第1章 教材拓展 异面直线的距离(教参独具)2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教学设计（人教A版2019）

第1章教材拓展异面直线的距离(教参独具)2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教学设计（人教A版2019）学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学选择性必修第一册《异面直线的距离》

2.教学年级和班级：2024-2025学年高中二年级

3.授课时间：[具体上课时间]

4.教学时数：1课时核心素养目标分析本节课旨在培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学建模能力。通过探究异面直线的距离，学生将能够运用空间几何知识解决实际问题，发展几何直观和数学抽象思维，同时提升运用数学语言表达几何关系的能力。在解决问题的过程中，学生将学会如何分析问题、设计方案、实施探究和反思总结，从而培养其创新意识和科学精神。教学难点与重点1.教学重点

本节课的教学重点是异面直线的距离的定义、性质及其计算方法。具体包括：

-异面直线的概念：学生需要理解异面直线不在同一平面内，且无公共点的两条直线。

举例：如教室内的两根不同墙面的垂直棱，它们就是异面直线。

-异面直线距离的计算：掌握通过作公垂线段来求解异面直线间距离的方法。

举例：给定两条异面直线l1和l2，通过作l1上的点A到l2的垂线段AB，线段AB的长度即为异面直线l1和l2的距离。

2.教学难点

本节课的教学难点主要在于学生对空间几何直观感知的建立和复杂计算步骤的理解。具体包括：

-空间几何直观感知：学生可能难以在头脑中构建异面直线的空间关系。

难点解释：例如，学生可能难以想象两条不在同一平面内的直线是如何存在的，以及它们之间的距离是如何确定的。

-计算方法的掌握：学生在使用向量或坐标法求解异面直线距离时，可能会遇到计算错误。

难点解释：如使用坐标法时，学生需要正确地建立空间直角坐标系，并且能够准确地计算出坐标值，然后运用距离公式进行计算。在这一过程中，任何一步的失误都可能导致最终结果错误。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过详细讲解异面直线距离的定义和计算方法，帮助学生建立空间几何的概念。

2.案例分析法：通过分析具体例题，引导学生理解异面直线距离的计算过程和应用。

3.小组讨论法：组织学生进行小组讨论，共同解决课堂练习题，促进学生间的互动和思考。

教学手段：

1.多媒体演示：使用PPT展示异面直线的三维模型和计算过程，增强学生的空间想象力。

2.教学软件辅助：利用教学软件进行实时演示和解题，提高教学的互动性和趣味性。

3.网络资源：引导学生利用网络资源进行自主学习，拓宽知识获取渠道。教学过程设计1.导入环节（5分钟）

-创设情境：利用教室内的实物，如两根不同墙面的垂直棱，引导学生观察并思考它们之间的关系。

-提出问题：询问学生这两根棱是否平行、是否相交，从而引出异面直线的概念。

2.讲授新课（20分钟）

-讲解异面直线的定义和性质，通过板书和PPT展示，让学生直观地理解异面直线不在同一平面内，且无公共点的特点。

-用时5分钟

-通过实例讲解异面直线距离的计算方法，包括作公垂线段、向量法和坐标法。

-用时10分钟

-分析例题，展示解题步骤，确保学生理解和掌握新知识。

-用时5分钟

3.巩固练习（10分钟）

-分组练习：将学生分成小组，每组解决一个异面直线距离的计算问题，鼓励小组成员之间的讨论和合作。

-用时5分钟

-全班分享：邀请几组学生分享他们的解题过程和答案，教师进行点评和总结。

-用时5分钟

4.师生互动环节（10分钟）

-课堂提问：教师提出与异面直线距离相关的问题，学生回答，教师给予反馈。

-用时5分钟

-小组讨论：针对课堂提问中的问题，学生进行小组讨论，形成共识后向全班展示。

-用时5分钟

5.拓展提升（5分钟）

-提供一些更具挑战性的问题，让学生思考异面直线距离在现实生活中的应用，如建筑设计、工程测量等。

-鼓励学生提出问题，教师进行解答，激发学生的探究欲望。

6.总结与布置作业（5分钟）

-总结本节课的主要内容，强调异面直线距离的计算方法和应用。

-布置作业：让学生回家后完成一些异面直线距离的计算题目，巩固所学知识。

整个教学过程设计注重学生的参与和思考，通过师生互动和小组讨论，激发学生的学习兴趣，同时紧扣教学重难点，确保学生对新知识的理解和掌握。通过拓展提升环节，培养学生的核心素养和创新能力。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《空间几何学导论》：该书详细介绍了空间几何的基本概念和性质，包括直线、平面和空间几何图形的关系，适合对空间几何有更深入兴趣的学生阅读。

-《高等几何》：针对有一定数学基础的学生，这本书涵盖了空间几何的高级内容，包括射影几何和微分几何等，有助于学生从更高角度理解空间几何。

-《工程力学中的空间几何应用》：本书通过实际工程案例，展示了空间几何在工程力学中的应用，如力的分解与合成、结构稳定性分析等，有助于学生理解空间几何在实际工程中的重要性。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-探索空间几何的其他应用领域：学生在课后可以查阅资料，了解空间几何在物理学、天文学、计算机图形学等领域的应用，拓宽知识视野。

-制作空间几何模型：学生可以尝试使用纸张、塑料板等材料，制作异面直线和其他空间几何图形的模型，加深对空间几何概念的理解。

-进行数学实验：学生可以使用计算机软件，如几何画板或CAD软件，进行空间几何的实验，如模拟异面直线距离的计算过程，观察不同几何图形的性质。

-小组研究项目：学生可以组成小组，选择一个与空间几何相关的课题进行研究，如“空间几何在建筑设计的应用”，通过收集资料、讨论和分析，完成一个小型研究报告。

-参加数学竞赛：鼓励学生参加各类数学竞赛，如数学建模竞赛，这些竞赛往往需要运用空间几何知识解决问题，有助于提高学生的数学应用能力。板书设计①异面直线距离的定义

-重点词：异面直线、公垂线段、距离

-重点句：异面直线的距离是指两条异面直线之间最短的线段，即公垂线段的长度。

②异面直线距离的计算方法

-重点词：向量法、坐标法、空间直角坐标系

-重点句：向量法通过计算向量的模长来求解距离；坐标法通过建立空间直角坐标系，利用坐标值计算距离。

③异面直线距离的性质与应用

-重点词：性质、应用、几何图形

-重点句：异面直线距离的性质包括唯一性和不变性；在几何图形中，异面直线距离可用于求解体积、表面积等。典型例题讲解例题1：

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1的长度为2，棱AB的长度为3，棱AD的长度为4。求异面直线AB与A1C1的距离。

解答：首先，连接AC和A1C1，由于长方体的性质，AC与A1C1平行。然后，作线段B1D1，交A1C1于点E。根据长方体的性质，B1D1垂直于平面A1C1CD1，因此B1D1垂直于A1C1。接下来，连接BE，由于BE在平面ABCD上，而A1C1不在该平面上，所以异面直线AB与A1C1的距离就是BE的长度。利用勾股定理计算BE的长度，得到BE=√(AB^2+AD^2)=√(3^2+4^2)=5。

例题2：

在空间直角坐标系中，点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)。求异面直线AB与x轴的距离。

解答：由于x轴的方向向量是(1,0,0)，我们可以找到点A到x轴的垂线，该垂线与x轴的交点为C。点C的坐标为(1,0,0)，因为它是x轴上的点。异面直线AB与x轴的距离就是点A到点C的距离，即AC=√[(1-1)^2+(2-0)^2+(3-0)^2]=√(0+4+9)=√13。

例题3：

在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC边上的中点。将三角形ABC沿BC边翻折，使得点A落在平面ABC外的一点A'。求异面直线AA'与BC的距离。

解答：由于D是BC的中点，因此AD垂直于BC，且AD=√(AB^2-BD^2)=√(5^2-3^2)=√(25-9)=√16=4。当三角形ABC沿BC边翻折时，A点到A'点的距离AA'等于AD的长度，即AA'=4。因此，异面直线AA'与BC的距离就是AA'的长度，即4。

例题4：

已知空间四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，且AB与CD的距离为2。求异面直线AB与CD的距离。

解答：首先，连接AD，并假设AD与BC的交点为E。由于AB与CD的距离为2，我们可以作线段EF，垂直于CD，且EF的长度为2。接下来，连接AF，由于EF垂直于CD，AF也垂直于CD。因此，异面直线AB与CD的距离就是AF的长度。利用勾股定理计算AF的长度，得到AF=√(AB^2-BF^2)=√(3^2-2^2)=√(9-4)=√5。

例题5：

在空间直角坐标系中，点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，点C的坐标为(7,8,9)。求异面直线AB与平面BCO的距离，其中O是坐标原点。

解答：首先，找到平面BCO的法向量n。由于点B和点C都在平面上，我们可以用向量BC和向量BO的叉积来找到法向量n。向量BC=(7-4,8-5,9-6)=(3,3,3)，向量BO=(4-0,5-0,6-0)=(4,5,6)。计算叉积n=BC×BO=|ijk|=(3*6-3*5,3*4-3*7,3*5-3*4)=(18-15,12-21,15-12)=(3,-9,3)。然后，找到点A到平面BCO的距离d，使用公式d=|(A-O)·n|/|n|，其中(A-O)是向量AO。向量AO=(1-0,2-0,3-0)=(1,2,3)。计算点A到平面BCO的距离，得到d=|(1,2,3)·(3,-9,3)|/√(3^2+(-9)^2+3^2)=|3+(-18)+9|/√(9+81+9)=|-6|/√99=6/√99=6/3√11=2/√11。课堂1.课堂评价

-提问：在课堂教学中，教师通过提问的方式检验学生对异面直线距离概念的理解。例如，教师可以询问学生异面直线距离的定义、计算方法以及在哪些情况下会用到异面直线距离。通过学生的回答，教师可以判断学生对知识的掌握程度。

-观察：教师在授课过程中，应密切观察学生的反应和参与程度。例如，在讲解异面直线距离的计算方法时，教师应观察学生是否能够跟随讲解思路，是否在积极参与课堂讨论。

-测试：在课堂的最后，教师可以通过小测验或口头测试的方式，检查学生对本节课知识点的掌握情况。测试可以包括计算异面直线距离的题目，以及分析异面直线距离性质的问题。

2.作业评价

-批改：教师应认真批改学生的作业，注意学生在解题过程中是否理解了异面直线距离的概念，是否能够正确应用计算方法。同时，教师应关注学生是否能够清晰地表达解题思路。

-点评：在作业批改后，教师应及时给予学生反馈。对于普遍存在的问题，教师可以在课堂上集中讲解；对于个别学生的问题，教师可以单独进行辅导。教师的点评应具体、明确，旨在帮助学生理解错误原因，并指导学生如何改进。

-鼓励：对于在作业中表现出色的学生，教师应给予表扬和鼓励，以激发学生的学习积极性。同时，教师也应鼓励那些在作业中遇到困难的学生，鼓励他们继续努力，克服学习中的难题。

教学评价的目的是为了更好地了解学生的学习情况，及时调整教学策略，促进学生的全面发展。通过课堂评价和作业评价，教师可以全面了解学生对异面直线距离知识点的掌握情况，为下一步的教学提供依据。反思改进措施（一）教学特色创新

1.引入实际问题：在教学过程中，结合实际案例，如建筑设计、工程测量等，让学生了解异面直线距离在实际生活中的应用，增强学生的实践能力。

2.多媒体辅助教学：充分利用多媒体设备，如PPT、几何画板等，展示空间几何图形，帮助学生建立空间想象能力。

（二）存在主要问题

1.学生的空间想象能力不足：部分学生在理解异面直线距离的概念时，存在空间想象能力不足的问题，难以在头脑中构建空间几何图形。

2.计算能力有待提高：学生在使用向量法或坐标法求解异面直线距离时，容易出现计算错误，需要加强