实战演练06 立体几何中的平行问题-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版

第第页实战演练06立体几何中的平行问题①利用中位线证线面平行②利用平行四边形证线面平行③利用线段成比例证线面平行④利用线面平行的性质定理证线面平行⑤利用面面平行证线面平行⑥四点共面问题一、直线与平面平行1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥线线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行面∥面线∥面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥面线∥线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行二、平面与平面平行1．定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行线面面∥面如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行∥3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言面//面线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）面//面线面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线①利用中位线证线面平行解题技法（1）可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一；（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三；（4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四．一、解答题1．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，点E不在平面ABCD上，ABCD是正方形，F为BE的修正处中点．求证：DE∥平面ACF．【答案】证明见解析【分析】根据线面平行的判定定理，只需在平面找到一条直线与DE平行即可.【详解】连接BD交AC于G，连接FG．∵F、G分别为BE、BD的中点，∴，平面ACF，DE面，∴平面ACF2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在三棱柱中，为的中点，设平面与底面的交线为．(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）连接与交于点O，连接，根据三角形中位线的性质可得,再根据线面平行的判定定理即可证明；【详解】（1）证明：如图，连接与交于点O，连接在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以O为的中点，又因为点M为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.3．（2024·河北·二模）如图，在四棱锥中，底面是菱形且，是边长为的等边三角形，，，分别为，，的中点，与交于点．(1)证明：平面；【答案】(1)证明过程见解析【分析】（1）作出，再根据线面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）如图，设与交于点，连接.因为分别为的中点，底面是菱形，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，因为为的中点，所以为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.②利用平行四边形证线面平行解题技法（1）可以拿一把直尺放在位置，如图一；（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接，如图三；（4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四．图一图二图三图四一、解答题1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为BC的中点．(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可；【详解】（1）证明：取的中点O，连接,，∵，，∴且，∵，，∴，且,∴四边形是平行四边形，∴，∵，平面，平面，∴平面.2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，底面是直角梯形，，，.

(1)若为棱的中点，求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；【详解】（1）取的中点，连接、，因为为棱的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，BF⊂平面，所以平面；

3．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为菱形，，，⊥，且平面⊥平面.(1)在DE上确定一点M，使得平面；(2)若，且，求多面体的体积.【答案】(1)点M是ED的中点【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到四边形平行四边形，所以，从而得到线面平行；【详解】（1）当M是ED的中点时，满足平面，理由如下：取AD中点G，过点G作交DE于点M，则，连接，又由题，有，，所以，，即四边形平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.③利用线段成比例证线面平行一、解答题1．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为与的交点，为上一点，且．(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据，从而得到线线平行，从而可证线面平行；【详解】（1）由及，可知，又，所以，所以在中有，又平面，而平面，所以平面；2．（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图1，在平面四边形中，，，.是线段上靠近端的三等分点，是线段的中点，.将沿折成四棱锥，连接，，，如图2.(1)在图2中，证明：平面.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由得到，从而，结合得到，所以，由线面平行的判定得到平面；【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，，，又，，又是线段上靠近端的三等分点，，，，平面，平面，平面.3．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：(1)若为的中点，求证：平面BMD；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明；【详解】（1）如图，连接交于点，连接，，，则为的中点，当为的中点时，，又平面BMD，平面BMD，所以平面BMD；④利用线面平行的性质定理证线面平行解题技法如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行一、解答题1．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点.(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可；【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以，又平面，平面，则平面，又平面，平面平面，所以.2．（24-25高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）首先证得线面平行，然后利用线面平行的性质定理即可证得线线平行；【详解】（1）证明：取的中点，连接，分别为的中点，，为的中点，且为矩形，，，四边形为平行四边形，，平面平面，平面，又平面，平面平面，.3．（2024·新疆·二模）在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与，不重合，，是线段的两个三等分点，BM=MN=ND，，．(1)若平面COM和平面CAN的交线为，证明：l//平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）推导出OM∥AN，OM∥平面CAN，，由线面平行的性质定理可得l∥OM，由此能证明平面．【详解】（1）证明：由已知，易得是的中点，是的中点，∴OM∥AN，又∵AN⊂平面CAN，OM⊂平面CAN，∴OM∥平面CAN又∵OM⊂平面COM，平面COM∩平面CAN=l，由线面平行的性质定理可得，l∥OM又∵OM⊂平面，l⊂平面，∴l∥平面⑤利用面面平行证线面平行解题技法已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行一、解答题1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见详解【分析】（1）设，连接，根据题意可得∥，∥，可证平面∥平面，再利用面面平行的性质分析证明；【详解】（1）设，连接，因为为正方形，则为的中点，又因为是的中点，则∥，且平面，平面，所以∥平面，由题意可知：四边形是平行四边形，∥，且平面，平面，所以∥平面，且，平面，可得平面∥平面，由平面，可得∥平面.2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．(1)证明：∥平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意可证∥平面，∥平面，可得平面∥平面，结合面面平行的性质分析证明；【详解】（1）如图，取的中点，连接．因为都是所在棱的中点，则∥，∥，所以∥，且平面，平面，所以∥平面．因为分别是和的中点，则∥，，可得∥，，可知四边形是平行四边形，则，且平面，平面，所以∥平面，且，平面，所以平面∥平面，由平面可得∥平面．3．（2024·福建福州·模拟预测）如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是上的一点，，分别为线段，的中点．(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证法一：在正方形中，连接并延长，交的延长线于点，连接，通过证明可得，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：取的中点，连接，，通过证明四边形是平行四边形可得，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法三：取的中点，连接，，利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而即可得证平面.【详解】（1）证法一：在正方形中，连接并延长，交的延长线于点，连接．因为，分别为线段，中点，所以，所以，所以，所以．又因为平面，平面，所以平面．证法二：取的中点，连接，，因为，分别为线段，的中点，所以，，又因为，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．证法三：取的中点，连接，．因为，分别为线段，的中点，所以，，又因为平面，BP⊂平面，所以平面．因为平面，平面，所以平面．又因为，平面，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面．4．（24-25高三上·广东·开学考试）如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点．

(1)在线段上是否存在一点，使平面？说明理由；【答案】(1)存在，理由见解析【分析】（1）过作，过作一条平行的直线交于点，此时，利用线面平行的判定定理得平面AEFD、平面，再由面面平行的判定定理、性质定理可得答案；【详解】（1）线段上存在一点，使平面．理由如下：过作，垂足为为中点，又，所以，过作一条平行的直线交于点，此时．易知平面平面，所以平面AEFD．

同理平面，又，平面，所以平面平面，平面，所以平面，故线段上存在一点，使平面，且；5．（2024·陕西商洛·模拟预测）在四棱锥中，平面，点在线段上，且.

(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）在线段上取一点，使，连接，可证四边形为平行四边形，即可得，再利用线面平行的判定定理可证平面，根据成比例线段证得，再利用线面平行的判定定理可证平面，再结合面面平行的判定和性质即可得证；【详解】（1）证明：在线段上取一点，使，连接.

在四边形中，，所以，即.又，所以四边形为平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.在三角形中，，所以.又平面平面，所以平面.又平面，所以平面平面.又平面，所以平面.⑥四点共面问题一、解答题1．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，CG=3．(1)证明：点在平面中；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取中点，中点，连接，，，证明出，得出四点共面，即可证明点在平面中；【详解】（1）取中点，中点，连接，，，则，，由正四棱柱得，，则，又点H,Q为中点，所以，即四边形为平行四边形，同理可得，四边形为平行四边形，所以且，则，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以四点共面，即点在平面中．2．（2024·江西南昌·三模）如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接.(1)求证：，，，四点共面：【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，结合中位线定理得到，最后证明四点共面即可.【详解】（1）取，的中点分别为，，连接，，取，的中点分别为，，连接，，，由题意知，都是等边三角形，所以，，因为平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，因为，的中点分别为，，所以所以，所以，所以，又因为，所以，因为，的中点分别为，，所以，所以，所以，，，四点共面；3．（2024·全国·模拟预测）如图，