物质世界的对称性和统一性

物理学对物质世界的基本认识

人类对物质世界的认识经历了一个从蒙昧、理性到科学的漫长的历史过程。宇宙之大，微观粒子之小。天地万物、自然之复杂，物质世界的奥妙是无穷的，人类对物质世界的探索也是无穷的。本讲座将介绍物理学对宇宙世界的基本认识。物质世界的对称性和统一性提纲：物质世界的层次、形态与基本相互作用物理学与宇宙观物质世界的对称性与统一性物质世界的非线性效应物理学与数学的关系及物理学认识的真理性第3讲物质世界的对称性和统一性3.1物质世界奇妙的对称性

对称是人们在观察和认识自然的过程中所建立的一种概念，大自然的对称表现随处可见。动物和人体体形、植物树叶、晶体结构、天上星辰、地上景物、房屋建筑、生活用具等几何形体花样大多是空间对称的。白天黑夜交替、四季变化，不同周期中对应的时刻，运动完全重复，又体现了另一类对称性—时间对称性。

对称性定义如下：对某一事物或系统进行一次变换（或操作），如果经变换（或操作）后，该事物或系统完全复原，则称该事物或系统对所经历的变换（或操作）具有对称性。简单地说，对称性就是某种变换下的不变性。

最常见、最基本的是空间对称性和时间对称性以及涉及空间和时间联合变换的时空对称性，其特点是比较直观。另一类对称性是所谓的内部对称性，它反映内在的和谐与协调，其特点是比较抽象。

1.时空对称性

（1）.空间对称性

如果对被观察对象的空间位置进行某种变换后，看起来还象没有变过一样。这种几何空间配置上的对称性统称为空间对称性，包括镜像或左右对称、旋转对称和空间平移对称1）镜像或左右对称直观地看，一个物体在平面镜中的像与该物体一模一样，物体和镜像的各点关于镜平面是对称的。何其相似！

如图所示，人的左手的像相当于右手，又如动物体形、树叶、蝴蝶翅膀及花纹等。福建厦门鼓浪屿的一幅对联

雾锁山头山锁雾天连水尾水连天清代女诗人吴绛雪的《四季回文诗.夏》香莲碧水动风凉水动风凉夏日长长日夏凉风动水凉风动水碧莲香香莲碧水动风凉水动风凉夏日长长日夏凉风动水凉风动水碧莲香镜面对称文学创作中的对称

数学上可以用坐标变换来描述这种对称性，设x轴垂直于镜面，原点在镜面上，将一半图形的坐标x变成-x，就得到另一半图形。我们说这两半图形具有左右对称性或具有左右变换下的不变性。

左右对称性也叫空间反射不变性。空间反射，即把坐标轴的方向反过来。这种使空间突然反向的变换是不连续的，所以是一种分立变换，空间反射变换简称P变换。表征空间反射变换性质的特征量叫做空间宇称（简称宇称），宇称只有正负而无大小之分，即只有正宇称或负宇称。

2)空间平移对称使一个形体沿某个方向发生平移后和原来一模一样，则该形体具有空间平移对称性例如，无限长直线对沿自身方向任意大小的平移不变，无限大平面对沿面内的任何大小的平移不变，无限长正弦波形沿波传播方向平移一个或多个波长后波形不变，晶体沿确定的方向平移一个该方向的原子间距不变。上述例子中，前两种的空间平移对称性级次较高。

从数学上讲，所谓空间平移对称就是将描述形体几何位置的坐标系的原点在空间平移一定距离后，形体不变。

3)旋转对称如果将一形体绕某一固定轴旋转一个角度后，与原来的形体一模一样，则该形体具有旋转对称性或轴对称性。圆柱体绕轴线旋转任意角度和原来一样，正方体绕中心轴旋转900、正六边形绕中心轴线旋转600后图形不变，圆柱体具有更高级次的对称性。

如果一个形体对过某一定点的任意轴线都具有旋转对称性，则称之为具有球对称性，而那个定点就叫做对称中心。具有球对称性的形体，从对称中心出发，沿各个方向都没有区别，这叫做各向同性。天坛祈年殿、六角形雪花就是旋转对称的例子。

4）空间反演如果将描述形体位置的坐标系的三个坐标（x,y,z）变为(-x,-y,-z)，与原来形体一模一样（如图8-3-3），则该形体具有空间反演对称性。这相当于在镜像对称基础上，绕垂直于镜面的轴再转1800。

(2).时间对称性

对时间性质进行变换所对应的对称性称为时间对称性包括时间平移对称性和时间反演对称性。

1）时间平移对称性如果对一个物体，在时间上平移某一时间间隔后，和原来一模一样，则该物体具有时间平移对称性，所对应的变换是计时原点的平移变换。静止不变的体系对任意小的时间间隔，都具有时间平移对称性。

周期性变化的体系对周期的整数倍的时间间隔具有时间平移对称性，或者说具有周期变换下的不变性。在不同周期中的任意相对应的时刻，它们的状况完全相同，如物体的简谐振动、波动、日出日落、花开花谢、四季变化、潮汐等。

2）时间反演对称性所谓时间反演，就是把时间t变换为-t的操作，即将时间进行逆转。我们把具有时间反演不变性的现象叫做具有时间反演对称性。

当然在现实生活中，时间是不会倒流的，但我们可以设想把实际发生的事件用录像机记录，再倒过来放映，便会看到与正常过程相反的滑稽场面。

日常生活中大多数现象并不具有时间反演对称性，例如一个人从树上跳到地面，相反的过程是从地面倒退着跳回树上。桌上的瓷杯掉到地上变成碎片，相反的过程是碎瓷片会自动拼凑成完整的瓷杯再跳回桌上。

实际上，也有许多理想体系具有时间反演对称性，其录像正放、倒放没有区别。例如，被认为绝对静止的物体、无阻尼自由振动等则如此。自由落体运动在时间反演操作下，速度反向，但重力和加速度总是向下的，所以重力和重力加速度具有时间反演对称性。

时间反演变换也是一种分立变换，简称T变换。在T变换下，产生一个粒子变成了消灭一个粒子。

（3）.时空对称性

空间对称性与时间对称性常常是相互交织在一起的。

如伽里略变换和洛伦兹变换，都同时包含了时间和空间变换，这些变换被称为时空联合变换。由时空联合变换得出的不变性称为时空对称性。

2.内部对称性在一些变换中，时间和空间坐标并未改变，由这样的变换所得出的不变性称为内部对称性。例如，黑白照相底片和印出的照片所显示的图像是一样的，如果对底片进行“黑白互换”变换，底片就成了照片。“黑白互换”是一种变换，但其所体现的对称性既不是空间对称性，也不是时间对称性，而属于一种内部对称性。

在宏观物理范围，内部对称性常常具有很强的直观性。在微观物理范围，内部对称性的直观性减弱，但可以用直观的经验和已知的物理图像进行想象、类比和引申。内部空间和一些内部特征量就是这种类比引申的结果。

微观粒子的自旋就是一个内部特征量。人们把自旋看作微观粒子自身固有的角动量，并将这种角动量想象成是由粒子某种内部运动引起的。但描述这种运动是在带有时间和空间坐标的普通空间里进行的，这与以后发现的一些内部对称性所在的假想空间不一样。

同位旋对称性，就是出现在一个假想的同位旋空间，在这个空间具有转动不变性。

1936年，卡森和康登明确提出同位旋概念。中子和质子的自旋、宇称都相同，质量相仿，只有电荷的差别。因此，人们试图把这两种粒子看作是同一粒子在某个内部空间中存在的两种状态。这个内部空间就是同位旋空间，核子在该假想空间转动的角动量叫同位旋，质子和中子是该空间的一个二重态。

在此空间作旋转变换时，使核子的两种状态互相变换，但核力不变。核力的转动不变性就是核子的同位旋对称性。核子的两个状态即质子和中子的区别仅在于它们的同位旋取向不同。

现代物理学家还预言了很多反映微观世界特性的内部对称性的存在。实际上各种内部对称性，都可以概括地称为规范不变性。

规范变换有两类：一类是变换时不涉及时空点，称作整体规范变换；另一类是变换时依赖时空点，称作定域规范变换。相应的对称性分别为整体规范对称性和定域规范对称性。将整体规范对称性扩充到定域规范对称性时，要引进规范粒子，相应的场叫规范场。人们认识最早的规范粒子和规范场是光子和电磁场。人们所认识的规范对称性有电荷规范对称性、重子规范对称性、轻子规范对称性、正反粒子共轭对称性等等。

正反粒子共轭变换是一种分立变换，称为C变换，也叫电荷共轭变换，指的是粒子和反粒子的相互变换。

表征C变换的特征量叫C宇称，与空间反射变换的宇称一样也只有正负之分。把C变换、P变换（空间反射）和T变换（时间反演）三种分立变换联合起来的变换叫CPT变换。CPT不变性是一个非常普遍而完美的对称性，它能告诉我们很多有用的东西。

例如，通过它能导出正反粒子的下述关系：相同的质量、相同的寿命、等值反号的电荷，等等。人们公认，CPT对称性是自然界一个十分精确的对称性。

把内部对称性和时空对称性结合在一起的广义对称性叫做超对称性，体现这种对称性的变换称为超规范变换，相应的假想空间叫超空间。

这种对称性是将费米子（自旋为半整数的粒子）和玻色子（自旋为整数的粒子）互相变换的对称性。像质子和中子是同位旋空间的二重态一样，费米子和玻色子则是超空间的一个超多重态。

超对称变换则将超多重态中的各个状态互换，从而将费米子和玻色子互换。将超对称性用于统一描述强力、弱力和电磁力的理论叫超对称大统一理论。将超对称性用于弦理论，就是所谓的超弦理论。在普通的粒子场论中，粒子是当作一个点来描述的。而在超弦理论中，认为粒子是长约10-33厘米的弦，弦的一种振动方式对应一种粒子。超弦理论有可能解释包括引力在内的所有自然力。

3.2对称性与守恒定律物理定律的对称性

人们在熟悉对称性概念以后，则希望搞清对称性和自然规律的内在关系。在物理学中，具有更深刻意义的是物理定律的对称性。物理定律的对称性指的是经过一定的对称变换或操作后，物理定律的形式保持不变（也叫做物理定律的不变性）。人们在对物理现象的研究中，逐渐发现物理学守恒定律与客观世界的对称性有着密切的联系。

内特尔定理：

对应于每一种对称性，必然对应存在一条守恒定律；反之，对于每一个守恒定律，则有一个对称性。实际上，对称性和守恒定律是表达自然界图景的两种不同方式，它们共同丰富了人类对自然界的认识。某一对称性必然导致系统的某一动力学可观察量的守恒性，每一个守恒定律都有一个在某个变换下保持不变的物理量即守恒量，找到了这些守恒量，能给人们在研究物理过程时带来方便，使问题的处理变得简单。

1.宏观世界的守恒量

在宏观世界，能量、动量、角动量、质量、电荷是守恒量，相应的有能量守恒定律、动量守恒定律、角动量守恒定律、质量守恒定律、电荷守恒定律，下面简述它们对应的对称性。（1）空间平移对称性与动量守恒定律设想我们在空间某处做一个物理实验，然后将该套仪器连同影响该实验的一切外部因素平移到另一处。如果给以同样的初始条件，实验将以同样的方式进行。这说明物理定律没有因平移而发生变化。这就是物理定律的空间平移对称性。

（2）时间平移对称性与能量守恒定律一个物理实验，只要不改变实验条件和实验仪器，无论是过去、现在、还是将来都会得到相同的实验结果。也就是说，当把研究物体运动的时间起点进行平移，物理规律的具体形式不会改变即物理规律对于时间平移变换具有不变性或对称性，而且由于平移任意的时间都是一样的，所以这种对称性级次更高。可以证明，时间平移对称性将导致能量守恒定律。

由于它表明空间各处对物理定律是一样的，所以又叫做空间的均匀性。可以证明空间的均匀性或空间平移对称性与动量守恒定律是对应的。

（3）空间转动对称性与角动量守恒定律如果在空间某处做实验后，再把仪器连同影响实验的一切外部条件转一个角度，则在相同的初始条件下，实验也会以完全相同的方式进行。这说明物理定律没有因转动而发生变化。这就是物理定律的转动对称性，由于它表明空间各个方向对物理定律是一样的，所以又叫空间的各向同性。可以证明，空间转动对称性将导致角动量守恒定律。

（4）洛伦兹对称性与质量守恒定律

由相对论，物理定律对所有的惯性系是等价的，即物理定律在洛伦兹变换下形式保持不变。这种不变性叫洛伦兹不变性或对称性。由于这一变换可得到质能关系E=mc2，因此从能量守恒必然得到质量守恒，于是洛伦兹对称性对应于质量守恒定律。此外，还存在着一种对称性叫电磁场（量子化的）规范对称性或不变性，它与电荷守恒定律有对应关系

2.微观世界的守恒量

能量守恒、动量守恒、角动量守恒定律在微观世界也普遍适应。微观系统也有空间平移对称性，从而导致动量守恒。例如，一个粒子发生衰变或两个粒子发生散射（或碰撞），前后总动量不变。微观粒子的时间平移对称性导致能量守恒，即反应前后总能量相等，如核反应、光电效应等。微观粒子系统的空间转动对称性导致角动量守恒，如K+→

+

0，由于K+角动量为0，

+

0系统角动量也为0。

在微观世界，能量、动量、角动量、电荷等是经典物理中已经熟知的守恒量。另外还出现了许多新的守恒量，如同位旋、轻子数、重子数、宇称等等，这些都没有经典对应的守恒量，相应的守恒定律对应各种规范对称性或内部对称性，这里不作详细叙述。值得注意的是，有的守恒定律在对各种相互作用下都成立，但有的守恒定律对某些相互作用成立，而对另一些相互作用则不成立，如同位旋只在强相互作用下守恒；P宇称、C宇称在强相互作用和电磁作用下守恒，但在弱相互作用下可以不守恒。3.3宇称守恒与不守恒问题

所谓宇称就是与空间反射或反演操作相对应的守恒量。由于空间转动对称性的存在，三个坐标轴同时反向的空间反演和一个坐标轴反向的空间反射实际上是等价的。可以说宇称即是镜像操作性质的物理量。

对于某一状态的系统的镜像和它本身的关系只可能有两种情况。一种是它的镜像和它本身完全一样，例如一个正放的圆筒状杯子和它的镜像的关系就是如此（如图），我们说它具有偶宇称或正宇称（实际上指粒子处于某一状态）。

另一种情况是系统和它的镜像有左右之分，因而不能完全重合，右手的镜像成为左手就是这种情况。又如一座时钟与它的镜像，虽然形状完全相同，但指针的走动方向正好反过来（如图）。我们说这样的系统具有奇宇称或负宇称（实际上也是指粒子处于某一状态）。

用符号P表示镜像反射操作，由于连续两次镜像反射操作物体不变即P2=1，宇称的数值只能为+1和-1，偶宇称规定为+1，奇宇称规定为-1。宇称具有可乘性而不是可加性。在量子力学中，如果描述系统状态的波函数ψ（x）在空间反演下不变即Pψ(x)=ψ(-x)=ψ(x),或Pψ(x)=ψ(x)(如ψ(x)=cosx),则系统处于宇称值为+1的状态或偶（正）宇称状态。如果ψ（x）在空间反演下变号即Pψ(x)=ψ(-x)=-ψ(x)或Pψ(x)=-ψ(x)(如ψ（x）=sinx),则系统处于奇（负）宇称状态。

若一个粒子的轨道宇称和内禀宇称都是偶函数（正宇称）或都是奇函数（负宇称），相乘以后的总宇称为正宇称。若一个为正宇称，而另一个为负宇称，则相乘以后的总宇称为负宇称。

在宏观范围内物体的运动规律虽然有很好的左右对称性，但这种对称性并不对应存在守恒定律。

在微观范围内如果粒子系统运动规律具有左右对称性，则对应存在P宇称守恒定律，这时系统的P宇称将在整个运动过程中保持为+1或-1。与正反粒子变换（C变换）对应的C宇称也是如此。

在没有外来影响的条件下，不论发生如何剧烈的变化，粒子系统的总宇称在相互作用过程中保持不变，这一规律称为宇称守恒定律。

宇称守恒定律曾经被人们认为是自然界一条普遍规律。在量子力学中能够形成宇称守恒定律，这是因为物理定律一直显示出左右之间的完全对称性。也就是说，物理规律对于实物和它的镜像是一致的，我们无法用规律本身来判断过程所进行的是物还是像。

1956年前后，粒子物理实验中遇到了一个所谓“θ—τ”疑难：实验中发现了两种质量、寿命和电荷都相同的θ粒子和τ粒子，τ衰变成3个

介子，而θ衰变成2个

介子，

介子的宇称为-1，这样τ的总宇称应为负，θ的总宇称应为正。

因此，从质量、寿命和电荷等性质相同来看，它们应该是以两种不同方式衰变的同一种粒子，但如果宇称是守恒量，则它们就不可能是同一种粒子。

李政道和杨振宁指出这个疑难的关键在于认为微观粒子运动过程中宇称守恒。他们认为θ介子和τ介子是同一种粒子而怀疑宇称守恒定律的正确性，指出在强相互作用和电磁相互作用过程中宇称守恒有实验的检验，而弱相互作用过程中宇称守恒并无实验的检验，进而得出弱相互作用过程中宇称可能不守恒的结论。

他们建议通过钴-60的衰变实验来进行验证。1957年，吴健雄精确地进行了这一实验，以确凿的证据证明了李政道和杨振宁所得结论(弱相互作用过程中宇称可能不守恒)的正确性。这里的另一个结论是θ介子和τ介子被认为是同一种粒子,现在通常称为K介子。

弱相互作用宇称不守恒问题告诉我们，各种守恒定律的适应范围是不同的，有些守恒定律在任何过程中都是“绝对”成立的，如动量守恒、角动量守恒、能量守恒等；而有些守恒定律则有局限性，只适应于某些过程，如P宇称在强相互作用和电磁相互作用过程中守恒，但在弱相互作用过程中不守恒。

理论上还可以证明,如果运动规律在空间反射P变换下不变,则在正反粒子C变换下也是不变的,并且在时间反演T变换下也是不变的.

在李政道和杨振宁发现弱相互作用中宇称可以不守恒以后,物理学家很快就确认了弱相互作用的运动规律在C变换下不再保持不变（C宇称不守恒）,但在C、P联合变换下仍然是不变的（CP宇称在弱相互作用下守恒）。后来进一步研究表明，弱相互作用下CP宇称仍然有约千分之二不守恒，其机理尚不清楚，一直是物理理论研究的重要课题之一。

弱相互作用下宇称不守恒的性质表明，空间左右并不是那么对称，但这种不对称并不那样明显，只有在微观领域的弱相互作用过程中才能被观察到，而在强相互作用、电磁相互作用、引力相互作用中，我们无法察觉到空间左右的不对称，其宇称是守恒的。

3.4对称性思想在物理学发展中的重要作用

对称性与物理守恒定律之间的关系直到20世纪20年代才被物理学家逐渐意识到，这是因为这种关系在经典物理学中没能显示出其重要性。只是在量子力学建立以后，这种重要性才表现出来。物理学中有许多定律、定理有层次高低之分。如胡克定律、欧姆定律是较低层次规律，适应范围有限。

更高层次的更基本的规律是适应整个经典力学的牛顿定律、适应整个电磁学的麦克斯韦方程组等，而对称性则是比这些基本规律层次更高的法则。尤其是粒子物理学家则能运用对称性思想，去寻求未知世界的基本规律。

对称性思想曾在物理学的发展中起着非常重要的作用。譬如，奥斯特在发现电流的磁效应后，一些物理学家根据对称性立刻意识到磁也能够生电(如电磁感应)。

麦克斯韦发现变化的磁场可以产生电场，他又基于对称性思想很快发现了变化的电场也能产生磁场，完整对称的电磁理论由此建立。爱因斯坦基于对称性思想，建立了光的波粒二像性概念，解释了光电效应。德布罗意根据对称性，提出了实物粒子波粒二像性假设，为量子力学奠定了基础。

运用对称性思想推测未知的东西是物理学家探索自然界的一种重要方法。

根据对称性，元素周期表不仅能将已知元素安放到适当的位置，还能预言表中空位的未知元素的存在。狄拉克根据数学方程的对称性预言了正电子的存在。盖尔曼和兹韦克利用对称性构造了夸克模型。

总之，对称性概念已在现代物理理论中占据了支配地位，并对探索未知的物理规律和现象起着非常重要的作用，对称性已成为现代物理最重要的指导思想和最基本的工作语言。

3.5自然界的不对称现象

弱相互作用下宇称不守恒是物理规律不对称的表现。自然界是近乎对称的，但也存在着许多不对称的事物和现象。有很多例子可以说明这一点。现代科学揭示，自然界对于手性是不对称的。手性是指分左手和右手的基本特征或左手与右手的差异特征。自然界通常显示对其中一种手性的偏爱。如贝壳一般偏爱一个方向的螺旋性。

动物和植物的外观看起来左右对称，但构成它们的蛋白分子却只有“左”的一种，蛋白质中每种氨基酸都有两种互为镜像的异构体，人工合成的氨基酸左右型各占一半，但自然界生物体内的蛋白质几乎都由左型氨基酸组成，只选择左右化合物中的一半。

人体体内的心脏左侧,肝脏右侧。人的右手相对于左手的优势是一种普遍现象。

藤本植物的茎是右手性的（缠绕方向），少量是左手性的。

左型谷氨酸纳可做味精，但右型对映体几乎无味。生物界的这些不对称性的存在，至今还是一个难解的迷。

圆是完美而对称的。然而天体的运行轨道却是椭圆，其对称性发生了偏离。行星的公转方向、行星的自转方向、月球的公转方向都自西向东。

核子之间有着一种核力的对称性，我们可以交换中子和质子，但是在考虑电磁力时，中子和质子就不可以交换了。只是因为核力远比电磁力强时，才可以用中子来代换质子，所以核子状态也只是一种几乎对称的情况。

目前所观察的实物世界是由质子、中子、电子构成的。按照狄拉克理论，每种粒子都应存在着自己的反粒子，而且各种反粒子的存在已被实验证实，应该说自然界的粒子数与反粒子数一样多，在宇宙中应该存在反物质天体。

但到目前为止，还没有证实宇宙有反物质天体存在。有人把它归结于宇宙大爆炸初期的某种机遇，但至今没有令人完全信服的解释。我们日常所见到的自然过程都是不可逆的，人不能返老还童，破镜子不能重圆，也就是说自然过程没有时间反演对称性。

因此，对称虽然是大自然的一个基本特征，但并非十全十美的对称。

3.6对称性破缺

若系统的某一特征在经历一个变换下不再保持不变，则称其对称性遭到破坏即所谓对称性破缺。一般而言，我们把系统的对称性降低的现象叫做对称性破缺。例如，设想一块质地、色泽均匀的白板且足够大，在视界内看不到它的边缘。这样，无论它沿平行于板的任何方向平移或绕垂直于板的轴旋转，我们都无法察觉它的运动，因而具有平移和旋转对称性。

但如果在其上某处标记一黑点，它的平移就变得可观察了；若黑点不在旋转轴上，它的旋转也能被观察到。这就是说,上述平移和旋转对称性出现了破缺。还有:附有标记的圆是无标记的圆的对称性破缺，椭圆是圆的对称性破缺，固态是液态的对称性破缺，非均匀场是均匀场的对称性破缺，非平衡态是平衡态的对称性破缺等等。

对称性破缺的重要特征是出现新的可观察现象或物理量。也就是说，对称性破缺是系统的特征在某种变换中的不变性遭到破坏。系统的可观察性越强，其对称性越低，对称性破缺程度越大。

对称性是某种变换的不变性，它植根于一些物理量不可观测（或不可区分）的假设，某种对称性或不可观测量存在意味着出现某个守恒定律，守恒定律的失效必定有某种对称性的破缺。

如弱相互作用下宇称不守恒，意味着此时空间左右对称性破缺，原来在强相互作用和电磁相互作用下的粒子状态“左右”不可分辨，而在弱相互作用下的“左右”便可观测了。所以，一旦一个不可观测量变成实际上可观测量，就产生对称性破缺。

自然界的演化过程也是对称性不断自发发生破缺的过程。在宇宙大爆炸之前，宇宙处于非常高的总对称性之中，状态非常单一，而大爆炸相当于一次宇宙相变，使总对称性发生破缺。

以后陆续出现一系列相变或对称性破缺，四种相互作用—引力、强力、电磁力和弱力相继分化，宇宙由相对较高的对称性向相对较低的对称性变化。基本粒子可分辨，物质从辐射背景中退耦，原子分子的形成，星系和恒星的形成演化，生命的出现与进化，以致出现千差万别、丰富多彩的现实物质世界，正是各种对称性破缺的表现。

在演化的过程中，看到的是对称性越来越低、状态越来越复杂多样的世界。总体上看，每个层次较高的物质形态在对称性上总是低于其较低物质层次的对称性，如分子的对称性低于原子的对称性。尽管如此，各种各样的对称性仍然是大千世界的基本图景。

对称性破缺在凝聚态物理学中占有极为重要的地位，是研究物质相变的基础。

固体和液体是由大量的物质分子构成的紧密聚集态即凝聚态。凝聚态物理学就是从微观角度出发，研究凝聚态物质的结构和动力学过程及其与宏观物理性质之间的学科。高温下的物质系统通常是气态。在更高的温度下，分子将分解，原子将电离，物质分布呈现均匀性和各向同性,具有高对称性。高对称性中某一因素的突然消失，就对应于一种相变发生，而导致低对称性相的出现。对称性破缺意味着更有序的低温相的出现。

在凝聚态物理的研究对象中的对称性破缺的事例很多。如空间反演对称性破缺，导致非极性晶体变成极性晶体（铁电体、反铁电体）；时间反演对称性破缺，产生磁有序结构（铁磁体、反铁磁体）；规范对称性破缺，产生超流体、超导体；空间平移对称性部分破缺导致液体变成更有序的晶体；

物质世界为什么会出现对称性自发破缺？李政道认为“失踪的对称性之谜暗示一定存在一类新型力—对称破缺力，这种力可能影响所有的相互作用”，有人提出所谓希格斯机制，进而研究对称性自发破缺问题。但目前尚未找到希格斯粒子，对称性自发破缺与夸克禁闭一道成了当今物理学面临的两大难题。

旋转与平移对称性破缺导致正常液体变成液晶等。可以说，千姿百态的凝聚态物质世界都是对称性破缺的产物。

3.7物质世界的自相似分形

自然界存在大量用传统几何方法无法准确描述的复杂图形，他们不同于矩形、三角形、直线、圆等规则几何图形，如起伏的山脉、变幻的云朵、弯曲的海岸线、闪电的路径、枝繁叶茂的大树等。从整体上看，它们的几何图形看似混乱和不规则。但从不同尺度上看，却蕴含着丰富有趣的规则性。这种规则性的表现是，从整体到局部的各个层次上具有自相似结构，也就是说一个几何花样的内部还有更小的同样的花样，存在不同尺度的自我复制。

自相似结构具有标度变换不变性或对称性，是空间有规律的结构的一种（与前述空间对称性不同），是跨越尺度的对称性。所谓标度变换，就是放大或缩小。如果形体经放大和缩小后不发生改变，就说它具有标度不变性或对称性。海洋中有一种动物叫鹦鹉螺，其美丽的外壳上有一条曲线（极坐标方程r=aeθ,叫对数螺线），该曲线就具有标度不变性（图）。

整个图形放大或缩小时，只需转过一定角度就与原图重合。例如对数螺线：位矢与切线间的夹角保持恒定绝缘体电击穿时的电子路径曼德耳布罗特的支气管树模型向日葵花上的对数螺线

局部与整体具有某种形式的相似，或者说标度变换下具有相似性的几何形体叫做分形（fractal）。分形就意味着自相似。所谓自相似，是指图形的一部分按一定尺度放大后，又会得到图形自身（可能是准确的，也可能是近似的）。当用不同倍数的相机拍摄图形时，不管放大倍数如何改变，看到的相片都是相似的（统计意上），而且从相片上无法判断所用相机的倍数。

例如，一棵大树由主干及一些从主干上分叉长出的树枝组成。再看树枝也是由一枝干和从枝干上分叉出来的更小的枝条组成，其构成形式与一棵大树完全相似。再观察细枝条，又在更小的层次上具有大树的构成特点。再观察树叶的叶脉，也可发现类似的自相似结构。当然，这只能在一定的尺度范围内呈现出自相似性，不会无限扩展下去。

又如，海岸线也具有分形或自相似特征。从飞机上俯视海岸线，会发现它不是光滑的曲线，而是由许多半岛和港湾组成。随着观察高度的降低（相当于放大），可发现原来的半岛和港湾又是由很多较小的半岛和港湾构成的。当我们沿着海岸线步行时，会发现无数更小更小的“半岛”和“港湾”，海岸线的自相似结构十分典型。

在自然界，自相似对象随处可见，蕨类植物、云朵形状、神经网络分布、视网膜血管分布、植物根系、灰尘微粒集团、闪电轨迹、布朗运动轨迹、遗传基因，晶体生长形态、固体团簇的生长、细菌群落的生长、星系等等，都具有自相似结构。

分形的几何特性与规则图形的几何特性有何本质差别？分形的标度对称性的不变量是什么？分形维数就是刻画分形特征的量，也是标度对称性的不变量。我们知道，线段是1维的，面是2维的，体是3维的，都是整数维。线段的长度是一定的，与用什么尺来量度无关。例如，一米长的线段用米尺量只有一段即一米，用厘米尺去量度有一百段，也是一米。

然而象海岸线这样的分形体，用不同的尺去量度，情况却不同。例如用一公里长的尺量度中国的海岸线，有近2万公里，此时一些小港湾被忽略了；如用米尺去量度，小港湾则不能忽略，甚至一些大的礁石也不能忽略，测出的海岸线就会长一些；若用厘米尺去量，礁石上的凹凸不平也要考虑，测出的海岸线长度会大大增加。所以海岸线的几何特性将不同于一般的线段。

对于长为L的线段，用长为a的尺去量，有N尺，N=L/a。对边长为L的正方形，需要用边长为a的N个小正方形去覆盖，N=(L/a)2。边长L的立方体需N个边长为a的N个小立方体去填满，N=(L/a)3。对于D维的几何体，一般有N=(L/a)D。因此定义维数：

D=lnN/ln(L/a)D=lnN/ln(L/a)

下面用上式求一种类似海岸线的Koch曲线的维数。先从一单位线段开始,截去中间的1/3,代之以两个1/3