2024-2025学年新教材高中数学模块素养检测含解析新人教B版必修第四册

PAGE模块素养检测(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+QUOTE为纯虚数”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0,b=0或a=0,b=0,a+QUOTE=a-bi不肯定为纯虚数;若a+QUOTE=a-bi为纯虚数,则有a=0且b≠0,这时有ab=0.2.△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为 ()A.4QUOTE B.5 C.5QUOTE D.6QUOTE【解析】选C.因为S△ABC=QUOTEacsinB=2,所以c=4QUOTE.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=25,所以b=5.由正弦定理得2R=QUOTE=5QUOTE(R为△ABC外接圆的半径).3.(2024·新高考全国Ⅰ卷)QUOTE= ()A.1 B.-1 C.i D.-i【解析】选D.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-i.4.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若a=1,sinB=QUOTE,C=QUOTE,则b的值为 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE或QUOTE D.±1【解析】选C.在△ABC中,sinB=QUOTE,0<B<π,所以B=QUOTE或QUOTE,当B=QUOTE时,△ABC为直角三角形,所以b=a·sinB=QUOTE;当B=QUOTE时,A=C=QUOTE,a=c=1.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosQUOTE=3,所以b=QUOTE.5.将正方形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,M为CD的中点,则∠AMD的大小是 ()A.45° B.30°C.60° D.90°【解析】选D.如图,设正方形边长为a,作AO⊥BD,则AM=QUOTE=QUOTE=QUOTEa,又AD=a,DM=QUOTE,所以AD2=DM2+AM2,所以∠AMD=90°.6.如图,在△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=120°,若把△ABC绕直线AB旋转一周,则所形成的几何体的体积是 ()A.11π B.12π C.13π D.14π【解析】选B.△ABC绕直线AB旋转一周,所形成的几何体如图所示.已知BC=4,∠ABC=120°,所以CO=2QUOTE,所以几何体的体积V=QUOTE·π·CO2·AB=12π.【补偿训练】在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,则点P到对角线BD的距离为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.如图,过点A作AE⊥BD于点E,连接PE.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为AE∩PA=A,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥PE.因为AE=QUOTE=QUOTE,PA=1,所以PE=QUOTE=QUOTE.7.在△ABC中,三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若(b-c)sinB=2csinC且a=QUOTE,cosA=QUOTE,则△ABC的面积等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.3QUOTE D.3【解析】选A.由正弦定理,得(b-c)·b=2c2,得b2-bc-2c2=0,得b=2c或b=-c(舍).由a2=b2+c2-2bccosA,得c=2,则b=4.由cosA=QUOTE知,sinA=QUOTE,S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTE×4×2×QUOTE=QUOTE.8.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 ()A.36π B.64πC.144π D.256π【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=QUOTE×QUOTER2×R=QUOTER3=36,故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.【补偿训练】如图,在三棱锥A-BCD中,VA-BPQ=2,VC-APQ=6,VC-DPQ=12,则VA-BCD等于 ()A.20 B.24 C.28 D.56【解析】选B.由QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.所以VB-PDQ=QUOTEVC-PDQ=4,因而VA-BCD=2+6+12+4=24.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知i是虚数单位,z=QUOTE,则下列结论中正确的是 ()A.z=-i B.z=i C.QUOTE=-i D.|z|=1【解析】选BCD.z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=i,所以QUOTE=-i,|z|=1,故BCD正确.10.满意下列条件的三角形有两解的有 ()A.b=3,c=4,B=30°B.a=5,b=8,A=30°C.c=6,b=3QUOTE,B=60°D.c=9,b=12,C=60°【解析】选AB.选项A中csinB<b<c,故有两解;选项B中bsinA<a<b,故有两解;选项C中b=csinB,有一解;选项D中c<bsinC,无解.所以有两解的是选项AB.11.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则错误的是 ()A.β内必存在直线与m平行且存在直线与m垂直B.β内不肯定存在直线与m平行,不肯定存在直线与m垂直C.β内不肯定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不肯定存在直线与m垂直【解析】选ABD.作两个相交平面,交线为n,使得直线m⊥α,假设β内肯定存在直线a与m平行,因为m⊥α,而a∥m,所以直线a⊥α,而a⊂β,所以α⊥β,这与平面α与平面β相交不肯定垂直冲突,所以β内不肯定存在直线a与m平行,因为直线m⊥α,n⊂α,又n⊂β,所以m⊥n,所以在β内不肯定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直.【补偿训练】设a,b为两条直线,α,β为两个平面,则正确的命题是 ()A.若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b【解析】选D.A中,a,b可以平行或异面;B中,a,b可以平行或异面或相交;C中,α,β可以平行或相交.12.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=QUOTE,a=3,S△ABC=2QUOTE,则b的值可以为 ()A.2 B.3 C.4 D.6【解析】选AB.因为S△ABC=2QUOTE=QUOTEbcsinA,sinA=QUOTE,所以bc=6,cosA=QUOTE,又因为a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccosA=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知z0=2+2i,|z+z0|=QUOTE,当z=__________时,|z|有最小值,最小值为__________.

【解析】因为|z+z0|=QUOTE,所以复数z所对应的点Z在以C(-2,-2)为圆心,半径为QUOTE的圆上,画出图形(图略),由图形知|z|的最小值为QUOTE-QUOTE=QUOTE,此时,点Z是线段OC与圆的交点,线段OC的方程是y=x(-2≤x≤0),圆的方程是(x+2)2+(y+2)2=2,联立方程组QUOTE解得QUOTE所以复数z=-1-i.答案:-1-iQUOTE14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2QUOTE,C=45°,1+QUOTE=QUOTE,则A=______,边c的值为__________.

【解析】在△ABC中,因为1+QUOTE=1+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以cosA=QUOTE,所以A=60°.又因为a=2QUOTE,C=45°.由QUOTE=QUOTE得,QUOTE=QUOTE,所以c=2QUOTE.答案:60°2QUOTE15.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a,b,c满意2b=a+c,B=QUOTE,则cosA-cosC=________.

【解析】因为2b=a+c,由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,又因为B=QUOTE,所以sinA+sinC=QUOTE,A+C=QUOTE.设cosA-cosC=x,可得(sinA+sinC)2+(cosA-cosC)2=2+x2,即sin2A+2sinAsinC+sin2C+cos2A-2cosAcosC+cos2C=2-2cos(A+C)=2-2cosQUOTE=2+x2得x2=QUOTE,所以cosA-cosC=±QUOTE.答案:±QUOTE16.(2024·新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°,以D1为球心,QUOTE为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.

【解析】由已知连接BD,B1D1,则BD=B1D1=2,取BB1和CC1的中点E,F.连接EF,D1E,D1F,则D1E=D1F=QUOTE,故E,F在球面上.平面BCC1B1截球面的截面圆的圆心是B1C1的中点O,OE=OF=QUOTE,球面与侧面BCC1B1的交线是侧面上以O为圆心,QUOTE为半径的圆弧EF,QUOTE的长为QUOTE·2QUOTEπ=QUOTEπ.答案:QUOTEπ四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.(1)求cos∠CBE的值;(2)求AE.【解析】(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,所以∠CBE=15°.所以cos∠CBE=cos15°=cos(45°-30°)=QUOTE.(2)在△ABE中,AB=2,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,故AE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE.18.(12分)已知z=m+3+3QUOTEi,其中m∈C,且QUOTE为纯虚数.(1)求m对应点的轨迹;(2)求|z|的最大值、最小值.【解析】(1)设m=x+yi(x,y∈R),则QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为QUOTE为纯虚数,所以QUOTE即QUOTE所以m对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,除去(-3,0),(3,0)两点.(2)由(1)知|m|=3,已知m=z-(3+3QUOTEi),则|z-(3+3QUOTEi)|=3.所以z所对应的点Z在以(3,3QUOTE)为圆心,3为半径的圆上.可知|z|的最大值为|3+3QUOTEi|+3=9;最小值为|3+3QUOTEi|-3=3.19.(12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积分别为V1,V2的两部分,求V1∶V2的值.【解析】如图,延长A1A到A2,B1B到B2,C1C到C2,且A1A=AA2,B1B=BB2,C1C=CC2,连接A2B2,B2C2,A2C2,则得到三棱柱ABC-A2B2C2,且QUOTE=QUOTE,延长B1E,C1F,则B1E与C1F相交于点A2.因为A2A∶A2A1=1∶2,所以QUOTE=QUOTE.又QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以V1=7QUOTE=QUOTE,故V1∶V2=7∶(12-7)=7∶5.20.(12分)已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanA=QUOTE.(1)求角A的大小;(2)当a=QUOTE时,求c2+b2的最大值,并推断此时△ABC的形态.【解析】(1)由已知及余弦定理,得QUOTE=QUOTE,sinA=QUOTE,因为A为锐角,所以A=60°.(2)由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,所以b=2sinB,c=2sinC=2sin(120°-B).c2+b2=4[sin2B+sin2(120°-B)]=4QUOTE=4-cos2B+QUOTEsin2B=4+2sin(2B-30°).由QUOTE得30°<B<90°,所以30°<2B-30°<150°.当sin(2B-30°)=1,即B=60°时,(c2+b2)max=6,此时C=60°,△ABC为等边三角形.【一题多解】由余弦定理得(QUOTE)2=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc=3.因为bc≤QUOTE(当且仅当b=c时取等号),所以b2+c2-QUOTE≤3,即b2+c2≤6(当且仅当b=c时取等号).故c2+b2的最大值为6,此时△ABC为等边三角形.21.(12分)如图所示,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,EF∥AC,AB=QUOTE,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.【证明】(1)如图,设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=QUOTEAC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)连接FG,因为EF∥CG,EF=CG=1,所以四边形CEFG为平行四边形,又因为CE=EF=1,所以▱CEFG为菱形,所以EG⊥CF.在正方形ABCD中,AC⊥BD.因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,所以BD⊥平面CEFG,所以BD⊥CF.又因为EG∩BD=G,所以CF⊥平面BDE.【补偿训练】如图所示,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且QUOTE=QUOTE=λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD.【解析】(1)因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.又因为QUOTE=QUOTE=λ(0<λ<1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD,所以EF⊥平面ABC,EF⊂平面BEF,所以不论