专题09平行线的判定与性质（重点突围）

专题09平行线的判定与性质【考点导航】目录TOC\o"13"\h\u【典型例题】 1【考点一平行线的判定】 1【考点二添加一条件使两条直线平行】 3【考点三平行线的性质】 4【考点四根据平行线的性质与判定求角度】 5【考点五平行线的性质在生活中的应用】 8【考点六平行线的性质与判定综合应用】 10【过关检测】 13【典型例题】【考点一平行线的判定】例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？【答案】BEDF，见解析【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用，，得到∠1=∠4，即可得到结论BEDF．【详解】解：BEDF，∵，∴∠ABC=90°，∴∠3+∠4=90°，∵，，∴∠1=∠4，∴BEDF．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．【变式训练】1．（2022·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，试说明的理由．【答案】见解析【分析】根据角平分线定义求出∠1＝∠EAC，根据已知求出∠C＝∠EAC，推出∠C＝∠1，根据平行线的判定得出结论．【详解】理由：∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠EAC，∵∠EAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，∴∠C＝∠EAC，∴∠C＝∠1，∴ADBC．【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的判定，关键是根据定理和已知推出∠1＝∠C，题目比较典型，难度不大．2．（2022·山东·聊城市东昌府区博雅学校七年级阶段练习）如图，射线BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求证：AB∥CD．【答案】见解析【分析】先根据角平分线的定义和对顶角相等可得出∠ABC=∠2=70°，再由对顶角相等可得出∠1=∠BCE=110°，则∠ABC+∠BCE=180°，由此可得出结论．【详解】证明：∵射线BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠2，∵∠1=110°，∠2=70°，∠1=∠BCE，∴∠ABC=70°，∠BCE=110°，∴∠ABC+∠BCE=180°，∴AB∥CD．【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行．【考点二添加一条件使两条直线平行】例题：（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可）【答案】∠1=∠2等（写出一种即可）【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可．【详解】解：∵当∠1=∠2时，（内错角相等，两直线平行）；∴若要使，则需添加条件∠1=∠2；故答案为：∠1=∠2．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式训练】1．（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．【答案】(答案不唯一）【分析】利用两线平行的判定方法，找到一组同位角相等即可．【详解】解：当时：，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查两直线平行的判定方法．利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，任选其一解题即可．2．（2022·湖北湖北·七年级期中）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB//CD，那么可以添加的条件是________（写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可．【详解】解：根据内错角相等，两直线平行，可添加或等条件，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．【考点三平行线的性质】例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（

）A．58° B．112° C．120° D．132°【答案】A【分析】根据平行线性质得出，根据对顶角相等即可得出答案．【详解】解：如图，∵，，∴，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．【变式训练】1．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（

）A．160 B．140 C．50 D．40【答案】B【分析】利用平行线的性质先求解，再利用邻补角的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．【答案】##63度【分析】根据，可得，即可求出的度数．【详解】解：∵，，，∴（两直线平行，同旁内角互补），∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补正确找出是解答本题的关键．【考点四根据平行线的性质与判定求角度】例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，(1)说明：．(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据对顶角相等得到，再利用平行线的判定即可证明；（2）根据平行线的性质求出即可．（1）解：∵，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：(1)(2)的度数．【答案】(1)见解析；(2)100°．【分析】（1）根据平行线的性质和判定方法即可得到结论；（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．（1）解：∵，∴．∵，∴．∴．（2）解：∵∴．∵，∴【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握两只线平行同旁内角互补是关键．2．（2022·河南·虞城县第二初级中学七年级期中）如图，与有公共顶点A，且点C在边BE上，CD交AE于点F且平分．，．(1)求证：．(2)若，求的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据平行线的性质得出∠D=∠DCE，根据角平分线的定义得出∠ACD=∠DCE，求出∠BAC=∠ACD，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质求出∠E=∠DAE，∠BAC=∠ACD，根据角平分线的定义得出∠ACD=∠DCE，求出，即可求出答案．（1）证明：∵，∴∠D=∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∴∠ACD=∠D，∵∠BAC=∠D，∴∠BAC=∠ACD，∴；（2）解：∵，∴∠E=∠DAE，∠D=∠DCE，∵∠DAE=∠D，∴∠E=∠DCE，由（1）知，∴∠DCE=∠B，又∵，∴∠E=∠B=．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．【考点五平行线的性质在生活中的应用】例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．【答案】120【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，由题意可知，∠ABF=90°，∵∠ABC=150°，∴∠FBC=∠ABC∠ABF=150°90°=60°，∵BF∥CD，∴∠FBC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°∠FBC=180°60°=120°．故答案为：120．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．【答案】##60度【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点O作，∵光线，都是水平线，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．2．（2022·云南昆明·七年级期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．【答案】140°或40°【分析】当AB与在AC同侧时，CB′∥AB，同旁内角互补；当AB与CB"在AC异侧时，CB"∥AB，内错角相等．【详解】解：如下图：当AB与CB′在AC同侧时，当CB′∥AB时，∵∠CAB+∠ACB′=180°∴∠ACB′=140°当AB与CB"在AC异侧时，当CB"∥AB时，∠CAB=∠ACB"=40°答案：140°或40°．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补及需要由分论讨论的思想求解．【考点六平行线的性质与判定综合应用】例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为

；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）：

．(2)应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．【答案】(1)①∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF，理由见解析；②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补(2)30°，30°或70°和110°【分析】（1）①根据平行线的性质，即可求解；②根据①写出结论，即可求解；（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）的结论可得x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，即可求解．（1）解：①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．理由：如图1中，∵，∴∠DPB＝∠DEF，∵，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∵，∴∠DPC＝∠DEF，∵，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）解：设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，理解如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补是解答关键．【变式训练】1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．(1)∠ABN的度数是；(2)求∠CBD的度数；(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．【答案】(1)116°(2)58°(3)不变，∠APB＝2∠ADB，理由见解析【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补即可求解；（2）根据角平分线的定义，结合（1）的结论即可求解；（3）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．（1）解：∵AMBN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案为116°；（2）∵AMBN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不变，∠APB＝2∠ADB，理由如下：∵AMBN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB＝2∠ADB．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由对顶角相等得到，再由平行线的性质得到．【详解】解：如图，∵，∴，∵两条平行线a，b被第三条直线c所截，∴，故选：D【点睛】此题考查了平行线的性质、对顶角相等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2022秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（

）①若直线与没有交点，则；②平行于同一条直线的两条直线平行；③不相等的角一定不是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离．A．①③④ B．③⑤ C．②③ D．②④【答案】C【分析】根据平行的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念判断即可．【详解】同一平面内，若直线与没有交点，则，故①说法错误；由平行公理的推论知：平行于同一条直线的两条直线平行，故②说法正确；由对顶角的性质知：对顶角相等，则不相等的角一定不是对顶角，故③说法正确；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④说法错误；过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离，故⑤说法错误；所以正确的说法有②③．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念，牢固掌握相关概念及性质是关键．3．（2021春·山东济南·七年级校考期中）如图，点在的平分线上，点在上，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角平分线的定义以及，得出，进而根据平行线的性质即可求解．【详解】解：∵是的平分线，，∴，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．4．（2022秋·辽宁本溪·八年级统考期末）如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（

）A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCDC．∠BAD＋∠ADC＝180° D．∠3＝∠4【答案】C【分析】利用平行线的判定方法逐一判断即可．【详解】解：A．由∠1＝∠2可判断AD∥BC，不符合题意；B．∠BAD＝∠BCD不能判定图中直线平行，不符合题意；C．由∠BAD＋∠ADC＝180°可判定AB∥DC，符合题意；D．由∠3＝∠4可判定AD∥BC，不符合题意；故选择：C．【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．5．（2023春·七年级单元测试）如图，AB∥CD，平分，，，，则下列结论：；平分；；其中正确的有(

)A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】B【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质、垂直的定义，判断各个小题中的结论是否成立，从而解答本题．【详解】解：，，，平分，，，故①正确；，，平分，，，，，，，故③正确；平分，故②正确；，，，而题目中不能得到，故④错误；故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的性质、垂直、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题6．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）如图，直线a，b被直线c所截，且，，则的度数为______．【答案】##110度【分析】根据平行线的性质可得到，再根据，即可得到的度数．【详解】解：∵，，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的性质等知识点，掌握“两直线平行、同位角相等”是解题的关键．7．（山东省青岛市20222023学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知直线经过点且，，则__________度．【答案】60【分析】由，根据内错角相等，两直线平行，得，再根据两直线平行，同位角相等，得，从而可得到答案．【详解】解：，，，故答案为：60．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定定理及性质定理是解题的关键．8．（2023春·七年级单元测试）如图，若，则____根据是__；若，则____，根据是__；若，则____，根据是__．【答案】

同位角相等，两直线平行

内错角相等，两直线平行

同旁内角互补，两直线平行【分析】直接利用平行线的判定方法分别得出答案．【详解】若，则根据是同位角相等，两直线平行；若，则，根据是内错角相等，两直线平行；若，则，根据是同旁内角互补，两直线平行．故答案为：，，同位角相等，两直线平行；，，内错角相等，两直线平行；，，同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．9．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且，则的度数是______．【答案】99°或45°【分析】根据，，可知，此时需要进行分情况讨论，为锐角时，；为钝角时，，由此即可得出结果．【详解】解：∵，，∴（两直线平行，内错角相等），如图1所示，，如图2所示，，∴的度数为45°或99°．故答案为：45°或99°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，分情况讨论是解题的关键．10．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．【答案】2或3或5【分析】分三种情况：①当AB时，②当AC时，③当AB时，分别根据平行线的性质求出∠的度数，进而解答即可．【详解】解：分三种情况：①当AB时，如图：∴∠＝∠BAC＝45°，∴15t＝45，∴t＝3；②当AC时，如图，∴∠＝∠＝30°，∴15t＝30，∴t＝2；③当AB时，如图，过点C作CEAB，则CEAB，∴∠ACE＝∠A，∠＝∠，∴∠＝∠ACE＋∠＝∠A＋∠＝75°，∴15t＝75，∴t＝5．综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．故答案为：2或3或5．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．三、解答题11．（2023春·七年级单元测试）如图，直线，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵已知），∴．又∵（已知），∴（等式的性质）．∴．∴．∴．∴．【答案】，（等量代换），，，【分析】根据平行线的性质得出，求出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．【详解】解：∵（已知），∴．又∵（已知），∴（等式的性质）．∴（等量代换），∴，∴，∴，故答案为：，（等量代换），，，．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能正确掌握平行线的判定定理是解此题的关键．12．（2022春·江西九江·七年级统考期中）如图，于，于，（1）求证：；（2）若，平分，求证：平分．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）依据CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，可得∠BDC=∠EFB=90°，进而得到EF∥CD；（2）依据EF平分∠AED，可得∠AEF=∠DEF，再根据平行线的性质，即可得到∠AEF=∠ACD，∠DEF=∠CDE=∠BCD，即可得出∠ACD=∠BCD，可得CD平分∠ACB．【详解】解：（1）证明：∵∴∵∴∵∴（2）证明：∵平分∴∵（由（1）可知）∴，∵∴则∴平分【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解决问题的关键是运用等量代换进行推导．13．（2023春·七年级单元测试）如图，已知直线，．(1)求证：；(2)如果，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据证明，又根据得到，即可证明；（2）根据求出，根据邻补角的定义即可求出．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，邻补角的定义的应用，熟知相关定理，证明DE∥BC是解此题的关键．14．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点．(1)若，求的度数；(2)若，，求直线与的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过作于，根据，即可求解．【详解】（1）∵∴又∵∴（2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离∵，，是直角三角形∵∴∴直线与的距离【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．15．（2022秋·安徽黄山·八年级校考阶段练习）已知：直线ABCD，直线AD与直线BC交于点E，∠AEC=110°．(1)如图①，直接写出∠BAD+∠BCD的度数是；(2)①如图①，BF平分∠ABE交AD于点F，DG平分∠CDE交BC于G，求∠AFB+∠CGD的度数；②如图②，∠ABC=30°，在∠BAE的平分线上取一点P，连接PC，当∠PCD=∠PCB，请直接写出∠APC的度数．（不用写解答过程）【答案】(1)110°；(2)①195°；②50°或10°．【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可进行解答；（2）①过点E作MNAB．利用平行线的判定和性质并结合角平分线的概念分析求解；②分P点在BC的左侧、P在BC的右侧且在CD上方、P在BC的右侧且在CD下方三种情况讨论，结合角度的倍数关系和平行线的性质分析求解．【详解】（1）解：∵ABCD，∴∠BAD=∠ADC，∴，故答案为：110°；（2）①过点E作MNAB，∵ABCD，MNAB，∴ABMNCD，∴∠BAE=∠AEM，∠DCE=∠CEM，∠ABE=∠BEN，∠NED=∠EDC，∵∠AEC=110°，∴∠BED=110°，∴∠BAE+∠DCE=∠AEM+∠CEM=∠AEC=110°，∠ABE+∠CDE=∠BEN+∠NED=∠BED=110°，∵BF平分∠ABE交AD于F，DG平分∠CDE交BC于G，∴∠ABF=∠ABE，∠CDG=∠CDE，∴∠AFB+∠CGD=180°（∠BAE+∠ABF）+180°（∠DCE+∠CDG）=180°∠BAE∠ABE+180°∠DCE∠CDE=360°（∠BAE+∠DCE）（∠ABE+∠CDE）=360°110°×110°=195°，即∠AFB+∠CGD的度