专题09 立体几何初步-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版

第第页专题09立体几何初步命题解读考向考查统计1.高考对立体几何初步的考查，重点是掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征、解决多面体和球体的相关计算问题。同时需要关注异面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题、夹角距离问题、截面问题。这些问题对考生的空间想象能力要求有所提升，需要考生有强大的逻辑推理能力。柱、锥、台体的表面积与体积2022·新高考Ⅰ卷，42023·新高考Ⅰ卷，142024·新高考Ⅰ卷，52022·新高考Ⅱ卷，112023·新高考Ⅱ卷，92023·新高考Ⅱ卷，14球的切接问题2022·新高考Ⅰ卷，82023·新高考Ⅰ卷，122022·新高考Ⅱ卷，7夹角问题2022·新高考Ⅰ卷，92024·新高考Ⅱ卷，7命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了圆柱、圆锥表面积、体积的综合应用，Ⅱ卷考查了以棱台为背景的线面角的求法，总的来说，基本立体图形的表面积和体积属于常考点，难度一般是较易和适中，掌握基本的公式和提升计算能力比较重要。预计2025年高考还是主要考查基本立体图形的表面积和体积，可以多多关注台体的表面积和体积计算。试题精讲一、单选题1．（2024新高考Ⅰ卷·5）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B.2．（2024新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的为，则，解得，如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，则，，可得，结合等腰梯形可得,即，解得，所以与平面ABC所成角的正切值为；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.故选：B.一、单选题1．（2022新高考Ⅰ卷·4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．2．（2022新高考Ⅰ卷·8）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是3．（2022新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．

二、多选题4．（2022新高考Ⅰ卷·9）已知正方体，则（

）A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD5．（2023新高考Ⅰ卷·12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体【答案】ABD【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过的中点作，设，可知，则，即，解得，且，即，故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知：，则，即，解得，根据对称性可知圆柱的高为，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.6．（2022新高考Ⅱ卷·11）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.7．（2023新高考Ⅱ卷·9）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为【答案】AC【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.

三、填空题8．（2023新高考Ⅰ卷·14）在正四棱台中，，则该棱台的体积为．【答案】【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，则，故，则，所以所求体积为.故答案为：.9．（2023新高考Ⅱ卷·14）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．【答案】【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故答案为：.一、棱柱、棱锥、棱台1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．二、圆柱、圆锥、圆台、球、组合体1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．5、由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．三、表面积与体积计算公式1、表面积公式表面积柱体为直截面周长锥体台体球2、体积公式体积柱体锥体台体球四、空间几何体的直观图1、斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．注：直观图和平面图形的面积比为．五、四个基本事实基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．六、直线与直线的位置关系位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号a∥b公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内七、直线与平面的位置关系位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号∥公共点个数无数个10八、平面与平面的位置关系位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形符号∥，公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上九、等角定理1、定义：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．十、直线和平面平行1、定义直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥线线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行面∥面线∥面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥面线∥线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行十一、两个平面平行1、定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行线面面∥面如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行∥3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言面//面线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）面//面线面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线十二、直线与平面垂直1、直线与平面垂直的定义如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a平行与垂直的关系一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直__平行与垂直的关系两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直_b_a3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行_b_a文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行__线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直十三、平面与平面垂直1、平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直__知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a十四、直线与平面所成的角1、定义①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.2、直线与平面所成的角的范围①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.④直线与平面所成的角的取值范围是.十五、二面角1、二面角的定义①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的表示①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角-l-，如图(1).②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).3、二面角的平面角①自然语言在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.②图形语言③符号语言∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.4、二面角大小的度量①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是.一、单选题1．（2024·重庆·三模）若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，求得圆锥底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式，即可求解.【详解】圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为，所以底面圆的半径为，所以该圆锥的侧面积为.故选：C2．（2024·河北秦皇岛·三模）已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】若，，则可能平行，异面或者相交，故A错误；若，，则与可能平行，可能相交，也可能，故B错误；若，，则与可能平行，也可能，故C错误；若，，由线面垂直的性质定理可知，故D正确；故选：D3．（2024·新疆喀什·三模）已知底面边长为2的正四棱柱的体积为16，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，确定（或其补角）为直线与所成的角，求出，进而求解.【详解】如图，连接，则，取的中点，连接，则，所以（或其补角）为直线与所成的角，又正四棱柱的体积为16，则该棱柱的高为，又，所以，即直线与所成角的余弦值为.故选：C4．（2024·山东潍坊·三模）某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为，高分别为，体积分别为，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以，则得，，上圆锥的母线为，下圆锥的母线为，所以上、下两圆锥的母线长之比为，故选：A．5．（2024·陕西·三模）黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（

）（附：的值取3，）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解.【详解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中），则，，，所以，故圆台部分的侧面积为，圆柱部分的侧面积为，故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为.故选：B.6．（2024·四川成都·模拟预测）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长､宽比下底的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（

）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A．51车 B．52车 C．54车 D．56车【答案】B【分析】由图形直接解出上下底面及中截面面积，再由解出拟柱体的体积，最后结合实际求出需要的卡车数量即可.【详解】由条件可知：上底长为米，宽为米；中截面长米，宽米；则上底面积平方米，中截面积平方米，下底面积平方米，所以该建筑材料的体积为(立方米)，所以建筑材料重约（吨），需要的卡车次为，所以至少需要运车.故选：B7．（2024·天津河西·三模）如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（

）A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5【答案】D【分析】根据割补法结合棱台的体积公式，即可求得答案.【详解】设三棱柱的高为h，上下底面面积均为S，体积为V，则，因为E，F分别为AB，AC的中点，故,结合题意可知几何体为棱台，则，故,故，故选：D8．（2024·新疆·三模）设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用体积相等可得答案.【详解】设内切球的球心为，连接，则把四棱台分割成六个四棱锥，且六个四棱锥的高都为内切球的半径，四棱台的高为，所以，化简可得.故选：D.9．（2024·天津北辰·三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合轴截面分析可知，，再利用圆柱以及圆台的体积公式运算求解.【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，取轴截面，如图所示，分别为的中点，可知：∥∥，且，可得，即，所以该容器中液体的体积为.故选：A.10．（2024·山东泰安·二模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为，证明为矩形，然后求出，，由勾股定理可得外接球半径，再由球的表面积公式可得.【详解】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为.因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由球的性质可知，平面，所以，同理，所以四边形为矩形，因为，所以，，所以，所以外接球的表面积为.故选：B11．（2024·天津·二模）在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，，，，均与底面垂直，且，点E、F分别为线段、的中点，记该几何体的体积为，平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求几何体的体积，再求被截较小部分的体积即可.【详解】由题意可知，如图所示，，所以平面即为平面截几何体的截面.因为，,所以几何体的体积,被截棱台的体积,较大部分体积为,且,所以较小部分的体积为.故选：D.12．（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答.【详解】如图所示：由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足，，由勾股定理得，所以，设点为外接圆的圆心，则外接圆的半径为，，设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为，，如图所示：设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点，而均垂直平分，所以点在面，面内的射影分别在直线上，即，由题意，且二面角为直二面角，即面面，，所以，即，可知四边形为矩形，所以，由勾股定理以及，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.二、多选题13．（2024·山西·三模）将一个直径为的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（

）A．底面直径为，高为的圆柱体 B．底面直径为，高为的圆锥体C．底面直径为，高为的圆锥体 D．各棱长均为的四面体【答案】ABD【分析】根据球的几何性质，结合勾股定理，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,若圆柱的底面直径为8，则半径为4，此时球心到圆柱底面的距离为，故圆柱的高可以为6，A符合，对于B，若圆锥的底面直径为8，则半径为4，此时球心到圆锥底面的距离为，故圆锥的高最大时为，B符合，对于C，若圆锥的底面直径为7，则半径为，此时球心到圆锥底面的距离为，故圆锥的高最大时为，C不符合，对于D,若将各棱长均为的四面体放入到棱长为的正方体中，此时正方体的外接球直径为，故D符合，故选：ABD14．（2024·浙江·二模）正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（

）A．平面B．平面C．异面直线与所成角为60°D．平面截正方体所得截面为等腰梯形【答案】ACD【分析】于A，连接，利用三角形中位线证得，结合线面平行判定定理即可判断A；对于B，取中点，连接，设正方体棱长为，根据线段长度结合勾股定理判断与是否垂直，即判断与是否垂直，从而可判断B；对于C，连接，根据正方体的面对角线性质，即可得异面直线与所成角的大小，从而判断C；对于D，连接，确定截面完整图形为四边形，再计算其四边长度与位置关系，即可判断D.【详解】对于A，如图，连接，因为，分别为棱和的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，如图，取中点，连接，在正方体中，，所以四边形为平行四边形，所以，又分别为，中点，则，故，设正方体棱长为，则，故，所以不垂直于，故不垂直于，又平面，所以不垂直平面，故B错误；对于C，如图，连接，在正方体中，，即为正三角形，又因为，分别为棱和的中点，所以，故异面直线与所成角即为，故C正确；对于D，如图，连接，在正方体中，，所以四边形为平行四边形，则，又，所以，所以四点共面，故平面截正方体所得截面为四边形，设正方体棱长为，则，所以，又，故截面为四边形为等腰梯形，故D正确.故选：ACD.15．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知正方体的棱长为为的中点，为线段上一动点，则（

）A．异面直线与所成角为B．平面C．平面平面D．三棱锥的体积为定值【答案】BCD【分析】在正方体中，异面直线与所成角即为或其补角，求出即可判断A；利用线面垂直的判定定理可以证明平面，判断B；利用面面垂直的判定定理可以证明平面平面，判断C；由平面，得点到平面的距离为定值，再由，可得三棱锥的体积为定值，判断D.【详解】对于选项，如图，连接，则，则或其补角为异面直线与所成角，因为，所以，故异面直线与所成角为，故选项错误；对于选项，由已知得为等腰直角三角形，是的中点，则，因为平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，设与交于点，其中，因为，所以，因为，所以，又平面平面，所以平面，故选项正确.；对于选项，由正方体的性质可知，平面，而平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故选项正确；对于选项，由，平面，平面，得平面，又，所以点到平面的距离为定值，又的面积确定，，所以三棱锥的体积为定值，故选项正确.故选：.16．（2024·湖南长沙·三模）已知一圆锥的底面半径为，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（

）A．其侧面展开图是圆心角为的扇形B．该圆锥的体积为πC．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2【答案】ABD【分析】求出底面圆周期判断A；求出圆锥的高并求出体积判断B；展开半圆锥的侧求出弦长判断C；求出轴截面顶角，再求出截面最大值判断D.【详解】对于A，圆锥底面圆周长为，而圆锥侧面展开图扇形半径为2，所以侧面展开图的圆心角为，A正确；对于B，圆锥的高，因此圆锥的体积，B正确；对于C，依题意，将半圆锥的侧面展开，如图，则从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为，C错误；对于D，圆锥轴截面顶角为，则，，则圆锥轴截面顶角为，因此过该圆锥的顶点的圆锥截面等腰三角形顶角，此截面三角形积，当且仅当时取等号，D正确.故选：ABD17．（2024·河北保定·二模）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（

）

A． B．平面平面C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为【答案】ABD【分析】求得位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项B；利用三棱台定义判断选项C；求得直线与平面所成的角判断选项D.【详解】对于A，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，所以，A正确.对于B，因为，平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面，又，平面，所以平面平面，B正确.对于C，因为，，则，所以多面体不是三棱台，C错误.对于D，延长，相交于点G，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，则为直线与平面所成的角.因为，所以，解得，，，则，D正确.

故选：ABD三、填空题18．（2024·重庆·二模）将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为和，则它的高为.【答案】【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可．【详解】球的体积为①，设铁锭的高为，则正四棱台的体积为②，由解得．故答案为：．19．（2024·浙江·三模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为.【答案】3【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可.【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，设母线长为，高为.则，解得.如图所示圆台的轴截面，在中，，由勾股定理得：圆台的高.故答案为：3.20．（2024·贵州黔东南·二模）已知一个圆锥的底面半径为4，用一个平行于该圆锥底面的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径为2，则截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为.【答案】/【分析】设出小圆锥的母线长，利用三角形的相似确定大圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式，即可求得答案.【详解】如图所示，，，设，由∽，得，故截得的小圆锥的侧面积为，截得的圆台的侧面积为，，故截得小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为.故答案为：21．（2024·上海奉贤·二模）学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，