专题09常见相似模型-2021-2022学年九年级数学上册常考题专练（北师大版）

专题09常见相似模型题型一A字型相似1．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2【解答】解：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，且＝，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，∵△ADE的面积是3cm2，∴四边形BDEC的面积是9cm2，故选：B．2．如图，△ABC中，D为AB边上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论中不一定成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，故A成立；∵DF∥BE，∴，故B成立；∵DE∥BC，DF∥BE，∴，，∴，故C成立；∵DF∥BC，∴，而BE≠BC，故D不成立．故选：D．3．如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（）A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，∴EC＝EB+BC＝14，∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，解得：CD＝10.5，故选：C．4．如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NC＝m，BN＝m，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（）A．5m B．7.5m C．6m D．5.5m【解答】解：∵BN∥AM，∴△BCN∽△ACM，∴＝，∵BC＝1m，BN＝m，AC＝4.5m，∴＝，∴MA＝7.5（m）．故选：B．5．如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，＝3，BD＝2，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴AE＝3CE，∴＝，∴，∴4AD＝3AD+3BD，∵BD＝2，∴AD＝3BD＝3×2＝6，故选：D．6．如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（）A．16 B．24 C．30 D．36【解答】解：∵四边形EGHF为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为xcm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，∵AD⊥BC，∴＝，∴＝，解得：x＝24．即：正方形零件的边长为24cm．故选：B．题型二8字型相似7．如图，在▱ABCD中，AE：DE＝2：1，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（）A．4 B．6 C．5.2 D．4.8【解答】解：在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵AE：DE＝2：1，∴AE＝AD，∴AE＝AD＝BC∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CBF，∠FAE＝∠FCB，∴△AFE∽△CFB，∴＝，∵AC＝12，∴AF＝×12＝4.8．故选：D．8．在四边形ABCD中AB∥CD，对角线AC与BD交于P，过点P作AB的平行线，交AD、BC于M、N．若AB＝2，△PDC与△PAB的面积比为1：4，则MN的长是（）A． B． C． D．【解答】解：设PM＝x，PN＝y，∵AB∥CD，MN∥AB，∴AB∥MN∥CD，∴△CDP∽△ABP，∵AB＝2，△PDC与△PAB的面积比为1：4，∴CD＝1，∵AB∥MN∥CD，∴△DMP∽△DAB，△CPN∽△CAB，∴，，∵，∴，∴，解得：x＝y＝，∴MN＝x+y＝．故选：C．9．如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且CE＝2BE，AF＝2DF，AE与BF交于点H，若△BEH的面积为2，则五边形CEHFD的面积是（）A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AD∥BC，∵CE＝2BE，AF＝2DF，∴BE＝DF，AF＝CE，∵AD∥BC，∴△BEH∽△FAH，∴＝，∴HF＝2BH，AH＝2HE，∴S△ABH＝2S△BEH＝4，S△AFH＝2S△ABH＝8，∴S△ABF＝12，∴S▱ABCD＝2×＝36，∴五边形CEHFD的面积＝36﹣12﹣2＝22，故选：D．10．如图，将两个含30°角的直角三角板拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，设BC＝x，则AB＝，AC＝2x，在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，则CD＝tan30°×AC＝，AD＝2CD＝，∵E为AC的中点，∴CE＝AE＝，∠EAC＝∠ECA，∴∠ECA＝∠BAC，∴△AFB∽△CFE，∴＝，故选：C．11．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：如图：∵AE∥BC，AD为BC边上的高线，∴AD⊥BC且AD⊥AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△BDF和△EAF中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BDF＝∠FAF＝90°，∴△BDF∽△EAF，∴＝，又∵AE∥BC，∴∠5＝∠6，在△EAG和△BCG中，∵BE平分AC，∴AG＝CG，∵，∴△EAG≌△BCG（AAS），∴AE＝CB＝BD+DC＝4，∴BG＝EG，设BF＝2x，则＝＝＝，∴EF＝8x，∴EF＝BE﹣BF＝BG+EG﹣BF＝2BG﹣2x，BE＝BG+EF＝2x+8x＝10x，∴EG＝BG＝BE＝5x，FG＝BG﹣BF＝5x﹣2x＝3x，∴＝＝，故选：D．题型三反A型相似12．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，∴AC＝AD+CD＝12，∴AE＝4，AB＝9，∴BE＝AB﹣AE＝5．13．已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝35°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝35°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣35°＝70°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝35°，∠AED＝∠C＝70°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：DE，即30：18＝20：DE，解得DE＝12cm．14．如图，已知△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12，△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．【解答】解：∵△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴，∴∴AD＝∵∴∴AE＝15．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣40°＝65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠C＝65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得DE＝12cm．16．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴＝（）2＝，∴＝＝，故答案为：．题型四旋转相似17．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；（2）∵△ABC∽△DEC；∴＝（）2＝，又∵BC＝6，∴CE＝9．18．将含30°角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE、BD，则＝．【解答】解：∵△EDC与△ACB为两个直角三角形，且∠DEC＝∠BAC＝30°，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB+∠DCA＝∠ECD+∠DCA，∴∠DCB＝∠ECA，在Rt△ACB中，tan∠CAB＝＝tan30°，在Rt△ECD中，tan∠CED＝＝tan30°，∴＝，∴在△ECA与△DCB中，＝，∠DCB＝∠ECA，∴△ECA～△DCB，∴＝，在Rt△ACB中，＝tan∠ABC＝tan60°＝，故答案为．19．如图，在△ABC中，AB＞AC，将△ABC以点A为中心顺时针旋转，得到△AED，点D在BC上，DE交AB于点F．如下结论中，①DA平分∠EDC；②△AEF∽△DBF；③∠BDF＝∠CAD；④EF＝BD．所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：①由旋转的性质知：AD＝AC，∠ADE＝∠C．∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C．∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC．故①符合题意；②∵∠E＝∠B，∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△DBF．故②符合题意；③∵∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝∠C+∠CAD，∠ADE＝∠C，∴∠BDF＝∠CAD．故③符合题意；④∵∠FAD不一定等于∠CAD，AD＝AD，∠ADC＝∠ADE，∴不能证明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF．∴DE﹣DF＝BC﹣CD不一定成立，即无法证明EF＝BD．故④不符合题意．故答案是：①②③．20．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠C＝∠E＝60°，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，＝3，则＝．【解答】解：连接EC，如图，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝60°，∴△AED∽△ACB，∴，即，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠EAC＝∠DAB，∴△EAC∽△DAB，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△EAD中，∠AED＝60°，∴，∴，∴，∵∠EFC＝∠AFD，∠ECF＝∠ADF，∴△EFC∽△AFD，∴＝3，∴＝＝3×＝，故答案为：．题型四三垂直模型21．在直角△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，由△ADC∽△ACB，可得AC2＝AD•AB．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB，∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴AC2＝AD•AB，故答案为：△ADC；△ACB．22．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，AE⊥DE，DC＝1，BE＝3，BC＝5，则AB＝6．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD，∴，∴，∴AB＝6，故答案为：6．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝6，BD＝2，则CD＝2．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，解得，CD＝2，故答案为：2．24．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝．【解答】解：如图，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴，∴CQ＝，故答案为：．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为或1．【解答】解：作PH⊥AD于H，如图，设BP＝x，则CP＝2﹣x．∵PE⊥PA