苏教版五年级下册数学各单元知识点归纳、经典例题解析、同步测试卷(含答案有详细步骤)sc

苏教版版小学五年级数学下册同步复习与测试讲义第1章\o"第1章 简易方程"简易方程【知识点归纳总结】1.用字母表示数字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间．

用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统．

注意：

1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“•”（点）表示．

2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写．

3．出现除式时，用分数表示．

4．结果含加减运算的，单位前加“（）”．

5．系数是带分数时，带分数要化成假分数．

例如：乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c

乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）

乘法交换律：a×b=b×a．【经典例题】例：甲数为x，乙数是甲数的3倍多6，求乙数的算式是（）

A、x÷3+6

B、（x+6）÷3

C、（x-6）÷3

D、3x+6

分析：由题意得：乙数=甲数×3+6，代数计算即可．

解：乙数为：3x+6．

故选：D．

点评：做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．2.含字母式子的求值在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数．通常我们所谓的求解x的方程也是含字母式子的求值．如x的4倍与5的和，用式子表示是4x+5．若加个条件说和为9，即可求出x=1．【经典例题】例1：当a=5、b=4时，ab+3的值是（）

A、5+4+3=12

B、54+3=57

C、5×4+3=23

分析：把a=5，b=4代入含字母的式子ab+3中，计算即可求出式子的数值．

解：当a=5、b=4时

ab+3

=5×4+3

=20+3

=23．

故选：C．

点评：此题考查含字母的式子求值的方法：把字母表示的数值代入式子，进而求出式子的数值；关键是明确：ab表示a×b，而不是a+b．例2：4x+8错写成4（x+8）结果比原来（）

A、多4

B、少4

C、多24

D、少6

分析：应用乘法的分配律，把4（x+8）可化为4x+4×8=4x+32，再减去4x+8，即可得出答案．

解：4（x+8）-（4x+8），

=4x+4×8-4x-8，

=32-8，

=24．

答：4x+8错写成4（x+8）结果比原来多24．

故选：C．

点评：注意括号外面是减号，去掉括号时，括号里面的运算符合要改变．3.等式的意义含有等号的式子叫做等式．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．

等式的基本性质：

性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．若a=b，那么a+c=b+c

性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．若a=b，那么有a•c=b•c，或a÷c=b÷c（c≠0）

性质3：等式具有传递性．若a1=a2，a2=a3，a3=a4，…am=an，那么a1=a2=a3=a4=…=an

等式的意义：

等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，去分母等．

运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义．【经典例题】例1：500+△=600+□，比较△和□大小，（）正确．

A、△＞□B、△=□C、△＜□

分析：依据等式的意义，即表示左右两边相等的式子，叫做等式，于是即可进行正确选择．

解：因为500+△=600+□，

且500＜600，

所以△＞□；

故选：A．

点评：此题主要考查等式的意义．例2：等式两边同时乘或除以一个相同的数，所得的结果仍是一个等式．×．（判断对错）

分析：根据等式的性质，可知：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立．

解：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立；需要限制相同的这个数，必须得0除外，因为0做除数无意义；

故答案为：×．

点评：此题考查等式的性质，即“方程的两边同加上或减去一个相同的数，同乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立”．4.方程的意义含有未知数的等式叫方程．

方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可．

方程和算术式不同：算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数．方程是一个等式，在方程里，未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立．

方程的意义：

数学中的方程让很多问题变得简单易懂，因为对于很多数之间的关系，如果直接求需要复杂的逻辑推理关系，而用代数和方程就很容易求解，从而降低难度．【经典例题】例：一个数的7倍比35多14，设这个数为x，列方程是（）

A、7x+35=14

B、7x-35=14

C、35-7x=14

分析：设这个数为x，那么它的7倍就是7x，它减去35是14，根据等量关系列出方程即可．

解：设这个数为x，由题意得：

7x-35=14．

故选：B．

点评：解决这类问题的关键是找清数量关系，根据等量关系列出方程．5.方程与等式的关系1．方程：含有未知数的等式，即：

方程中必须含有未知；

方程式是等式，但等式不一定是方程．

2．方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”．

3．方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数．【经典例题】例：方程一定是等式，但等式不一定是方程．√．（判断对错）

分析：紧扣方程的定义，由此可以解决问题．

解：根据方程的定义可以知道，方程是含有未知数的等式，但是等式不一定都含有未知数，所以这个说法是正确的．

故答案为：√．

点评：此题考查了方程与等式的关系，应紧扣方程的定义，从而解决问题．6.方程需要满足的条件方程必须满足两个条件（缺一不可）：

1、含有未知数；

2、是等式．【经典例题】例1：下面的式子中，（）是方程．

A、45÷9=5

B、y+8

C、x+8＜15

D、4y=2

分析：分析各个选项，根据方程的定义找出是方程的选项．

解：A，45÷9=5这虽然是等式，但不含有未知数，它不是方程；

B，y+8，虽然含义未知数但不是等式，它不是方程；

C，x+8＜15，虽然含义未知数但不是等式，它不是方程；

D，4y=2，这是一个含有未知数的等式，它是方程．

故选：D．

点评：本题考查了方程满足的条件，含有未知数的等式是方程，那么它要满足两个条件：一是等式，二是等式中要有未知数．例2：x=2是方程．√．（判断对错）

分析：方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．

解：x=2，是含有未知数的等式，所以x=2是方程，原题说法正确．

故答案为：√．

点评：此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．7.方程的解和解方程使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

求方程的解的过程，叫做解方程．【经典例题】例1：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做（）

A、方程

B、解方程

C、方程的解

D、方程的得数

分析：根据方程的解的意义进行选择即可．

解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

故选：C．

点评：此题主要考查方程的解的意义．例2：x=4是方程（）的解．

A、8x÷2=16

B、20x-4=16

C、5x-0.05×40=0

D、5x-2x=18

分析：使方程的左右两边相等的未知数的值，是这个方程的解，把x=4代入下列方程中，看左右两边是否相等即可选择．

解：A、把x=4代入方程：左边=8×4÷2=16，右边=16；左边=右边，所以x=4是这个方程的解；

B、把x=4代入方程：左边=20×4-4=76，右边=16；左边≠右边，所以x=4不是这个方程的解；

C、把x=4代入方程：左边=5×4-0.05×40=20-2=18，右边=0；左边≠右边，所以x=4不是这个方程的解；

D、把x=4代入方程：左边=5×4-2×4=12，右边=18；左边≠右边，所以x=4不是这个方程的解；

故选：A．

点评：将x的值代入方程中进行检验，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．8.不等式的意义及解法定义：用不等号表示不等关系的式子．在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式．例如：x+4≤8．

解法口诀：

解不等式的途径，步步转化要等价．

数形之间互转化，帮助解答作用大．【经典例题】例：不等式X-2≥0的解集为x≥2．

分析：利用不等式的性质1求解．

解：根据不等式的性质1，不等式两边加2，不等号的方向不变，所以

X-2+2≥0+2，

x≥2．

点评：此题主要考察学生能否熟练应用不等式的性质解不等式．【同步测试】单元同步测试题一．选择题（共8小题）1．2x+x＝（）A．3x B．x3 C．2x22．500+△＝600+□，比较△和□大小，（）正确．A．△＞□ B．△＝□ C．△＜□3．下列是方程的有（）A．3x﹣8 B．2+1＝3 C．2x+3＝13 D．8﹣2x4．已知m＜n，那么下列各式中，不一定成立的是（）A．2m＜2n B．3﹣m＞3﹣n C．mc2＜nc2 D．m﹣3＜n﹣15．下列各式中是方程的是（）①3x﹣4＝5②2x2+8y＝0③3y+4④x﹣1≠0⑤m＝3A．①② B．①②③ C．①②⑤ D．①②④6．（1﹣）x＝36x＝（）A． B．81 C． D．7．下面两个式子相等的是（）A．a×a和a2 B．2a和a2 C．a+a和a2 D．a+a和a×a8．图形所表示的意思是（）A．等式都是方程 B．方程都是等式 C．方程不一定是等式 D．方程包含等式二．填空题（共7小题）9．如果A﹣102＝B﹣200，那么A＜B．．10．当a＝3时，a2+a﹣3.5＝．11．x的6倍比27多3，用方程表示是，解方程是．12．在3x+18，34+42＝76和3+6y＝17中，方程有．13．果园里有桃树A棵，梨树的棵树比桃树的5倍多16棵．果园里有梨树棵．14．所有适合不等式的自然数n之和为．15．等式两边同时乘以或除以，所得结果仍然是等式．这是的性质．三．判断题（共5小题）16．不等式的两边同时减去同一个正数，不等号的方向不变．．（判断对错）17．7a+7b＝7ab．（判断对错）18．6＝2x+3不是方程．（判断对错）19．当a＝2时，a2和2a相等．．（判断对错）20．等式的两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍然是等式．．（判断对错）四．计算题（共1小题）21．解方程．x+x＝99x＝五．应用题（共5小题）22．（1）买a支铅笔和b个文具盒，共应付多少元？（2）买c个足球应付多少元？（3）用100元买了4支铅笔和c个文具盒后，还剩多少元？23．《数学奇闻》每本a元，李老师先买了2本，看后觉得很好，又买了x本．一共花了多少元？24．甲乙两个工程队分别从两端同时开凿一条隧道．甲队每天凿a米，乙队每天凿b米，120天后凿完．（1）这条隧道长多少米？（2）当a＝11米，b＝9米时，这条隧道多少米？25．周末，爸爸妈妈带淘淘去140km外的姥姥家．汽车以每小时80km的速度从家出发．开出t小时后，他们离家有多远？如果t＝0.6，他们离家有多远？26．小明去商店买文具，所带的钱如果全部买笔记本，可以买10本，如果全部买铅笔，可以买15支．（1）用2本笔记本可以换几支铅笔？（2）假如每本笔记本比每支铅笔贵a元，那么小明所带的钱可以怎样表示？（用只含有字母a的式子来表示）

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】2x表示2个x相加，再加1个x就是3x，由此即可做出选择．【解答】解：2x+x＝3x，故选：A．【点评】本题主要考查了含字母的数相加，可以把字母前面的数相加，再在得出的数后面加字母即可．2．【分析】依据等式的意义，即表示左右两边相等的式子，叫做等式，于是即可进行正确选择．【解答】解：因为500+△＝600+□，且500＜600，所以△＞□；故选：A．【点评】此题主要考查等式的意义．3．【分析】含有未知数的等式叫做方程；由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此逐项分析后再选择．【解答】解：A、3x﹣8，虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程；B、2+1＝3，虽然是等式，但它没含有未知数，所以不是方程；C、2x+3＝13，既含有未知数，又是等式，符合方程的意义，所以是方程；D、8﹣2x，虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程；故选：C．【点评】此题主要考查根据方程的意义来辨识方程，明确只有含有未知数的等式才是方程．4．【分析】由于m、n的取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，若能直接利用不等式性质的就用不等式性质进行判断即可．【解答】解：A、如果m＜n，根据不等式两边同时乘以2，不等号的方向不改变，则2m＜2n，所以A成立．B、如果m＜n，且m、n为负数，根据不等式两边同时被3减，不等号的方向要改变，则有3﹣m＞3﹣n；且m、n为非负数，根据不等式两边同时被3减，不等号的方向要改变，则3﹣m＞3﹣n，所以B对．C、如果m＜n，c2≥0，当c为非0的数时，不等式两边同时乘以c2，不等号方向不变，所以mc2＜nc2成立；当c为0时mc2＝nc2，所以C不一定成立．D、如果m＜n，根据不等式两边左边去掉3，不等号方向不变，则m﹣3＜n﹣1．所以D对．故选：C．【点评】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．【解答】解：①3x﹣4＝5，是含有未知数的等式，所以是方程，②2x2+8y＝0，是含有未知数的等式，所以是方程，③3y+4，虽然含义未知数但不是等式，所以不是方程；④x﹣1≠0，虽然含义未知数但不是等式，所以不是方程；⑤m＝3，是含有未知数的等式，所以是方程，故选：C．【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．6．【分析】先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解．【解答】解：（1﹣）x＝36x＝36x÷x＝36÷x＝81；故选：B．【点评】在解方程时应根据等式的性质，即等式两边同加上、同减去或同除以、同乘上某一个数（0除外），等式的两边仍相等，同时注意等号上下要对齐．7．【分析】字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来．【解答】解：A、a×a，可以写成a2的形式，符合题意．B、2a表示2×a，和a2是不同的式子．C、a+a表示两个a相加，a2表示两个a相乘，不符合题意．D、a+a表示两个a相加，a×a表示两个a的积，式子不相等．故选：A．【点评】本题考查了对字母表示数的认识，注意省略的乘号．8．【分析】方程是指含有未知数的等式，所以等式包含方程，方程只是等式的一部分；据此解答．【解答】解：由图可知，等式包含方程，方程都是等式，所以选项B说法正确，故选：B．【点评】此题考查方程与等式的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程．二．填空题（共7小题）9．【分析】依据等式的意义，即表示相等关系的式子叫做等式，即可判断此题的正误．【解答】解：因为A﹣102等于B﹣200，又因102＜200，所以A＜B，故答案为：正确．【点评】此题主要考查等式的意义．10．【分析】把a＝3代入含字母的式子a2+a﹣3.5中，计算即可求出式子的数值．【解答】解：当a＝3时a2+a﹣3.5＝32+3﹣3.5＝12﹣3.5＝8.5故答案为：8.5．【点评】此题考查含字母的式子求值的方法：把字母表示的数值代入式子，进而求出式子的数值．11．【分析】x的6倍是6x，x的6倍比27多3，即6x﹣27＝3，然后再根据等式的性质进行解答．【解答】解：根据题意可得：6x﹣27＝36x﹣27+27＝3+276x＝306x÷6＝30÷6x＝5故答案为：6x﹣27＝3，x＝5．【点评】解方程是利用等式的基本性质，即等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式的两边仍然相等；等式的两边同时加或减同一个数，等式的两边仍然相等．12．【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．【解答】解：在3x+18，34+42＝76和3+6y＝17中，方程有3+6y＝17．故答案为：3+6y＝17．【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．13．【分析】用A表示桃树的棵数，先根据求一个数的几倍，用乘法求出桃树的5倍的棵数A×4，进而用桃树的棵数5倍加上16棵，就是梨树的棵数，即可得解．【解答】解：A×5+16＝5A+16（棵）答：梨树有（5A+16）棵．故答案为：（5A+16）．【点评】解答此题的关键：根据求一个数的几倍，用乘法；求比一个数多用加法．14．【分析】先通分得到不等式＜＜，可得245＜126n＜1800，在找到满足245＜126n＜1800的所有自然数n，相加即可求解．【解答】解：因为，所以＜＜，所以245＜126n＜1800，则n的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14，＝8×13，＝104．答：所有适合不等式的自然数n之和为104．故答案为：104．【点评】此题考查了不等式的意义及解法，难点在于求得n的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14．15．【分析】根据等式的性质，可得等式的两边同时乘或除以一个相同的数（除数不能为0），所得的结果仍然是等式．据此解答即可．【解答】解：等式的两边同时乘或除以一个相同的数（除数不能为0），所得的结果仍然是等式．这是等式的性质．故答案为：等式．【点评】此题主要考查了等式的性质，以及解方程的依据，要熟练掌握．三．判断题（共5小题）16．【分析】根据不等式的基本性质来判断．【解答】解：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．故答案为：√．【点评】不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．17．【分析】根据乘法分配律即可求解．【解答】解：7a+7b＝7（a+b）故题干的计算错误．故答案为：×．【点评】考查了用字母表示数，关键是熟练掌握乘法分配律．18．【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行判断．【解答】解：6＝2x+3既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；原题说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．19．【分析】把字母赋值，然后代入含有字母的式子进行求值是比较基础的题目，方法是用数字代替字母进行求值，a2和2a所表示的意思，a2表示两个a相乘2a表示2个a相加．即：2×2＝2×2相等，题目是正确的．【解答】解：a＝2时，a2＝2×2＝4，2a＝2×2＝4，所以a2和2a相等．故答案为：正确．【点评】本道题目考察：1：a2和2a所表示的意思，a2表示两个a相乘2a表示2个a相加．2：数字代替字母进行求值．20．【分析】等式的性质：在等式的两边都加上（或减去）一个相同的数，等式依然成立；据此进行判断．【解答】解：在等式的两边同时都加上（或减去）一个相同的数，等式依然成立，说法正确．故答案为：正确．【点评】此题考查等式的性质：在等式的两边同时都加上（或减去）一个相同的数；两边同时都乘上（或除以）一个相同的数（0除外），等式依然成立．要注意：必须是同一个数才行．四．计算题（共1小题）21．【分析】（1）首先化简，再根据等式的性质，两边同时除以即可．（2）根据等式的性质，两边同时除以即可．【解答】解：（1）x+x＝99x＝99x÷＝99÷x＝72（2）x＝x÷＝÷x＝【点评】在解方程时应根据等式的性质，即等式两边同加上、同减去或同除以、同乘上某一个数（0除外），等式的两边仍相等，同时注意等号上下要对齐．五．应用题（共5小题）22．【分析】①根据单价×数量＝总价，表示出买a支铅笔和b个文具盒的总价，再相加即可解答．②根据单价×数量＝总价，用足球的单价乘c即可解答．③根据单价×数量＝总价，表示出买4支铅笔和c个文具盒的总价，则所付100元减去买两种物品需要钱数，即得应找回多少钱．【解答】解：（1）0.5a+20.5b（元）答：买a支铅笔和b个文具盒，共应付（0.5a+20.5b）元．（2）26.8c（元）答：买c个足球应付26.8c元．（3）100﹣（0.5×4+20.5c）＝100﹣2﹣20.5c＝98﹣20.5c（元）答：还剩（98﹣20.5）元．【点评】本题体现了价格问题的基本关系式：单价×数量＝总价．23．【分析】《数学奇闻》每本a元，李老师先后买了（2+x）本，根据“总价＝单价×数量”即可求出一共花了多少元．【解答】解：a×（2+x）＝2a+ax（元）答：一共花了（2a+ax）元．【点评】此题也可分别求出2本、x本各花了多少钱，再把二者相加．24．【分析】（1）根据“工作量＝工作效率×工作时间”，分别求出甲、乙的工作量，把二者相加即可，或用甲、乙的工作效率之和乘工作时间．（2）把a＝11米，b＝9米时代入上面求出的含有字母a、b的表示这条隧道长度的式子计算即可．【解答】解：（1）a×120+b×120＝120（a+b）（米）答：这条隧道长120（a+b）米．（2）当a＝11米，b＝9米时120（a+b）＝120×（11+9）＝120×20＝2400（米）答：这条隧道2400米．【点评】此题是使学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量；使学生在理解含有字母式子的具体意义的基础上，会根据字母的取值，求含有字母式子的值．25．【分析】根据路程＝速度×时间，表示出t小时的路程，就是开出t时后，他们离家有多远，再把t＝0.6代入表示的式子计算即可求出他们离家有多远．【解答】解：80t（千米）当t＝0.6时，80t＝80×0.6＝48（千米）答：开出t小时后，他们离家有（80t）千米，如果t＝0.6，他们离家有48千米．【点评】本题考查用路程＝速度×时间的关系表示含有字母的式子和含有字母的式子求值的方法．26．【分析】（1）根据“总价＝单价×数量”，由题意可短，笔记本单价×10＝铅笔单价×15，根据等式的性质，两边都除以5就是笔记本单价×2＝铅笔单价×3，即2本笔记本的钱数＝3支铅笔的钱数，因此，用2本笔记本可以换3支铅笔．（2）把小明所带的钱数看作单位“1”，根据“单价＝总价÷数量”，笔记本的单价就是，铅笔的单价就是，每本笔记本比每支铅笔贵a元，根据分数除法的意义，小明带的钱数就是a÷（﹣）＝30a（元）．【解答】解：（1）笔记本单价×10＝铅笔单价×15笔记本单价×10÷5＝铅笔单价×15÷5笔记本单价×2＝铅笔单价×3即即2本笔记本的钱数＝3支铅笔的钱数因此，用2本笔记本可以换3支铅笔答：用2本笔记本可以换3支铅笔．（2）设小明带的钱数为“1”则笔记本的单价就是，铅笔的单价就是，每本笔记本比每支铅笔贵a元小明带的钱数就是：a÷（﹣）＝a÷＝30a（元）【点评】解答此题的关键一是总价、单价、数量之间关系的灵活运用；二是在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量．苏教版版小学五年级数学下册同步复习与测试讲义第2章折线统计图【知识点归纳总结】1.复式折线统计图1．定义：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后用线段把各点顺次连接起来．

折线统计图不但可以表示项目的具体数量，又能清楚地反映事物变化的情况．

2．折线图特点：易于显示数据的变化的规律和趋势．可以用来作股市的跌涨和统计气温．

3．作用：

复式折线统计图一般用于两者之间比较，主要作用还是看两者之间的工作进度和增长．

折线统计图分单式或复式．复式的折线统计图有图例，用不同颜色或形状的线条区别开来．

4．区别：

与单式折线统计图相差最大的是多了一条线，和第二个单位，但仍然能看出他的上升趋势．【经典例题】例1：哥哥和弟弟周末分别骑车去森林动物园游玩，下面的图象表示他们骑车的路程和时间的关系，请根据哥哥、弟弟行程图填空．

①哥哥骑车行驶的路程和时间成正比例．

②弟弟骑车每分钟行0.3千米．

分析：此题是行程问题中的数量关系，根据成正比例的意义可知，行驶的路程与时间成正比例关系；通过观察统计图可得出弟弟行驶的路程为30千米，时间为3：40-2：00=100分钟，根据速度=路程÷时间即可解决问题．

解：因为路程=速度×时间，

所以哥哥骑车行驶的路程与时间成正比例，

3：40-2：00=100（分钟），

30÷100=0.3（千米）；

答：哥哥骑车行驶的路程与时间成正比例，弟弟骑车每分钟行0.3千米．

故答案为：正；0.3．点评：此题考查了行程问题中的数量关系和成正比例的意义．2.单式折线统计图1．折线统计图：

用一个单位长度表示一定数量，用折线的上升或下降表示数量的多少和增减变化．容易看出数量的增减变化情况．

2．折现统计图制作步骤：

（1）标题：根据统计表所反映的内容，在正上方写上统计图的名称；

（2）画出横、纵轴：先画纵轴，后画横轴，横、纵轴都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量；

（3）描点、连线：根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．【经典例题】例1：如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回．去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时72千米．

分析：从统计图中可知电车从A站到达B站用了4分钟，并在B站休息了1分钟，从B站到达C站用了5分钟，所以电车从A站到达C站共行驶了4+5=9（分钟），根据“速度×时间=路程”求出从A站到C站的距离；电车在C站休息了3分钟，从第13分钟开始行驶到第19分钟返回A站，根据“速度=路程÷时间”即可得出答案．

解：48×（4+5）÷（19-13），

=48×9÷6，

=72（千米）；

答：汽车从C站返回A站的速度是每小时行72千米．

故答案为：72．点评：此题首先根据问题从图中找出所需要的信息，然后根据数量关系式：“速度×时间=路程”和“速度=路程÷时间”即可作出解答．【同步测试】单元同步测试题一．选择题（共6小题）1．龟兔赛跑是我们非常熟悉的故事，故事大意是：乌龟和兔子赛跑，兔子开始就领先了乌龟很多，兔子不耐烦了，就在路边睡了一觉，而乌龟一直往目的地奔跑，最终乌龟获得了胜利．下面能反映这个故事情节的图是（）A． B． C． D．2．如图是小明每天上学走的路程统计图，那么他从家到学校需要走（）千米．A．5 B．2.5 C．103．“龟兔赛跑”：领先的兔子看破着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…．用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，下面图（）与故事情节相吻合．A． B． C． D．4．如图是吴先生国庆节开车从深圳回老家F市的过程．下面说法，错误的是（）A．F市距离深圳640km B．9：00﹣10：00车速最快 C．14：00﹣15：00行驶了60km D．开车4小时后体息了20分钟5．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地．快车的速度是100千米/小时，特快车的速度是150千米/小时．甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则下列四幅图中能正确表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间的关系的是（）A． B． C． D．6．如图是甲、乙两架航模飞机的飞行情况统计图，第（）秒两架飞机的高度相差最大．A．20 B．25 C．30 D．35二．填空题（共6小题）7．看图填空：（1）小华骑车从家去相距5千米的图书馆借书，从所给的折线统计图可以看出：小华去图书馆路上停车分，在图书馆借书用分．（2）从图书馆返回家中，速度是每小时千米．8．如图是一辆汽车与一列火车的行程图表，根据图示回答问题．（1）汽车的速度是每分钟千米；（2）火车停站时间是分钟；（3）火车停站后的速度比汽车每分钟快千米；（4）汽车比火车早到分钟．9．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，它们距A地的距离S与行驶时间t的关系如图所示，根据图象可知，甲车从B地返回的速度为千米/小时，甲车行驶到距A地千米时追上乙车．10．小红从家去4km的图书馆看书，从统计图可以看出，她在图书馆看书用去分，去时的速度是每时km．11．请你根据统计图回答问题．下面是某校六年级（2）班去年数学期末考试成绩统计图，可惜被撕掉了一部分．已知：这个班数学期末考试的及格率为96%，成绩为优秀的人数占全班总人数的36%，成绩为良好的人数比成绩为优秀的人数多．请你算一算：（1）该班一共有人参加了这次考试．（2）其中成绩达到优秀的一共有人．（3）成绩为良好的有人．12．一辆汽车从甲地出发去乙地，到达乙地后停留了一段时间后又沿原路返回，（如图），汽车出发一小时后行了千米，到达乙地的时间是，在乙地停留了时，汽车回甲地的速度是km/时．三．判断题（共4小题）13．任意两个单式折线统计图都可以合成一个复式折线统计图．（判断对错）14．复式条形统计图不仅反映数量的变化趋势，而且便于对两组数据的变化趋势进行比较．（判断对错）15．折线统计图不能反映数量的多少．．（判断对错）16．折线统计图是用点的高低表示数量的多少，线的起伏表示数量的增减变化．（判断对错）四．应用题（共3小题）17．小红（女）每年生日都测量身高，下图是她7～15岁的身高与全国同龄女生标准身高比较的统计图．①小红的身高从多少岁到多少岁增长幅度最大？②和同学说一说小红的身高与全国同龄女生标准身高比较的变化情况．18．小刚骑车到离家6千米的一个公园游玩．根据折线图解答下列问题．（1）小刚在公园玩了多长时间？（2）如果一直骑车，不休息，他什么时候可以到达公园？19．一个漏水的水龙头一天要浪费80kg水．（一个月按30天计算）（1）请你根据计算完成下面的折线统计图．（2）若100户家庭各有1个水龙头按这样的速度漏水，则这100户家庭一年要浪费多少吨水？五．操作题（共2小题）20．如图是王军和孙林1500米赛跑的路程示意图．①王军跑完全程用了分钟．②王军跑到终点时，孙林再跑分钟到达终点．③王军和孙林的平均速度相差米/分．21．看统计图回答问题．个月的结余最多．第二季度月平均支出．六．解答题（共2小题）22．甲、乙两种品牌的服装月平均销售量统计图如下：（1）根据统计图，你认为品牌服装的销售量变化比较大．（2）根据图中的数据，这两种品牌的服装月份的平均销售量相差最大，月份的平均销售量相差最小．（3）六月份乙品牌的销售量是甲品牌的．（4）甲乙两种品牌全年的平均销售量大约相差多少件？（在合适答案旁画“√”）100□360□600□23．如图图是小胖连续6次数学练习得分情况．（1）小胖第6次数学练习得分是多少？（2）小胖哪次数学练习得分与平均分最接近．（3）有人认为小胖的数学成绩波动较大，你有什么想法？参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【分析】根据题意可知：由于乌龟有耐心，一直往目的地奔跑，可知表示乌龟赛跑的图象应该是一条一直上升的直线，且比兔子早到达终点；由于兔子没有耐心，一开始表示兔子的赛跑的图项应该是一条上升的直线，到中途睡了一觉，由于路程不改变，所以图象变为水平直线，睡了一觉起来再跑，图象又变为上升；据此分析可确定选A．【解答】解：根据题意与分析可得：表示乌龟赛跑的图象应该是一条一直上升的直线，且比兔子早到达终点；表示兔子赛跑的图象应该是开始时是一条上升的直线，中途变为水平直线，然后又变为上升，且比乌龟晚到达终点；所以，A图能反映这个故事情节．故选：A．【点评】此题主要考查的是如何观察折线统计图并从图中获取信息．2．【分析】观察图可知，小明离的路程越来越多，走到5千米的地方路程不再增加，也就是到了学校，然后在学校里面待了一段时间，然后回家，离家的距离越来越少，由此求解．【解答】解：观察图可知，小明离的路程越来越多，走到5千米的地方路程不再增加，也就是到了学校所以他从家到学校需要走5千米．故选：A．【点评】解决本题关键是理解图中折线表示的含义，得出结论．3．【分析】因为领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达终点，所以兔子的路程随时间的变化分为3个阶段，由此即可求出答案．【解答】解：根据题意：s1一直增加；s2有三个阶段，1、增加；2、睡了一觉，不变；3、当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，增加；但乌龟还是先到达终点，即s1在s2的上方．故选：D．【点评】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．4．【分析】由图可以看出：F市离深圳是640千米．7：00～8：00行驶了75千米，时速75÷1＝75千米/时；8：00～9：00行驶了180﹣75＝105千米，时速105÷1＝105千米/时；9：00～10：00行驶了300﹣180＝120千米，时速为120÷1＝120千米/时；10：00～11：00行驶了410﹣300＝110千米，时速为110÷1＝110千米/时；11：00～12：00路程没有变化，时速为0，即休息了1个小时；12：00～13：00行驶了500﹣410＝90千米，时速为90÷1＝90千米/时；13：00～14：00行驶了580﹣500＝80千米，时速为80÷1＝80千米/时；14：00～15：00行驶了640﹣580＝60千米，时速为60÷1＝60千米/时．再通过比较即可确定哪个时段速度最快；开车4小时后休息的时间．【解答】解：如图各时间段行驶的路程、速度计算如下：7：00～8：00行驶了75千米，时速75÷1＝75千米/时；8：00～9：00行驶了180﹣75＝105千米，时速105÷1＝105千米/时；9：00～10：00行驶了300﹣180＝120千米，时速为120÷1＝120千米/时；10：00～11：00行驶了410﹣300＝110千米，时速为110÷1＝110千米/时；11：00～12：00路程没有变化，时速为0，即休息了1个小时；12：00～13：00行驶了500﹣410＝90千米，时速为90÷1＝90千米/时；13：00～14：00行驶了580﹣500＝80千米，时速为80÷1＝80千米/时；14：00～15：00行驶了640﹣580＝60千米，时速为60÷1＝60千米/时．F市距离深圳640km，先项A正确9：00﹣10：00车速最快，选项B正确14：00﹣15：00行驶了60km，选项C正确开车4小时后体息了1小时，选项D不正确故选：D．【点评】此题是考查如何从拆线统计图中获取信息，并根据所获取的信息解决实际问题．5．【分析】由题意可知：两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；相遇后向相反方向行驶，快画到乙地，特快到甲地，这段时间两车距迅速增加；特快到达甲地时，快车未到达乙地，这段时间两车距缓慢增大．根据“时间＝路程÷速度”，用甲、乙两地的距离（1000千米）除以两个车的速度之和就是两车相遇的时间，在这个时间点上，两车的距离为0．据此即可进行选择．【解答】解：两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小相遇后向相反方向行驶，快画到乙地，特快到甲地，这段时间两车距迅速增加特快到达甲地时，快车未到达乙地，这段时间两车距缓慢增大1000÷（100+150）＝1000÷250＝4（小时）4小时后两车距离为0综合以上情况，图象符合条件．故选：C．【点评】此题是考查如何从拆线统计图中获取信息．关键是抓住分析中所述的四个特征．6．【分析】根据观察折线统计图可知：甲、乙两架航模飞机在第30秒两架飞机的高度相差最大，相差27﹣8＝19米，据此解答．【解答】解：在第30秒两架飞机的高度相差最大，相差27﹣8＝19（米），故选：C．【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题．二．填空题（共6小题）7．【分析】通过观察折线统计图，可以看出从家出发20分钟行走了1千米，停留20分钟后继续前进，经过20分钟又行驶4千米到达图书馆，在图书馆借书用了40分钟，然后用了20分钟返回到家．由此即可解决问题．【解答】解：（1）小华骑车从家去相距5千米的图书馆借书，从所给的折线统计图可以看出：小华去图书馆路上停车20分，在图书馆借书用40分；（2）20分＝小时，5÷＝5×3＝15（千米/小时）；故答案为：20，40，15．【点评】此题考查了利用折线统计图表示行走时间和行走路程的关系，以及通过观察统计图得出行走时间与路程来解决问题的方法．8．【分析】（1）根据统计图可知：汽车出发时的时间是7：55，行驶到15千米时的时间是8：20，用路程除以时间等于速度解答即可；（2）用火车开出的时刻减去到站的时刻就是火车停站的时间；（3）先求出火车停站后的时速，再减去汽车的时速即可；（4）用火车到站的时刻减去汽车到站的时刻就是汽车比火车早到的时间．【解答】解：（1）8：20﹣7：55＝25分钟15÷25＝0.6（千米）答：汽车的速度是每分钟0.6千米．（2）8时10分﹣8时＝10分钟答：火车停站时间是10分钟．（3）8时25分﹣8时10分＝15（分钟）（15﹣5）÷15＝（千米）﹣0.6＝（千米）答：火车停站后的速度比汽车每分钟快千米．（4）8时25分﹣8时20分＝5分钟答：汽车比火车早到5分钟故答案为：0.6，10，，5．【点评】本题主要考查了学生根据统计图，分析数量关系解答问题的能力．9．【分析】根据图象可知：A、B两地之间的路程是120千米，根据速度＝路程÷时间，甲车返回用1.5小时，据此可以求出甲返回的速度，乙车用行完全程用3小时，由此可以求出乙车的速度，当甲车达到B地时，乙车离开B地1小时的路程，根据追及问题：追及时间＝追及的距离÷速度差，由此可以求出甲追上乙所用的时间，进而求出甲车行驶到距A地多少千米时追上乙车．据此解答．【解答】解：A、B两地之间的路程是120千米，甲车返回用1.5小时，甲返回的速度是：120÷1.5＝80（千米/小时）；乙车的速度是：120÷3＝40（千米/小时）；甲从B地返回追上乙用的时间：40÷（80﹣40）＝40÷40＝1（小时）；也就是甲车离开B地80千米，那么距A地120﹣80＝40千米．答：甲车返回的速度是80千米/小时，甲车行驶到距A地40千米时追上乙车．故答案为：80，40．【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，根据路程、速度、时间三者之间的关系解决有关的实际问题．10．【分析】（1）由统计图的水平线的起止时间相减即可得到在图书馆看书的时间．（2）运用路程4千米除以时间（30分钟＝0.5小时）等于速度即可进行计算．【解答】解：（1）在图书馆看书的时间：100﹣30＝70（分钟）答：她在图书馆看书用去70分．（2）去时的速度是：4÷（30÷60）＝8（千米）答：去时的速度是每时8km．故答案为：70，8．【点评】此题首先根据问题从图中找出所需要的信息，然后根据数量关系式：路程÷时间＝速度即可作出解答．11．【分析】（1）已知该班数学期末考试的及格率为96%，那么不及格的人数占全班人数的（1﹣96%），不及格的是2人，由此可以求出全班人数．（2）成绩优秀的人数占全班的36%，根据一个数乘百分数的意义，用乘法求出“优秀”的人数；（3）把“优秀”的人数看作单位“1”，那么成绩“良好”的人数相当于“优秀”的人数的（1+），根据一个数乘分数的意义，用乘法可以求出成绩“良好”的人数．【解答】解：（1）2÷（1﹣96%）＝2÷0.04＝50（人）；答：该班一共有50人参加了这次考试．（2）50×36%＝18（人）；答：其中成绩达到优秀的一共有18人．（3）18×（1+）＝18×＝22（人）；答：成绩良好的有22人．故答案为：50，18，22．【点评】本题考查了学生利用统计图解决问题的能力，同时考查了学生解决百分数应用题问题能力．12．【分析】通过观察折线统计图可知：汽车出发1小时行驶了60千米，达到目的地的时间是9时，在乙地停留了1小时，求返回的速度，首先根据去时的速度和时间求出路程，返回用了1小时，再根据速度＝路程÷时间，据此列式解答．【解答】解：140÷1＝140（千米/小时），答：汽车出发1小时行驶了60千米，达到目的地的时间是9时，在乙地停留了1小时，汽车回甲地的速度是每小时行驶120千米．故答案为：60、9、1、140．【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题．三．判断题（共4小题）13．【分析】折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后用线段把各点顺次连接起来；折线统计图不但可以表示项目的具体数量，又能清楚地反映事物变化的情况；易于显示数据的变化的规律和趋势；由此依次进行分析、即可得出结论．【解答】解：任何一幅复式折线统计图都能分成多幅单式折线统计图，但是任意两个单式折线统计图不一定合成一个复式折线统计图，所以本题说法错误；故答案为：×．【点评】明确单式折线统计图和复式折线统计图的特点及两者之间的关系，是解答此题的关键．14．【分析】根据折线统计图的特点可知：折线统计图易于显示数据的变化的规律和趋势，所以复式折线统计图既可以反映数量的变化趋势，又可以比较两组数据的变化趋势．【解答】解：根据折线统计图的特点可知：折线统计图易于显示数据的变化的规律和趋势．所以复式折线统计图既可以反映数量的变化趋势，又可以比较两组数据的变化趋势．所以原题说法是正确的．故答案为：√．【点评】本题主要考查复式折线统计图的特点．15．【分析】根据折线统计图的特点：不但可以表示出数量的多少，而且能看出各种数量的增减变化情况；据此进行解答即可．【解答】解：根据折线统计图的特点可知：线统计图不但可以反映数量的多少，还能反映出数量的增减变化情况；故答案为：×．【点评】此题考查了折线统计图的特点．16．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图用折线的起伏表示数量的增减变化，不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．【解答】解：折线统计图是用点的高低表示数量的多少，线的起伏表示数量的增减变化，说法正确．故答案为：√．【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．四．应用题（共3小题）17．【分析】①根据复式折线统计图的特点，当表示小红的身高的折线最陡时，其年龄增长幅度最大（或者对每年的身高求差，也可得出身高的增长情况，然后进行比较，找到增长最快的年龄段）．②从整体看，小红的身高比全国同龄女生标准身高比较，小红的身高偏低．但是在她9岁的时候是最接近标准身高的．（合理即可，无固定答案．）【解答】解：①从8岁到9岁，表示小红身高的折线最陡，所以，从8岁到9岁，小红的身高增长幅度最大．②从整体看，小红的身高比全国同龄女生标准身高比较，小红的身高偏低．但是在她9岁的时候是最接近标准身高的．（合理即可，无固定答案．）【点评】本题主要考查复式折线统计图，关键利用折线统计图的特点做题．18．【分析】（1）根据图示可知，从9：00到9：30小刚在公园游玩，所以他玩的时间为：9：30﹣9：00＝30分钟；（2）根据图示可知，小刚从8：00到8：20骑车行驶了3千米的路程，所以其速度为：8：20﹣8：00＝20分钟，3÷20＝（千米/分）；所以小刚到达公园所需时间为：6＝40（分钟），8：00+40分钟＝8：40．【解答】解：（1）9：30﹣9：00＝30分钟答：小刚在公园玩了30分钟．（2）8：20﹣8：00＝20分钟3÷20＝320（千米/分）6÷320＝40（分钟）8：00+40分钟＝8：40答：不休息，他8：40可以到达公园．【点评】本题主要考查单式折线统计图的应用，关键从统计图中找到解决问题的条件，解决问题．19．【分析】（1）根据一天浪费的水，求一个月浪费的水：80×30＝2400（千克），2400千克＝2.4吨，根浪费水量和时间的正比例关系绘制折线统计图即可．（2）根据一户一个月浪费的水量，求100户一年浪费的水量即可．【解答】解：80×30＝2400（千克）2400千克＝2.4吨如图所示：（2）2.4×12×100＝2880（吨）答：100户家庭一年要浪费2880吨．【点评】本题主要考察折线统计图的绘制，关键根据浪费水量和时间的关系作图．五．操作题（共2小题）20．【分析】①蓝线表示王军，横轴表示时间，当王军跑完1500米，下面对应的时间是6，说明王军用6分钟跑完1500米．②当王军跑到终点时，王军跑了6分钟，孙林也跑了6分钟，孙林一共需要8分钟，已经跑了6分钟，还需要8减6分钟，所以孙林再跑2分钟到达终点．③用路程除以各自用的时间就是各自的速度，然后相减即可解答．【解答】解：①王军跑完全程用了6分钟．②8﹣6＝2（分钟）答：王军跑到终点时，孙林再跑2分钟到达终点．③1500÷6﹣1500÷8＝250﹣187.5＝62.5（米）答：王军和孙林的平均速度相差62.5米/分．故答案为：6，2，62.5．【点评】此题考查了看统计图获取数学信息的能力和行程问题中的数量关系．21．【分析】哪个月的结余最多，就是收入和支出相差最大，就是在折线统计图上两条线之间的距离最大；把第二季度3个月的支出相加，然后除以3即可求出第二季度平均每月的支出．【解答】解：由图可知：7月的结余最多；（17+20+30）÷3＝67÷3＝（万元），答：7个月的结余最多．第二季度月平均支出．故答案为：7，．【点评】本题是复式折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题．六．解答题（共2小题）22．【分析】（1）根据折线统计图，找出销量变化大的品牌即可．（2）通过观察统计图，找出统计图中两种品牌相差最大和最小的月份．（3）用六月份乙品牌的销量除以甲品牌的销量即可．（4）根据图示可以看出，甲乙两种品牌的销量相差比较多，所以应选600．【解答】解：（1）根据统计图，可以看出乙品牌服装的销售量变化比较大．（2）从图上可以看出，两种品牌的销量12月份的平均销售量相差最大，8月份的平均销售量相差最小．（3）800÷900＝答：六月份乙品牌的销售量是甲品牌的．（4）由图可知，甲乙两种品牌全年的平均销售量比较大，大约相差600件．故答案为：乙；12；8；600．【点评】本题主要考查复式折线统计图的应用，关键根据图示找出解决问题的条件，解决问题．23．【分析】（1）提供观察折线统计图可知：小胖第六次数学练习得分是95分．（2）通过观察折线统计图发现：小胖第一次、第二次数学练习得分与平均分最接近，相差都是1分．（3）我认为小胖的成绩虽然有些波动，但是整体看他的成绩均高于班级平均成绩，呈上升趋势．【解答】解：（1）答：小胖第六次数学练习得分是95分．（2）答：小胖第一次、第二次数学练习得分与平均分最接近，相差都是1分．（3）我认为小胖的成绩虽然有些波动，但是整体看他的成绩均高于班级平均成绩，呈上升趋势．【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题．苏教版版小学五年级数学下册同步复习与测试讲义第3章\o"第3章 因数与倍数"因数与倍数【知识点归纳总结】1.因数和倍数的意义假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子．需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立．反过来说，我们称n为m的倍数．【经典例题】例1：24是倍数，6是因数．×．（判断对错）

分析：约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．

解：24÷6=4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是错误的；

故答案为：×．

点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．

例2：一个数的因数都比这个数的倍数小．×．（判断对错）

分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最大因数也是5．由此即可解答．

解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；

故答案为：×．

点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．2.找一个数的因数的方法1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．

2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．

3．末尾是偶数的数就是2的倍数．

4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．

5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．

6．最后一位是5或0的数是5的倍数．

7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．

8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．【经典例题】例：从18的约数中选4个数，组成一个比例是1：2=3：6．

分析：先写出18的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．

解：18的约数有：1，2，3，6，9，18；

1：2=3：6；

故答案为：1：2=3：6．

点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，写出其中的一种即可．3.找一个数的倍数的方法找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．

1．末尾是偶数的数就是2的倍数．

2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．

3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．

4．最后一位是5或0的数是5的倍数．

5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．

6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．【经典例题】例1：个位上是3、6、9的数，都是3的倍数．×．（判断对错）

分析：举个反例证明，3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．

解：13，16，29是个位上分别是3，6，9可是它们都不是3的倍数，所以个位上是3、6、9的数，都是3的倍数得说法是错误的；

故答案为：×．

点评：本题主要考查3的倍数的特征．注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．例：一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是120．

分析：既有因数3，又是2和5的倍数，就是这个三位数同时是2、3、5的倍数，根据2、3、5的倍数特征可知：这个三位数个位必需是0，因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1，然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数，因为1+0=1，1再加2、5、8的和是3的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中2是最小的，据此解答．

解：由分析可知；一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是；120；

故答案为；120．

点评：本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1．4.公倍数和最小公倍数公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数．【经典例题】例1：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数．√．（判断对错）

分析：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可．

解：比如4和12，12×4=48，48是12的倍数，48也是4的倍数，即48是4、12的公倍数；

所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的；

故答案为：√．

点评：本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．例2：能同时被2、3、5整除的最大三位数是990．

分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．

解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，

能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，

能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，

要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0．

要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．

故答案为：990．

点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．5.因数、公因数和最大公因数给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．【经典例题】例1：互质的两个数没有公约数．×．（判断对错）

分析：根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，以此解答问题即可．

解：因为，公因数只有1的两个数叫做互质数；

所以，互质的两个数没有公约数这种说法是错误的．

故答案为：×．

点评：此题主要考查互质数的意义以及判断两个数是不是互质数的方法．例2：36和48的最大公约数是12，公约数是1、2、3、4、6、12．√．（判断对错）

分析：利用分解质因数的方法和求一个数的公约数的方法即可解决问题．

解：36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，

48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，

所以36和48的公约数有1、2、3、4、6、12，其中最大公约数为12，

所以原题说法正确，

故答案为：√．

点评：此题是考查求一个数的公约数和最大公约数的方法．6.求几个数的最大公因数的方法方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．

2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．【经典例题】例1：如果A是B的，A和B的最小公倍数是B，它们的最大公因数是A．

分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：A是B的，也就是B是A的5倍，由此可以解决．

解：因为A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数A，最小公倍数是较大的那个数B，

故答案为：B；A．

此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．例2：甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是12，最小公倍数120．

分析：根据甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是2、2、3，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数独有的质因数为2，乙数独有的质因数为5，那么公有质数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．据此进行解答．

解：甲=2×2×2×3；

乙=2×2×3×5；

甲和乙的最大公因数是：2×2×3=12；

甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5=120；

故答案为：12，120．

点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．7.求几个数的最小公倍数的方法方法：（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数．

（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．【经典例题】例1：育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行，这个班至少有学生49人．

分析：要求这个班至少有学生多少人，即求12与16的最小公倍数再加1即可，根据求两个数的最小公倍数的方法：把12和16进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．

解：12=2×2×3，

16=2×2×2×2，

则12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48，

48+1=49（人）；

答：这班至少有学生49人；

故答案为：49．

点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．例2：A和B都是自然数，分解质因数A=2×5×C；B=3×5×C．如果A和B的最小公倍数是60，那么C=2．

分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此可以解决问题．

解：分解质因数A=2×5×C，

B=3×5×C，

所以2×3×5×C=60，则C=2．

故答案为：2．

点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用．【同步测试】单元同步测试题一．选择题（共8小题）1．30的因数共有（）个．A．4个 B．8个 C．2个2．李明有张数相同的5元和1元零用钱若干，李明可能有（）钱．A．48元 B．38元 C．28元 D．8元3．甲数是乙数的倍数，甲乙两数的最大公约数是（）A．甲数 B．乙数 C．14．13×5＝65，13是65的（）A．质数 B．合数 C．质因数5．下面（）有公因数3．A．6和11 B．9和15 C．21和35 D．30和406．a和b是两个连续的非0自然数，它们的最小公倍数是（）A．a B．b C．1 D．ab7．用3、5、7除，余数都是1的数有（）A．有限的个数 B．无数个 C．没有一个8．甲数÷乙数＝15，甲数和15的最大公因数是（）A．1 B．甲数 C．乙数 D．15二．填空题（共7小题）9．一个数的最大因数是15，这个数是，它有个因数，这个数的最小倍数是．10．学校400米环形跑道每隔4米插一面小旗，现在要改成每隔5米插一面小旗，有面小旗不要移动．11．写出36所有的因数：．12．如果a÷b＝26，（a、b非零自然数）a与b的最小公倍数是，最大公因数是．13．如果15÷3＝5，我们就说15是3的，是15的因数．14．用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数．那么，这些数的最大公约数是．15．4的最小倍数是．三．判断题（共5小题）16．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数．（判断对错）17．3是因数，6是倍数．（判断对错）18．同时是2、3、5、6的倍数中，最小的数是60．（判断对错）19．7和13的公因数只有1．．（判断对错）20．所有偶数（0除外）的最大公因数是2．．（判断对错）四．计算题（共1小题）21．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数．11和834和5178和39五．应用题（共4小题）22．把24个球装在几个盒子里，如果每个盒子装的数量一样多，有多少种装法？每种装法各需要多少个盒子？每个盒子里装几个？（选用合适的方法进行解答）23．已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差．24．有一堆苹果，总数不到30个，把这堆苹果平均分给5个人，还多出3个苹果．这堆苹果有几个？（可以从不同的可能性来考虑）25．东木小区开展闲置图书共享活动．参与共享的图书数量在100和200之间，并且比24的倍数多15．参与共享的图书最多有多少本？参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】根据找一个数的因数的方法进行列举即可．【解答】解：30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30一共8个；故选：B．【点评】此题考查了找一个数因数的方法．2．【分析】既然5元和1元的张数相同，那么，他的总钱数应该是6的整数倍，由此得解．【解答】解：A、48元＝6元×8；可以；其他三个选项的38、28、8都不能被6整除．故选：A．【点评】此题考查了找一个数的倍数的方法以及货币、人民币及其常用单位和计算．3．【分析】由题意可知甲数是乙数的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；由此解答问题即可．【解答】解：因为甲数是乙数的倍数，所以甲和乙的最大公约数是乙；故选：B．【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数．4．【分析】根据算式13×5＝65，可知13是65因数，13又是质数，所以13是的质因数．【解答】解：根据分析可知：13×5＝65，13是65的质因数．故选：C．【点评】此题主要考查因数与质因数的意义．5．【分析】根据分解质因数的方法，把每组数分别分解质因数，然后找出每组的公有的质因数即可．【解答】解：A、6＝2×3，11＝1×11，所以6和11没有的公因数是3；B、9＝3×3，15＝3×5，所以9和15有公因数3；C、21＝3×7，35＝5×7，所以21和35没有公因数3；D、30＝2×3×5，40＝2×2×2×5，所以30和40没有公因数3．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解公因数的意义，掌握求两个数的公因数的方法．6．【分析】根据自然数的排列规律，在非0自然数中，相邻的两个自然数相差1，也就是相邻的两个非0自然数都是互质数．根据求两个数的最小公倍数的方法，如果两个数是互质数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数．据此解答即可．【解答】解：因为a和b是两个连续的非0自然数，也就是a和b是互质数，所以a和b的最小公倍数是ab．故选：D．【点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最小公倍数的方法及应用，明确：如果两个数是互质数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数．7．【分析】用3、5、7除，余数都是1的数，是比3、5、7的公倍数多1的数，由于3、5、7的公倍数有无数个，所以用3、5、7除，余数都是1的数有无数个；据此解答．【解答】解：用3、5、7除，余数都是1的数，是比3、5、7的公倍数多1的数，由于3、5、7的公倍数有无数个，所以用3、5、7除，余数都是1的数有无数个；故选：B．【点评】解答此题要明确几个数的公倍数有无数个．8．【分析】因为甲数÷乙数＝15，那么甲数