2024-2025学年高一数学必修第一册（配湘教版）教学课件 5.2.2 同角三角函数的基本关系

第5章三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系课标要求1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,=tanα.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点同角三角函数的基本关系1.平方关系(1)公式:sin2α+cos2α=1;(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2.商数关系(1)公式:=tanα,cosα≠0;(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.名师点睛1.基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.3.sin2α是(sin

α)2的简写,读作“sin

α的平方”,不能将sin2α写成sin

α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.过关自诊1.sin22024°+cos22024°=(

)A.0 B.1

C.2024 D.2024°B解析

由平方关系知sin22

024°+cos22

024°=1.2.若sinθ+cosθ=0,则tanθ=

.

-1重难探究·能力素养速提升探究点一利用同角三角函数关系求值1.已知某个三角函数值,求其余三角函数值

规律方法

1.已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.2.利用同角三角函数关系式求值时要注意常见“勾股数”的应用,即(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13).2.已知tanα,求关于sin

α和cos

α齐次式的值【例2】

已知tanα=2,则-11规律方法

已知tan

α,求关于sin

α和cos

α齐次式的值的基本方法

3.利用sinα+cosα,sinα-cosα与sinαcosα

之间的关系求值【例3】

已知sinα+cosα=,α∈(0,π),求tanα的值.规律方法

1.由(sin

α+cos

α)2=1+2sin

αcos

α,(sin

α-cos

α)2=1-2sin

αcos

α可知如果已知sin

α+cos

α,sin

α-cos

α,sin

αcos

α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.2.sin

θ±cos

θ的符号的判定方法(1)sin

θ-cos

θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sin

θ=cos

θ,即sin

θ-cos

θ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sin

θ>cos

θ,即sin

θ-cos

θ>0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin

θ<cos

θ,即sin

θ-cos

θ<0.如图1所示.(2)sin

θ+cos

θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=-x上时,sin

θ=-cos

θ,即sin

θ+cos

θ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半平面区域内时,sin

θ>-cos

θ,即sin

θ+cos

θ>0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sin

θ<-cos

θ,即sin

θ+cos

θ<0.如图2所示.变式训练1CD探究点二应用同角三角函数关系式化简【例4】

化简下列各式:规律方法

三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.变式训练2探究点三应用同角三角函数关系式证明恒等式1.一般恒等式的证明

规律方法

三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有:(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子;(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异;变式训练32.给出限制条件的恒等式证明问题【例6】

已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.规律方法

含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面,但应注意条件的利用,常用方法有:①直推法:从条件直推到结论;②代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明;③换元法.变式训练4

学以致用·随堂检测促达标123456D123456D1234563.下列结论能成立的是(

)C123456解析

A中,sin2α+cos2α≠1,故A选项不成立;D中,tan

α·cos

α≠sin

α,故D选项不成立.123456A123456sinα1234566.求证:2(1-sinα)(1+cosα)=(1-sinα+cosα)2.证明

(方法1)左边=2-2sin

α+2cos

α-2sin

αcos

α=1+sin2α+cos2α-2sin

αcos

α+2(cos

α-sin

α)=1+2(cos

α-sin

α)+(cos

α-sin

α)2=(1-sin

α+cos

α)2=右边.所以原式成立.(方法2)左边=2-2sin

α+2cos

α-2sin

αcos

α,右边=1+sin2α+cos2α-2sin

α+2cos

α-2sin

αcos

α=2-2sin

α+2cos

α-2sin

αcos

α.故左边=