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1§5-2留数和留数定理一、留数的定义和计算二、留数定理2设为的一个孤立奇点;内的Laurent级数:在.的某去心邻域包含的任一条正向简单闭曲线C.一、留数的定义和计算，30(高阶导数公式)0(柯西-古萨定理)4定义

记作包含的任意一条简单闭曲线

C的积分的值后所得的数以的一个孤立奇点,如果(Residue)则沿内，除称为5注:留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.留数定理点的一条正向简单闭曲线,外处处解析,奇点在区域

D内除有限个孤立函数C是D内包围诸奇那么6证明两边同时除以则...如图，根据复合闭路定理7计算留数的一般公式由Laurent级数展开定理，定义留数的积分值是f(z)在环域内Laurent级数的负一次幂系数c-1(1)若z0为函数f(z)的可去奇点，成Laurent级数求(2)如果为的本性奇点,展开则需将个)，则它在点z0的留数为零。(负幂项的项数为零8如果为的一级极点,那末规则1(3)如果为的极点,则有如下计算规则

若z0为f(z)的m（m=1，2，3，…）级极点,则有规则2说明

将函数的零阶导数看作它本身，规则1o可看作规则2o

当m=1时的特殊情形.9证明

先证规则2o，由于z0为f(z)的m级极点，因此可设在0<|z-z0|<ρ内有用乘上式的两端得Laurent级数在其收敛环域内逐项微分得令，规则2o成立。10规则3

如果设及在都解析，那么为的一级极点,

且有113典型例题例1求在的留数.解12例2计算积分C为正向圆周:解1314例3计算积分C为正向圆周:解被积函数有四个一级极点都在圆周的内部,所以由规则315例4计算积分C为正向圆周:解为一级极点,为二级极点,1617说明:

如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,可直接展开Laurent级数求来计算留数.在实际计算中应灵活运用计算规则：181

若z0为函数f(z)的可去奇点，(负幂项的项数为零个)，则它在点z0的留数为零。小结：留数的计算2

若z0为f(z)的一级极点，则有3

若z0为f(z)的m级极点，则对任意整数有4

设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0

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