专题05 函数的概念与性质（4大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版

第第③函数类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．一、单选题1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】A【分析】由已知为偶函数，可得，列方程求解即可.【详解】由，得，因为为偶函数，所以，即，所以，解得.故选：.2．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若，则的图象为：可知在上单调递增；若，则的图象为：可知在上单调递减；综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.故选：C．3．（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（

）（参考数据：）A．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级【答案】B【分析】根据题意，得到，结合对数的运算法则，即可求解.【详解】由题意，某地地震波的最大振幅为，且这次地震的标准地震振幅为，可得.故选：B.4．（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于点对称 D．关于点对称【答案】C【分析】由函数的平移变化即可求得出答案.【详解】函数为奇函数，图象关于对称，将函数向左平移一个单位可得函数，则函数关于对称，所以函数的图象关于对称.故选：C.5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.【详解】由是上的增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B6．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可.【详解】若在上单调递增，则必然在处有定义，所以，即；若，则当时，所以在上有定义，再由知在上单调递增，所以在上单调递增.故选：C.7．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（

）A．函数单调递增 B．函数值域为C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称【答案】C【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.【详解】，函数，，则，又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.故选：C.8．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，则（

）A．有一个极值点B．有两个零点C．点（0，1）是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】C【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A错误；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：C.9．（2024·宁夏银川·三模）已知函数有3个零点，，，有以下四种说法：①②③存在实数a，使得，，成等差数列④存在实数a，使得，，成等比数列则其中正确的说法有（

）种.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由题意设，根据，求导分析的单调性，进而数形结合分析，根据可判断①，根据函数的极大值可判断②，根据三次函数的对称性可判断③，举例可判断④.【详解】由，得，设，则，则的极小值为，极大值为．对①，因为，所以，当且仅当时，，所以，①正确．对②，因为在上单调递减，且，所以，所以未必成立，②错误．对③，设，令有，则有，故图象存在对称中心，所以存在实数，使得，，成等差数列，③正确．对④，因为，所以存在实数，使得，，成等比数列，④正确．故选：C.10．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数的取值范围.【详解】①若，当时，在上单调递减，此时，当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域D满足，则解得；②若，当时，在上单调递增，此时，当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域D满足，不合题意；③当时，，若，有（当且仅当时取等号）符合题意，综上所述：.故选：D.11．（2024·河南·三模）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（

）A．1 B． C．0 D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性可得的图象关于点中心对称且关于直线轴对称，进而得的周期为4，即可求解.【详解】因为为奇函数，所以，所以的图象关于点中心对称，则.因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线轴对称.由，得，所以，则，则的周期为4，，则.故选：D【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）关于轴对称，（2）关于中心对称，（3）的一个周期为，（4）的一个周期为.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.12．（2024·四川·三模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线对称，关于点对称，从而可确定其周期性，再结合单调性可得函数的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A，因为，则函数关于直线对称，由，则函数关于点对称，所以，所以得，则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数，因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图：令，由，所以，且，令，由，由得，所以，根据对称性，在单调递减，而，所以，因为函数的周期为，所以，故A不正确；对于B，由于，，在单调递减，所以，所以，故B不正确；对于C，又，，根据图象在上单调递增，所以，故C不正确；对于C，，且，因为，所以，故，因为在上单调递减，所以，故D正确．故选：D．【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系.13．（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据条件得到的对称中心，再根据对称得到的对称中心.【详解】因为为奇函数，所以，即，故的对称中心为，即，由于函数与的图象关于直线对称，且关于的对称点为，故的对称中心为.故选：D二、多选题14．（2024·全国·模拟预测）已知函数下列结论中正确的是（

）A．若，则是的极值点B．，使得C．若是的极小值点，则在区间上单调递减D．函数的图象是中心对称图形【答案】BD【分析】求出函数的导数，当时，有两解，列表表示出导数值的正负以及函数的单调情况，当时，，即可判断A，B，C；证明等式成立即可判断D.【详解】A：因为，所以，当时，，则在R上单调递增，不是极值点，故A错误；B：由选项A的分析知，函数的值域为，所以，使得，故B正确；C：由选项A的分析知，当时，在上单调单调递增，在上单调递减，所以若为的极小值点时，在上先递增再递减，故C错误；D：，而，则，所以点为的对称中心，即函数的图象是中心对称图形，故D正确.故选：BD．15．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（

）(参考数据:)A．B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的D．若年后，样本中氚元素的含量为，则【答案】CD【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可.【详解】由题意得，故有，左右同时取对数得，故得，故A错误，当时，，故B错误，而当时，，得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确，由题意得，化简得，，将代入其中，可得，故D正确.故选：CD16．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（

）A． B．C．为奇函数 D．在上具有单调性【答案】AC【分析】根据题意，令即可判断A，令，，即可判断B，令结合函数奇偶性的定义即可判断C，令即可判断D【详解】对A：令，则有，即，故A正确；对B：，，则有，即，由，，故，即，故B错误；对C：令，则有，即，即，又函数的定义域为，则函数的定义域为，故函数为奇函数，故C正确；对D：令，则有，即，即有，则当时，有，即，故在上不具有单调性，故D错误.故选：AC17．（2024·江西南昌·三模）已知函数，若的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（

）A．的图象也关于直线对称 B．的图象关于中心对称C． D．【答案】BCD【分析】根据题意，由函数图象的对称性可得，，由此分析可得由此分析选项，即可得答案.【详解】设关于直线对称，所以，，所以或，当时，，的图象关于直线对称，此时，，∴，当时，,∴，∴，又∵是一个定值，而随的不同而不同，∴此等式不成立，即不成立,∴，即，所以的图象关于中心对称，B正确；∴，，即，C正确.与关于对称，∴，即，即，∴，D正确，又，则，即，，而，若A选项成立，则时，，所以但此时，，所以由可得，但这与已知矛盾，所以的图象不可能关于直线对称，A错误.故选：BCD.18．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线对称，关于点对称，从而可确定其周期性，再结合单调性可得函数的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论.【详解】对于函数有，，则函数关于直线对称，由，则函数关于点对称，所以，所以得，则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数，因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图：由对称性可得，所以，故A不正确；由于，，所以，故B正确；又，，所以，故C正确；，且，因为，所以，故，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系.考查学生的基本分析能力与计算能力，属于中等难度的题型.19．（2024·湖北·二模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（

）A．函数的值域为B．函数的图象关于点成中心对称图形C．函数的导函数的图象关于直线对称D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则【答案】BCD【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D.【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误；对于B，令，，即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确；对于C，由选项B知，，即，两边求导得，即，因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确；对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称，由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称，因此，D正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.20．（2024·湖北荆州·三模）已知函数的定义域为，且，，则（

）A． B．关于中心对称C．是周期函数 D．的解析式可能为【答案】ACD【分析】对于A：根据题意赋值即可；对于C：根据题意结合偶函数以及周期性的定义分析判断；对于B：举反例说明即可；对于D：将代入题意关系式检验即可.【详解】由，且函数的定义域为，对于选项A：令，，可得，且，可得，故A正确；对于选项C：令，则，则，即，可知为偶函数，令，则，可知，，可得，则，所以，可知周期为6，故C正确；对于选项B：因为由于为偶函数且周期为6，则，不满足，所以不关于中心对称，故B错误；对于选项D：因为的定义域为，且，即符合题意，所以的解析式可能为，故D正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．21．（2024·江苏宿迁·三模）已知定义在上不为常数的函数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据已知条件，利用赋值法依次验证各个选项.【详解】对于A，令，则，即，又函数不为常数，，即，故A正确；对于B，令，则，令，则，得，令，则，得，故B正确；对于C，令，则，所以，即，故C错误；对于D，令，则，所以，则，又，，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D选项，解题关键是先证明，结合，利用基本不等式证明.22．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（

）A．函数图像关于直线对称B．函数为偶函数C．4是函数的一个周期D．【答案】BCD【分析】通过函数的奇偶性可判断B；通过联立函数与的方程组以及对函数进行赋值可推出函数的周期从而判断C；计算出从而排除A；先通过赋值求出，再通过周期性计算出D。【详解】因为是偶函数，所以，所以函数图象关于直线对