江西省南昌市新建区第一中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题文含解析

PAGE16-江西省南昌市新建区第一中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题（共12小题；每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x，使C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数，使【答案】B【解析】【分析】先确定命题中是否含有特称量词，然后利用推断特称命题的真假．【详解】对于A，锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；

对于B，为特称命题，当时，成立，所以B正确；

对于C，因为，所以C为假命题；

对于D，对于任何一个负数，都有，所以D错误．

故选B．【点睛】本题以命题真假推断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题的定义，难度不大，属于基础题．2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为()A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4【答案】A【解析】由题意可知是实数,是纯虚数,所以，解得，故选A．3.若命题为假，且为假，则（）A.为假 B.为假 C.为真 D.不能推断【答案】B【解析】【分析】依据为假可推断为真，再依据复合命题为假，即可得命题为假，推断各选项即可.【详解】命题为假，则命题为真，命题为假，与中至少有一个为假，由为真，则为假，对于A，此时，为真，所以错误.因而B选项正确，故选：B【点睛】本题考查了命题真假的推断，复合命题真假性质应用，属于基础题.4.若曲线表示椭圆，则的取值范围是()A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】依据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.【详解】曲线表示椭圆，，解得，且，的取值范围是或，故选D．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础学问驾驭的娴熟程度，属于简洁题.5.经过三点的圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入后求得圆的方程，再化为圆的标准方程即可.【详解】因为圆经过，设圆的方程为，代入三个坐标可得，解得所以圆的方程为，化为圆的标准方程可得，故选：D.【点睛】本题考查了经过三个点求圆的一般方程，圆的一般方程与标准方程的转化，属于基础题.6.在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果.【详解】由正弦定理得（其中为外接圆的半径），则，，，因此是的充分必要必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题.推断充分条件与必要条件应留意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后干脆依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难推断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为推断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e为()A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题设条件知：2×2b=2a+2c，∴2b=a+c，∴c2=+a2，整理，得3c2-5a2-2ac=0，∴3e2-2e-5=0．解得e=或e=-1（舍）．故选D．考点：本题主要考查双曲线的几何性质；等差数列的性质．点评：留意双曲线和椭圆的区分与联系．8.函数的一个单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题首先可通过函数的解析式得出函数的导函数，然后令解出函数的增区间，最终将四个选项与函数的增区间进行对比即可得出结果．【详解】因为函数，所以，当，，，为增函数所以当时，函数单调递增，故选A．【点睛】本题考查了三角函数的相关性质以及导函数的应用，考查了如何利用导函数求函数的单调区间，考查推理实力，是简洁题．9.函数在区间上的最小值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知，令得（舍去），当时，，当时，，因此在上函数只有一个微小值点，也是最小值点，所以．故选A．考点：导数与函数的最值．【名师点睛】(1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在[a,b]上必有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不肯定有最大值与最小值.(2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求f(x)在(a,b)内的极值;②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.10.函数在的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以解除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选：D.11.已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由已知，取顶点，渐近线，则顶点到渐近线的距离为，解得.12.海轮每小时运用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为海里/小时，当速度为海里/小时时，它的燃料费是每小时元，其余费用(无论速度如何)都是每小时元.假如甲乙两地相距海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为（）A.海里/小时 B.海里/小时C.海里/小时 D.海里/小时【答案】C【解析】【分析】依据燃料费用与速度关系，设出解析式，再代入速度为10海里/小时的费用25元，即可求得燃料费用与速度关系的解析式.依据速度与甲乙两地的路程，表示出航行所需时间，即可表示出总的费用.利用导数，求得极值点，结合导数符号推断单调性，即可求得微小值点，即为航速值.【详解】因为海轮每小时运用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，设船速为，燃料费用为元，比例系数为，则满意，当速度为海里/小时时，它的燃料费是每小时元，代入上式可得，解得其余费用(无论速度如何)都是每小时元，假如甲乙两地相距海里，则所需时间为小时.则总费用为所以，令，解得，当时，，所以在内单调递减，当时，，所以在内单调递增，所以当时，海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，故选：C【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，依据题意得函数关系式，由导数的单调性和极值点，属于中档题.二、填空题（共4小题；每小题5分，共20分）13.实数满意，则的值是_______.【答案】1【解析】【分析】将式子绽开化简，结合复数运算及复数相等求得的值，即可求得的值.【详解】实数满意，化简可得，所以，解得，所以，故答案为：【点睛】本题考查了复数相等的意义和简洁应用，属于基础题.14.设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a的值是_____．【答案】1【解析】【分析】切线的斜率就是函数在处的导数，据此可求．【详解】，当，又切线的斜率为，故，填．【点睛】曲线在点处的切线方程是：，另外留意曲线在某点处的切线与过某点处的切线的区分．15.动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为_________.【答案】【解析】【分析】将直线方程向左平移1个单位，可知动点到点的距离与它到直线的距离相等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程.【详解】将化为，动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点到点的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线，该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右，设，所以，解得，所以抛物线方程为，故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线的定义及简洁应用，抛物线标准方程的求法，属于基础题.16.已知函数，现给出下列结论：①有微小值，但无最小值②有极大值，但无最大值③若方程恰有一个实数根，则④若方程恰有三个不同实数根，则其中全部正确结论的序号为_________【答案】②④【解析】所以当时，；当时，；当时，；因此有微小值，也有最小值，有极大值，但无最大值；若方程恰有一个实数根，则或;若方程恰有三个不同实数根，则,即正确结论的序号为②④点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题（共6小题；共65分）17.求下列函数的导数（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将函数式绽开，由幂函数求导公式即可求解.（2）依据导数除法运算法则，结合指数与三角函数求导公式即可求解.详解】（1）函数，绽开化简可得，由幂函数求导公式可得.（2）由导数除法运算法则，结合指数函数与三角函数求导公式可得.【点睛】本题考查了常见函数的求导公式简洁应用，导数的除法运算，属于基础题.18.设命题:，命题:关于的方程有实根.（1）若为真命题，求的取值范围.（2）若“”为假命题，且“”为真命题，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据二次函数的性质及二次根式意义，可求得当为真命题时的取值范围.（2）若“”为假命题，且“”为真命题，则命题与命题一真一假.分类探讨即可求得的取值范围.【详解】（1）命题:，则，由二次函数性质可得，而，当为真命题，的取值范围为.（2）命题:关于的方程有实根，则，解得，“”假命题，且“”为真命题，则命题与命题一真一假，当命题为真，命题为假时，满意，此时无解；当命题为真，命题为假时，满意，解得或综上所述，的取值范围为.【点睛】本题考查了由命题真假求参数的取值范围，复合命题真假推断及分类探讨思想的应用，属于基础题.19.在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.于是，..由得，.所以的斜率为或.20.设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数极值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）微小值【解析】【分析】（Ⅰ）因，故由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即，从而，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，解得（因不在定义域内，舍去）当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数，故在处取得微小值本小题主要考查利用导数探讨曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础学问，考查运算求解实力【详解】21.如图，若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；（2）若是双曲线左支上的点，且，试求的面积.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设点到另一个焦点的距离为，由双曲线定义即可求得的值.（2）由双曲线定义及，可证明，即为直角三角形，即可求得的面积.【详解】（1）是双曲线的两个焦点，则设点到另一个焦点的距离为，由抛物线定义可知，解得或，即点到另一个焦点的距离为或.（2）是双曲线左支上的点，，则，代入，可得，即，所以为直角三角形，所以.【点睛】本题考查了双曲线定义及性质的的简洁应用，交点三角形面积求法，属于基础题.22.已知：函数，