专题05全等之手拉手模型精练

专题05全等之手拉手模型精练一．手拉手之等边类1．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（）A．55° B．50° C．45° D．60°试题分析：求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△EAC，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．答案详解：解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，AB=AC∠BAD=∠EAC∴△BAD≌△EAC（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，所以选：A．2．如图，△ABC，△ECD均为等边三角形，边长分别为5cm，3cm，B，C，D三点在同一条直线上，下列结论：①AD＝BE；②△CFG为等边三角形；③CM=137cm；④CM平分∠A．1个 B．2个 C．3个 D．4个试题分析：根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE，可判断①；由等边三角形的判定得出△CFG是等边三角形，可判断②；证明△DMC∽△DBA，求出CM长，可判断③；证明M、F、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD，可判断④．答案详解：解：∵△ABC，△ECD均为等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∴∠BCE＝∠ACD，在△ACD和△BCE中，BC=AC∠BCE=∠ACD∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，故①正确；∴∠CAG＝∠CBF，在△CBF和△CAG中，∠CBF=∴△BCF≌△ACG（ASA），∴FC＝GC，∵∠FCG＝60°，∴△CFG为等边三角形，故②正确；∵∠EMD＝∠MBD+∠MDB＝∠MAC+∠MDB＝60°＝∠FCG，∴M、F、C、G四点共圆，∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，∴∠BMC＝∠DMC，∴CM平分∠BMD，故④正确；过点E作EP⊥BD，则CP=1∴PE=3CP=∴BE=BP∴AD＝BE＝7，∵∠DMC＝∠ABD，∠MDC＝∠BDA，∴△DMC∽△DBA∴CMAB∴CM5∴CM=157．故所以选：C．3．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④试题分析：根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．答案详解：解：∵△ABE、△ADF是等边三角形∴FD＝AD，BE＝AB∵AD＝BC，AB＝DC∴FD＝BC，BE＝DC∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE∴∠CDF＝∠EBC∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠FAE＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°+60°+（180°﹣∠CDA）＝300°﹣∠CDA，∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．所以选：B．4．已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC＝∠ADE＝α，线段BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB＝AC，AD＝AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB＝BC＝kAC，AD＝ED＝kAE，则线段BD与CE的数量关系为BD＝kCE，∠BMC＝90°-12α（用（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M．则∠BMC＝90°+12α（用试题分析：（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE＝∠BAC，则∠BAD＝∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD＝CE；②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA＝∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得出∠BMC＝∠DAE＝180°﹣2α；（2）先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE＝∠BAC＝90°-12α，则∠BAD＝∠CAE，再由AB＝kAC，AD＝kAE，得出AB：AC＝AD：AE＝k，则根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似证出△ABD∽△ACE，得出BD＝kCE，∠BDA＝∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC＝∠DAE＝90°-（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE＝∠BAC＝90°-12α，由AB＝kAC，AD＝kAE，得出AB：AC＝AD：AE＝k，从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA＝∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC＝90°+答案详解：解：（1）如图1．①BD＝CE，理由如下：∵AD＝AE，∠ADE＝α，∴∠AED＝∠ADE＝α，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝180°﹣2α，同理可得：∠BAC＝180°﹣2α，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，即：∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，∵AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠BDA＝∠CEA，∵∠BMC＝∠MCD+∠MDC，∴∠BMC＝∠MCD+∠CEA＝∠DAE＝180°﹣2α；（2）如图2．∵AD＝ED，∠ADE＝α，∴∠DAE=180°-∠ADE2=90°同理可得：∠BAC＝90°-12∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，即：∠BAD＝∠CAE．∵AB＝kAC，AD＝kAE，∴AB：AC＝AD：AE＝k．在△ABD与△ACE中，∵AB：AC＝AD：AE＝k，∠BDA＝∠CEA，∴△ABD∽△ACE，∴BD：CE＝AB：AC＝AD：AE＝k，∠BDA＝∠CEA，∴BD＝kCE；∵∠BMC＝∠MCD+∠MDC，∴∠BMC＝∠MCD+∠CEA＝∠DAE＝90°-12所以答案是：BD＝kCE，90°-12（3）如右图．∵AD＝ED，∠ADE＝α，∴∠DAE＝∠AED=180°-∠ADE2=90°同理可得：∠BAC＝90°-12∴∠DAE＝∠BAC，即∠BAD＝∠CAE．∵AB＝kAC，AD＝kAE，∴AB：AC＝AD：AE＝k．在△ABD与△ACE中，∵AB：AC＝AD：AE＝k，∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠BDA＝∠CEA，∵∠BMC＝∠MCD+∠MDC，∠MCD＝∠CED+∠ADE＝∠CED+α，∴∠BMC＝∠CED+α+∠CEA＝∠AED+α＝90°-12α+α＝90°+所以答案是：90°+125．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．（1）求证：AC＝BD．（2）求∠APB的度数．试题分析：（1）先∠AOB＝∠COD＝60°，OA＝OB，OC＝OD得到∠AOC＝∠BOD，然后得证△AOC≌△BOD，从而得到AC＝BD；（2）先由△AOC≌△BOD得到∠OAC＝∠OBD，从而得到∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，然后由OA＝OB，∠AOB＝60°得到△AOB是等边三角形，从而得到∠PAB+∠PBA＝120°，最后得到∠APB的度数．答案详解：（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OC∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．（2）解：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∵∠OAC+∠BAC＝∠OAB，∠ABO+∠OBD＝∠ABP，∴∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠PAB+∠PBA＝120°，∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣120°＝60°．6．图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片△ABC和△CDE叠放在一起（C与C′重合）的图形．（1）操作：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则可证△CBE≌△CAD，依据SAS，进而得到线段BE＝AD，依据全等三角形的对应边相等．（2）操作：若将图1中的△CDE，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3．①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；②求∠APB的度数．（3）若将图1中的△CDE，绕点C按逆时针方向旋转一个角度α（0＜α＜360°），当α等于多少度时，△BCD的面积最大？请直接写出答案．试题分析：（1）BC＝AC，∠BCE＝∠ACD＝20°，CE＝CD，可求得；（2）方法同（1）；（3）当BC边上的高最大时，△BCD的面积最大，高最大时CD的长，△BCD的面积最大，由两种情形．答案详解：解：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∵∠BCE＝∠ACD＝20°，∴△CBE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD（全等三角形的对应边相等），所以答案是SAS，全等三角形的对应边相等；（2）如图1，①（1）中结论仍然成立，理由如下：∵△ABC和△CDE是等边三角形，BC＝AC，CE＝CD，∵∠BCE＝∠ACD＝120°，∴△CBE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD；②∵△CBE≌△CAD，∴∠CBE＝∠CAD，又∠AOP＝∠BOC，∴∠APB＝∠ACB＝60°；（3）如图2，当D运动到D1，D2，S△BCD最大==12此时旋转角是60°+90°＝150°，360°﹣30°＝330°，∴当α＝150°或330°．二．手拉手之等腰类7．如图，已知D为等腰Rt△ABC的腰AB上一点，CD绕点D逆时针旋转90°至ED，连接BE，CE，M为BE的中点．则当tan∠EDA=12时，DMBC=试题分析：如图，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，连接AE，由tan∠EDA=12，可得：EFDF=12，设EF＝a，则DF＝2a，证明△CDA≌△DEF（AAS），可得：AD＝EF＝a，AB＝AC＝DF＝2a，进而得出：AF＝a，AE=2a，BC＝22a，再证明点D是AB答案详解：解：如图，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，连接AE，则∠F＝90°，∵tan∠EDA=1∴EFDF设EF＝a，则DF＝2a，∵CD绕点D逆时针旋转90°至ED，∴∠CDA+∠EDA＝90°，DC＝DE，∵∠CAD＝90°＝∠F，∴∠CDA+∠DCA＝90°，∴∠DCA＝∠EDA，∴△CDA≌△DEF（AAS），∴AD＝EF＝a，AC＝DF＝2a，∴AF＝DF﹣AD＝2a﹣a＝a，∴AE=AF∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝2a，BC=2AB＝22a∴DB＝AB﹣AD＝2a﹣a＝a，∴AD＝DB，即点D是AB的中点，∵点M是BE的中点，∴DM是△BAE的中位线，∴DM=12AE=∴DMBC所以答案是：148．（1）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠DOC＝50°，连接AC，BD交于点P，且AC交OB于点E．①ACBD的值为1；②∠APB的度数为50°（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝30°，连接BD，交AC的延长线于点P，且AC交OB于点E．请计算ACBD的值及∠APB（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点P，若OC＝1，OA=5，请直接写出点D与点P重合时BD试题分析：（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC＝BD，比值为1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠OBA+∠OBD）＝50°；（2）证明△DOB与△COA相似即可求出AC：BD的值，再通过对顶角相等及∠OBD＝∠CAO即可证出∠APB的度数为90°；（3）由（2）知，∠APB＝90°，BDAC=3，设AC＝x，BD=3x，由勾股定理得出（x﹣2）2+（3x）2＝（25）答案详解：解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝50°，∴∠COA＝∠DOB，∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴ACBD=②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB＝50°，∴∠OAB+∠ABO＝130°，在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠OBA+∠OBD）＝180°﹣（∠OAB+∠ABO）＝180°﹣130°＝50°，所以答案是：①1；②50°；（2）在△OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝30°，∴tan30°=OD∵∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，∴△DOB∽△COA，∴ACBD=OCOD=∵∠AEO+∠OAE＝90°，∠OEA＝∠PEB，∴∠PEB+∠DBO＝90°，∴∠APB＝90°，∴ACBD=33，∠（3）在Rt△OCD中，∠CDO＝30°，OC＝1，∴CD＝2，在Rt△OAB中，∠OBA＝30°，OA=5∴AB＝25，由（2）知，∠APB＝90°，且BDAC∴设AC＝x，BD=3x在Rt△APB中，AP2+PB2＝AB2，∴（x﹣2）2+（3x）2＝（25）2，解得，x1=1+172，x∴AC=1+∴BD=3AC=9．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为60°；线段BE与AD之间的数量关系是BE＝AD；（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．试题分析：（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出结论．答案详解：解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABC和△CDE均是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵∠CDE＝60°，∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∵∠CED＝60°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，所以答案是：60°，BE＝AD；（3）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由：同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．10．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝22，∠BAC＝90°．点D是BC边上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转90°到AE，连接CE．（1）求证：CD+CE=2CA（2）如图2，连接DE，交AC于点F．①求证：CD•CE＝CF•CA；②当△CEF是等腰三角形时，请直接写出BD的长．试题分析：（1）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到CE＝BD，根据等腰直角三角形的性质求出BC=2CA（2）①证明△ABD∽△DCF，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可证明；②分CE＝CF、EF＝CF两种情况，根据①中结论计算，得到答案．答案详解：解：（1）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转90°到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC=2CA∴CD+CE＝CD+BD＝BC=2CA（2）①证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝45°．∵∠ADC＝∠B+∠BAD，且∠ADC＝∠ADE+∠CDF，∴∠BAD＝∠CDF，∴△ABD∽△DCF，∴ABCD∴CD•BD＝CF•AB，∵CE＝BD，AB＝AC，∴CD•CE＝CF•CA；②4-22设BD＝x，则CD＝4﹣x，当CE＝CF时，CE＝CF＝BD＝x，∵CD⋅CE＝CF⋅CA，∴（4﹣x）•x＝22x，解得：x1＝4﹣22，x2＝0（舍去）；当EF＝CF时，∠EFC＝90°，∴CF=22CE=22则（4﹣x）•x＝22•22x解得x1＝2，x2＝0（舍去）；由题意可知，EF≠EC，综上，当△CEF是等腰三角形时，BD的长为4﹣22或2．11．综合与实践（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（2）类比探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．填空：①∠AEB的度数为90°；②线段CM，AE，BE之间的数量关系为AE＝BE+2CM．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为35．试题分析：（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD＝BE；由等腰直角三角形的性质可得CM＝DM＝ME，从而证到AE＝BE+2CM；（3）由（2）得∠AEB＝90°，AD＝BE＝4，由等腰直角三角形的性质得出CM⊥AE，DE＝2CM＝6，求出AE＝AD+DE＝10，四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积，即可得出答案．答案详解：解：（1）∠AEB＝60°，AD＝BE，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．AD＝BE，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．（2）猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．所以答案是：90°，AE＝BE+2CM；（3）由（2）得：∠AEB＝90°，AD＝BE＝4，∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴CM⊥AE，DE＝2CM＝6，∴AE＝AD+DE＝4+6＝10，∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积=12AE×CM+12AE×BE=12×10×3所以答案是：35．三．手拉手之四边形12．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：垂直；②BC、CD、CF之间的数量关系为：BC＝CF+CD；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝22，CD=14BC，请求出试题分析：（1）①根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；②由△DAB≌△FAC（SAS）得出CF＝BD，则可得出结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS），根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．（3）求出BD＝5，由（2）同理可证得△DAB≌△FAC，得出BC⊥CF，CF＝BD＝5，由勾股定理求出DF，则可得出答案．答案详解：解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAF∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABC＝∠ACF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即BC⊥CF；所以答案是：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∵BC＝BD+CD，∴BC＝CF+CD；所以答案是：BC＝CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAF∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°．∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，∴CF⊥BC．∵CD＝DB+BC，DB＝CF，∴CD＝CF+BC．（3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，∴BC＝4，∴CD=14BC＝∴BD＝5，由（2）同理可证得△DAB≌△FAC，∴BC⊥CF，CF＝BD＝5，∵四边形ADEF是正方形，∴OD＝OF，∵∠DCF＝90°，∴DF=C∴OC=2613．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝32，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．试题分析：（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝6．答案详解：解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC=2AB=2×314．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2，其中正确结论是①②③（填序号）试题分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对应边相等即可得到BE＝DG，利用全等三角形对应角相等得到∠1＝∠2，利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．答案详解：解：设BE，DG交于O，∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCE+∠DCE＝∠ECG+∠DCE＝90°+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，∵BC=DC∠BCE=∠DCG∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠4＝∠3+∠1＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠BOG＝90°，∴BE⊥DG；故①②正确；连接BD，EG，如图所示，∴DO2+BO2＝BD2＝BC2+CD2＝2a2，EO2+OG2＝EG2＝CG2+CE2＝2b2，则BG2+DE2＝DO2+BO2+EO2+OG2＝2a2+2b2，故③正确．所以答案是：①②③．15．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．5 C．322 D试题分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．答案详解：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC=2，CF＝32∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF=AC2+CF∵H是AF的中点，∴CH=12AF=1所以选：B．16．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．（1）发现①线段DE、BG之间的数量关系是DE＝BG；②直线DE、BG之间的位置关系是DE⊥BG．（2）探究如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）应用如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB＝4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．试题分析：（1）证明△AED≌△AGB可得出两个结论；（2）①根据正方形的性质得出AE＝AG，AD＝AB，∠EAG＝∠DAB＝90°，求出∠EAD＝∠GAB，根据SAS推出△EAD≌△GAB即可；②根据全等三角形的性质得出∠GBA＝∠EDA，求出∠DHB＝90°即可；（3）先确定点P到CD所在直线距离的最大值和最小值的位置，再根据图形求解．答案详解：解：（1）发现①线段DE、BG之间的数量关系是：DE＝BG，理由是：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BDA＝90°，∴∠BAG＝∠BAD＝90°，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，∴△AED≌△AGB，∴DE＝BG；②直线DE、BG之间的位置关系是：DE⊥BG，理由是：如图2，延长DE交BG于Q，由△AED≌△AGB得：∠ABG＝∠ADE，∵∠AED+∠ADE＝90°，∠AED＝∠BEQ，∴∠BEQ+∠ABG＝90°，∴∠BQE＝90°，∴DE⊥BG；所以答案是：①DE＝BG；②DE⊥BG；（2）探究（1）中的结论仍然成立，理由是：①如图3，∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，∴AE＝AG，AD＝AB，∠EAG＝∠DAB＝90°，∴∠EAD＝∠GAB＝90°+∠EAB，在△EAD和△GAB中，AE=AG∠EAD=∠GAB∴△EAD≌△GAB（SAS），∴ED＝GB；②ED⊥GB，理由是：∵△EAD≌△GAB，∴∠GBA＝∠EDA，∵∠AMD+∠ADM＝90°，∠BMH＝∠AMD，∴∠BMH+∠GBA＝90°，∴∠DHB＝180°﹣90°＝90°，∴ED⊥GB；（3）应用将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上，过P作PH⊥CD于H，①当P与F重合时，此时PH最小，如图4，在Rt△AED中，AD＝4，AE＝2，∴∠ADE＝30°，DE=42-∴DF＝DE﹣EF＝23-2∵AD⊥CD，PH⊥CD，∴AD∥PH，∴∠DPH＝∠ADE＝30°，cos30°=PH∴PH=32（23-2）＝②∵DE⊥BG，∠BAD＝90°，∴以BD的中点O为圆心，以BD为直径作圆，P、A在圆上，当P在AB的中点时，如图5，此时PH的值最大，∵AB＝AD＝4，由勾股定理得：BD＝42，则半径OB＝OP＝22∴PH＝2+22．综上所述，点P到CD所在直线距离的最大值是2+22，最小值是3-3四．手拉手之综合类17．如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AB上，BD＝2，线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE交AC于点F，连接AE．下列结论：①四边形ADCE面积为93；②△ADE外接圆的半径为2213；③AF：FC＝2：A．①②③ B．①③ C．①② D．②③试题分析：由旋转的性质知CD＝CE，∠DCE＝60°，得△BCD≌△ACE（SAS），则四边形ADCE面积为S△ABC=34×62=93，故①正确；作CH⊥AB于H，以DE为底边，作等腰△DOE，使∠DOE＝120°，作OQ⊥DE于Q，则EQ=7，∠EOQ＝60°，则EO=EQsin60°=7答案详解：解：∵线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴四边形ADCE面积为S△ABC=34×62作CH⊥AB于H，则BH＝3，CH＝33，∴CD=D∵△BCD≌△ACE，∴∠CAE＝∠B＝60°，∴∠DAE＝120°，以DE为底边，作等腰△DOE，使∠DOE＝120°，作OQ⊥DE于Q，则EQ=7，∠EOQ＝60∴EO=EQsin60°=∵∠CDF＝∠CAD，∠DCF＝∠ACD，∴△CDF∽△CAD，∴DCAC∴27∴CF=14∴AF＝AC﹣CF＝6-14∴AF：CF＝2：7，故③正确，所以选：A．18．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝2，则GFEGA．1 B．2 C．3 D．4试题分析：过点E作EM∥BC，交AC于点M，根据菱形的性质可得AB＝BC，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC=12∠BAD＝60°，从而可得△ABC是等边三角形，然后得出BC＝AC，∠ACB＝∠B＝60°，从而利用SAS证明△BEC≌△AFC即可判断①，利用①的结论可得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，从而可得∠BCA＝∠ECF＝60°，即可判断②，根据三角形的外角可得∠AGE＝60°+∠AFG，即可判断③，根据平行线的性质可证△AEM是等边三角形，最后证明8字模型相似三角形△AGF∽△MGE，利用相似三角形的性质即可判断答案详解：解：过点E作EM∥BC，交AC于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC=12∠BAD＝∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠B＝60°，∵BE＝AF，∠B＝∠DAC，∴△BEC≌△AFC（SAS）；故①正确；∵△BEC≌△AFC；∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，∴∠BCA＝∠ECF＝60°，∴△ECF是等边三角形，故②正确；∵△ECF是等边三角形，∴∠EFC＝60°，∵∠AGE是△AGF的一个外角，∴∠AGE＝∠AFG+∠DAC＝60°+∠AFG，∵∠AFC＝∠AFG+∠CFE＝60°+∠AFG，∴∠AGE＝∠AFC，故③正确；∵△BEC≌△AFC，∴AF＝BE＝2，∵AB＝5，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3，∵EM∥BC，∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝3，∵∠DAC＝∠AME＝60°，∠AGF＝∠EGM，∴△AGF∽△MGE，∴AFEM故④正确；所以，上列结论正确的有4个，所以选：D．19．【特例感知】（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是AD＝BC；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝33，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是8+36；②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．试题分析：（1）证明△AOD≌△BOC（SAS），即可得出结论；（2）利用旋转性质可证得∠BOC＝∠AOD，再证明△AOD≌△BOC（SAS），即可得出结论；（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，先证得△ABC∽△TBD，得出DT＝36，即点D的运动轨迹是以T为圆心，36为半径的圆，当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+36；②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，可证得△BAC∽△BTD，得出DT=32AC=32×33=92，再求出DH、AH，即可求得AD；如图5，在AB下方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接DE，可证得△BAC答案详解：解：（1）AD＝BC．理由如下：如图1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OA＝OB，OD＝OC，在△AOD和△BOC中，OA=OB∠AOD=∠BOC=90°∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，所以答案是：AD＝BC；（2）AD＝BC仍然成立.证明：如图2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+α，即∠BOC＝∠AOD，在△AOD和△BOC中，OA=OB∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC；（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，∴BT=2AB，BD=2BC，∠ABT＝∠CBD＝∴BTAB=BDBC=∴△ABC∽△TBD，∴DTAC∴DT=2AC=2×33∵AT＝AB＝8，DT＝36，∴点D的运动轨迹是以T为圆心，36为半径的圆，∴当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+36，所以答案是：8+36；②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，∵BTAB=BDBC=cos30°=32，∠ABC＝∠TBD∴△BAC∽△BTD，∴DTAC∴DT=32AC=3在Rt△ABT中，AT＝AB•sin∠ABT＝8sin30°＝4，∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，∵TH⊥AD，∴TH＝AT•sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT•cos∠TAH＝4cos30°＝23，在Rt△DTH中，DH=D∴AD＝AH+DH＝23+如图5，在AB上方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接DE，则BEAB=BDBC∵∠EBD＝∠ABC＝∠ABD+30°，∴△BDE∽△BCA，∴DEAC∴DE=32AC=3∵∠BAE＝90°﹣30°＝60°，AE＝AB•sin30°＝8×12∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AD=D综上所述，AD的值为23+65220．在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，直线AC与BD交于点M．（1）如图1，若∠OAB＝∠OCD＝45°，求BDAC（2）如图2，若∠OAB＝∠OCD＝α，求BDAC的值（用含α（3）若∠OAB＝∠OCD＝30°，OD＝2，OB＝4，将三角形OCD绕着点O在平面内旋转，直接写出当点A、C、D在同一直线上时，线段BD的长．试题分析：（1）先判断出∠AOC＝∠BOD，进而判断出△AOC≌△BOD，即可得出结论；（2）由锐角三角函数得出tanα=OBOA，tanα=ODOC，进而得出OBOA=ODOC，结合∠（3）先求出AB，CD，再由（2）得出BDAC=33答案详解：解：（1）在△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，∴∠OBA＝90°﹣∠OAB＝45°＝∠OAB，∴OA＝OB，同理：OC＝OD，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∴BDAC=（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝α，∴tanα=OB在Rt△COD中，∠COD＝90°，∠OCD＝α，∴tanα=OD∴OBOA∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠COD+∠AOD＝∠AOB+∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD，∴△BOD∽△AOC，∴BDAC=OD即BDAC=tan（3）15-3或理由：同（2）的方法知，△BOD∽△AOC，BDAC=tan30°∴∠ACO＝∠BDO，∴∠ADB＝∠COD＝90°，设BD=3x，则AC＝3x在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝4，∴AB＝2OB＝8，在Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝2，∴CD＝2OD＝4，①当点C在线段AD上时，如图1，AD＝AC+CD＝3x+4，由（2）知，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，∴（3x+4）2+（3x）2＝64，∴x=-5-1（舍）或x∴BD=3x=②当点D在线段AC上时，如图2，AD＝AC﹣CD＝3x﹣4，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，∴（3x﹣4）2+（3x）2＝64，∴x=-5+1（舍）或x∴BD=3x=即线段BD的长为15-3或21．【问题探究】如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．【深入探究】（1）如图2，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD、CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由；【拓展应用】（2）如图3，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC=2，BC＝3，则CD长为13（3）如图4，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（0，33）、P（3，0），过点P作直线l⊥x轴，点B是直线l上的一个动点，线段AB绕点A按逆时针方向旋转30°得到线段AC，则AC+PC的最小值为62．试题分析：【问题探究】首先根据等式的性质证明∠EAC＝∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明．【深入探究】（1）首先根据等式的性质证明∠EAC＝∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；（同【问题探究】的方法即可）．【拓展应用】（2）构造如【问题探究】的图形，得出CD＝BE，再在Rt△BCE中求出BE即可．（3）如图4中，连接AP，将△ABP绕点A逆时针旋转30°得到△ACE，延长AE交x轴于点F，延长CE交x轴于T．首先证明∠∠CTP＝60°，推出点C的运动轨迹是直线CT，过点E作EH⊥PF于H，作点P关于CT的对称点P′，连接P′C，P′A，P′P，设PP′交CT于J，想办法求出点P′的坐标，求出AP′即可解决问题．答案详解：解：【问题探究】结论：BD＝CE．理由是：如图1中，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，AE=AB∠EAC=∠BAD∴△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝CE．【深入探究】：（1）结论：BD＝CE．理由是：如图2中，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE﹣