2024-2025学年高中数学模块综合测评A课后巩固提升含解析北师大版选修2-2

PAGE1-模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设z1=x2-i,z2=-1+xi,x∈R,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为()A.-1 B.0 C.1 D.1或-1解析由z1=x2-i,z2=-1+xi,则z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i.若z1+z2为纯虚数,则解得x=-1.故选A.答案A2.设函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=x2+2x·f'(1),则f'(0)等于()A.0 B.-4 C.-2 D.2解析因为f(x)=x2+2x·f'(1),所以f'(x)=2x+2f'(1),f'(0)=2f'(1).因为f'(1)=2+2f'(1),所以f'(1)=-2,故f'(0)=-4.答案B3.复数的共轭复数是()A. B.- C.i D.-i解析因为复数=i,所以复数的共轭复数是-i.答案D4.已知a,b是空间中两不同直线,α,β是空间中两不同平面,下列命题正确的是()A.若直线a∥b,b⫋α,则a∥αB.若平面α⊥β,a⊥α,则a∥βC.若平面α∥β,a⫋α,b⫋β,则a∥bD.若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β解析若直线a∥b,b⫋α,则a∥α或a⫋α,故A不对;若平面α⊥β,a⊥α,则a∥β或a⫋β,故B不对;若平面α∥β,a⫋α,b⫋β,则a∥b或a,b是异面直线,故C不对;依据垂直于同一条直线的两个平面平行,可得D正确.答案D5.视察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,依据上述规律,13+23+33+43+53+63=()A.192 B.202 C.212 D.222解析归纳得13+23+33+43+53+63=(1+2+…+6)2=212.答案C6.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图,则函数y=ax2+bx+的递增区间是()A.(-∞,-2] B.C.[-2,3] D.解析由题图可知d=0.不妨取a=1,∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c.由图可知f'(-2)=0,f'(3)=0,∴12-4b+c=0,27+6b+c=0.∴b=-1.5,c=-18.∴y=x2-x-6,y'=2x-.当x>时,y'>0,∴y=x2-x-6的递增区间为.故选D.答案D7.定积分dx的值为()A.+ln2 B. C.3+ln2 D.解析dx=dx=dx+xdx=lnxx2=ln2-ln1+×22-×12=+ln2.答案A8.函数y=lnx(x>0)的图像与直线y=x+a相切,则实数a等于()A.ln2-1 B.ln2+1C.ln2 D.2ln2解析y'(x)=,由得切点为(2,ln2),代入y=x+a,得a=ln2-1.故选A.答案A9.已知过原点的直线l与曲线y=ex相切,则由曲线y=ex,y轴和直线l所围成的平面图形的面积是()A.-1 B.e-1C. D.e+1解析由已知y=ex的导函数为y'=ex,设过原点的直线l与曲线y=ex相切于点(a,ea),则y'|x=a=ea,直线l的方程为y=ea(x-a)+ea,即y=eax-aea+ea.又直线l过原点,则-aea+ea=0,解得a=1,所以直线l的方程为y=ex.由曲线y=ex,y轴和直线l所围成的平面图形的面积为(ex-ex)dx=-1=e-1.故选A.答案A10.设函数f(x)=x3+x2+tanθ,其中θ∈,则导数f'(1)的取值范围是()A.[-2,2] B.[] C.[,2] D.[,2]解析∵f'(x)=sinθx2+cosθx,∴f'(1)=sinθ+cosθ=2sin.∵θ∈,∴θ+.∴sin.∴2sin∈[,2].答案D11.设m=exdx,n=dx,则m与n的大小关系为()A.m<n B.m≤n C.m>n D.m≥n解析m=exdx=ex=e-1>n=dx=lnx=1.答案C12.函数f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)解析视察图像可知,该函数在(2,3)上为连续可导的增函数,且增长的越来越慢,所以各点处的导数在(2,3)上到处为正,且导数的值渐渐减小,所以f'(2)>f'(3),而f(3)-f(2)=,表示连接点(2,f(2))与点(3,f(3))割线的斜率,依据导数的几何意义,肯定可以在(2,3)之间找到一点,该点处的切线与割线平行,则割线的斜率就是该点处的切线的斜率,即该点处的导数,则必有0<f'(3)<<f'(2).故选B.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设f(z)=,且z1=1+5i,z2=-3+2i,则f()的值是.

解析∵z1-z2=(1+5i)-(-3+2i)=4+3i,∴=4-3i.∵f(z)=,∴f(4-3i)=4+3i.答案4+3i14.已知函数f(x)=2x,若x1,x2是R上的随意两个数,且x1≠x2,则,请对比函数f(x)=2x得到函数g(x)=lgx一个类似的结论:

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解析由题意知函数f(x)=2x是一个凹函数,函数g(x)=lgx是一个凸函数,所以x1,x2是R上的随意两个数,且x1≠x2,则<lg.答案x1,x2是R上的随意两个数,且x1≠x2,则<lg15.曲线y=x2-1与直线y=2x+2围成的封闭图形的面积为.

解析由可得可知所求的封闭图形的面积S=[2x+2-(x2-1)]dx=x2+3x-x3=(9+9-9)-1-3+=.答案16.已知点P(-1,-1)在曲线y=上,则该曲线在点P处的切线方程为.

解析由于点P(-1,-1)在曲线y=上,则-1=,得a=2,即有y=,导数y'=,则曲线在点P处的切线斜率为k==2.故曲线在点P处的切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.答案y=2x+1三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设f(x)=ax3+bx2+cx的微小值为-8,其导函数y=f'(x)的图像经过点(-2,0),,如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.解(1)∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且y=f'(x)的图像经过点(-2,0),,∴∴f(x)=ax3+2ax2-4ax,由图像可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上是削减的,在上是增加的,在上是削减的,由f(x)微小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1.∴f(x)=-x3-2x2+4x.(2)要使对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,只需f(x)min≥m2-14m即可.由(1)可知函数y=f(x)在[-3,-2)上是削减的,在上是增加的,在上是削减的,且f(-2)=-8,f(3)=-33-2×32+4×3=-33<-8,∴f(x)min=f(3)=-33.∴-33≥m2-14m⇒3≤m≤11.故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.18.(本小题满分12分)(2024江苏,15)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF∥平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.证明(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB.又AB⊥AC,B1C⊂平面AB1C,AC⊂平面AB1C,B1C∩AC=C,所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.19.(本小题满分12分)如图,某小区有一矩形地块OABC,其中OC=2,OA=3.已知OEF是一个游泳池,安排在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l(宽度不计),交线段OC于点D,交线段OA于点N.现以点O为坐标原点,以线段OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,若池边EF满意函数y=-x2+2(0≤x≤)的图像,点M到y轴距离记为t.(1)当t=时,求直路l所在的直线方程;(2)当t为何值时,地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?解(1)当t=时,点M的横坐标x=,将其代入函数y=-x2+2,得M,∵y'=-2x,∴k=-.∴直线方程为y=-x+.(2)由(1)知,直线的方程为y=-2tx+t2+2,令y=0,得x=,令x=0,得y=t2+2,∴≤2,t2+2≤3.∴2-≤t≤1.∴S△OND=(t2+2)=.令g(t)=,则g'(t)=,当t=时,g'(t)=0,当t∈时,g'(t)<0,当t∈时,g'(t)>0,g(t)≥g,故所求面积的最大值为6-.20.(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且其中随意两边长均不相等,若成等差数列.(1)比较的大小,并证明你的结论;(2)求证:角B不行能是钝角.(1)解.证明如下:要证,只需证.∵a,b,c>0,∴只需证b2<ac.∵成等差数列,∴≥2,∴b2≤ac.又a,b,c均不相等,∴b2<ac.故所得大小关系正确.(2)证明方法一在△ABC中,由余弦定理得,cosB=>0,∴角B不行能是钝角.方法二假设角B是钝角,则角B的对边为最大边,即b>a,b>c,∴>0,>0,则,这与冲突,故假设不成立.∴角B不行能是钝角.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=alnx+x,g(x)=xex-a.(1)若x=1是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)若a=1,证明f(x)≤g(x).解(1)由已知可得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=+1.因为x=1是f(x)的极值点,所以f'(1)=a+1=0,解得a=-1,此时f'(x)=-+1=.故当0<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.所以f(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1).(2)若a=1,则f(x)=lnx+x,g(x)=xex-1.设h(x)=f(x)-g(x)=lnx+x-xex+1,x∈(0,+∞),则h'(x)=+1-(x+1)ex=(x+1).令t(x)=-ex,x∈(0,+∞),则t'(x)=--ex<0对随意x∈(0,+∞)恒成立,所以t(x)=-ex在(0,+∞)上是削减的.又t=2->0,t(1)=1-e<0,所以∃x0∈,使得t(x0)==0,即,则ln=ln,即-lnx0=x0.因此,当0<x<x0时,t(x)>0,即h'(x)>0,则h(x)是增加的;当x>x0时,t(x)<0,即h'(x)<0,则h(x)是削减的.故h(x)≤h(x0)=lnx0+x0-x0+1=0-1+1=0,即f(x)≤g(x).22.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn满意:Sn=-1,且an>0,n∈N+.(1)求a1,a2,a3