为o即可求解出参数4；

x+ln(l—%)

(2)由(1)得g(x)=x<l且XHO,分类讨论xe(O,l)和xe(Yo,0),

xln(l-x)

可等价转化为要证g(x)<l,即证x+ln(l-x)>xln(l-x)在xe(O,l)和xw(-8,0)上

恒成立，结合导数和换元法即可求解

1y

【解析】(1)由f(x)=ln(a-x)=/'(x)=-----,y=V(x)ny'=ln(«-x)+-----,

X—CLX—Cl

又x=()是函数y=犷(x)的极值点，所以y'(())=lna=(),解得a=l；

x+/(x)_x+ln(l-x)

(2)由(1)得f(x)=ln(l-x),g(x)x<l且x。0,

xf{x}xln(l-x)

/、x+ln(l-x)/、，、

当X£(O,1)时，要证g(x)=——---r-<l,x>0,ln(l-x)<0,/.xln(l-x)<0,

xIn(1—xj

即证1,化简得工+(1_工)111(1_力>0；

/、/、x+ln(l-x)..、

同理，当X€(-O)时，要证g(x)=EE<l,x<0,ln(l-x)>0,

xln(l-x)<0,即证x+ln(l—x)>xln(l—x),化简得x+(l-x)ln(l-x)>0；

令力(x)=x+(l-x)ln(l-x),再令r=l—x,则te(O,l)J(l,+oo),x=\-t,

令g(r)=1-f+flnf,g'(t)=-1+Inr+1=In?,

当£«0,l)时,g'(x)<0,g(x)单减，假设g(l)能取到，则g⑴=0,故g(f)>g(l)=o；

当fe(l,+8)时，g'(x)>0,g(尤)单增，假设g⑴能取到,则g(1)=0,故

g«)>g⑴=。；

x+ln(l-x)

综上所述,g(x)=<1在xw(-8,0)(0,1)恒成立

xln(l-x)

【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为。可求参数。，第二问解法并不唯一，分类讨论

对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常

用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.

21.已知抛物线C：/=2刀（〃>0）的焦点为尸，且F与圆M:/+（y+4）2=i上点的

距离的最小值为4.

（1）求。；

（2）若点P在M上，PAQ5是。的两条切线，A5是切点，求△PA8面积的最大值.

【答案】（1）〃=2；（2）2075.

【解析】（1）根据圆的几何性质可得出关于，的等式，即可解出，的值；

（2）设点A（X1,y）、8（9,%）、P（Xo，Y）），利用导数求出直线£4、PB,进一步可求

得直线A3的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出|A8|以及点P到直线AB

的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得钻面积的最大值.

【解析】（1）抛物线C的焦点为尸（0,5］，|月0|=5+4,

所以，/与圆M:/+（y+4）2=l上点的距离的最小值为5+4-1=4,解得。=2；

2

（2）抛物线。的方程为f=4y,即），=对该函数求导得y=1,

设点A（玉,%）、3（4％）、尸伍，％），

=5(x-%),即y=

直线P4的方程为y-y=—~y].即中-2乂-2y=0,

同理可知，直线尸8的方程为X2%―2%-2丁=0,

■ML2H-2%=0

由于点P为这两条直线公共点，则〈

x2xo-2y2-2yo=O'

所以，点A、3的坐标满足方程与》一2丁-2yo=0,

所以，直线AB的方程为x°x—2y-2yo=0,

x0x-2y-2y0=0

2

联立-x，可得厂—2x()x+4y0=0,

由韦达定理可得当+々=2/,x,x2=4%,

={(4+4)国一4%)

点P到直线AB的距离为d

三|明・吟府砥f,小一4犷

所以,S&PAB

片-4%=1-(％+4)2-4%=-诉一12%-15=-(为+6『+21,

1士

由已知可得-54％4-3,所以，当为=-5时，的面积取最大值上x202=20遍.

2

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基

本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，

则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为。（2,1）,半径为1.

（1）写出OC的一个参数方程；

（2）过点尸（4,1）作C两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,

求这两条切线的极坐标方程.

x=2+cosajrp-

【答案】（1）《।.,（。为参数）；（2）2pcos（<9+-）=4-V3或

y=l+sina3

2/?cos（^-1）=4+V3.

【解析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；

（2）先求得过（4,1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.

【解析】（1）由题意，C的普通方程为（x-2>+（y-Iff,

x=2+cosa

所以C参数方程为《।,（。为参数）

y=1+sina

（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为y—1=左（％—4）,即西一〉+1-4攵=0,

\-2k\।

由圆心到直线的距离等于1可得J|+7=1-

解得％=±乎，所以切线方程为6工一3旷+3-4百=0或6工+3y一3-4后=0,

将x=0cos。，y=psin6代入化简得

2夕cos（6+。）=4一百或2pcos（。—。）=4+百

【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考

查学生的数学运算能力，是一道基础题.

［选修4-5：不等式选讲］（10分）

23.已知函数/（x）=|x-a|+|x+3］.

（1）当a=l时，求不等式的解集;

(2)若/(x)>—a,求a的取值范围.

【答案】(1)(e,T]」2,+w).(2)[-|'+o0].

【解析】(1)利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

(2)利用绝对值不等式化简/(x)>-a,由此求得”的取值范围.

【解析】(1)当a=l时，/(x)=|x-l|+|x+3],卜一1|+卜+3|表示数轴上的点到1和一3的

距离之和，

则/(x)26表示数轴上的点到1和—3的距离之和不小于6,故xWY或x»2,

所以/(x)26的解集为(f,T]_[2,.

-4-3012

(2)依题意/(%)>—a,即+|x+3]>—a恒成立,

|x-a|+|x+3|=|a-jc|+|x+3|>|a+3|,故|a+3]>-a,

所以。+3>一。或。+3<Q,

3

解得。>一二.

2

所以a的取值范围是1-1,+8).

2021年高考全国乙卷文科数学试题解析

1.已知全集。={1,2,3,4,5},集合A/={1,2},N={3,4},贝！］加(MuN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.

{1,2,3,4)

【答案】A

【解析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

由题意可得：MUN={L2,3,4},则&(MN)={5}.

故选：A.

2.设iz=4+3i,则z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】C

【解析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

,哂以「组4+3z(4+3z)z4i-3°

由题悬可得：z=-----=-——=-----=3-4/.

ii2-1

故选：C.

w

3.已知命题〃：mx£R,sinx<l；命题,e>l，则下列命题中为真命题的是

()

A.〃八4B.C.P八fD.

【答案】A

【解析】由正弦函数的有界性确定命题P的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性,

由此确定正确选项.

由于一iWsinxWl,所以命题。为真命题；

由于N?(),所以e^zl，所以命题4为真命题；

所以为真命题，-P、〃△一^、一为假命题.

故选：A.

4.函数/(x)=sin巳x+cos：X的最小正周期和最大值分别是()

A.37t和④B.3兀和2C.6兀和0D.6兀和2

【答案】C

【解析】利用辅助角公式化简/(x),结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选

项.

由题，/(x)=3sin住+£],所以“X)的最小正周期为，=T=6P,最大值为血.

V34/—

''3

故选：C.

x+y>4,

5.若满足约束条件<x—y«2,则z=3x+y的最小值为()

JW3,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【解析】由题意作出可行域，变换目标函数为y=-3x+z,数形结合即可得解.

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

x+y=4,、

由可得点A(l,3),

转换目标函数Z=3x+y为y=-3x+z,

上下平移直线y=-3x+z,数形结合可得当直线过点A时，z取最小值,

此时Zmin=3x1+3=6.

故选：C.

百

DR.----------D

32T

【答案】D

【解析】由题意结合诱导公式可得cos22—cos23£=cos2M—siM£,再由二倍角公式

12121212

即可得解.

7T

由题意,

12

71

=cos—

6

故选：D.

7.在区间随机取1个数，则取到的数小于工的概率为（

)

I2_3

21

B.C.一D.

336

【答案】B