专题27.2相似三角形的判定专项提升训练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】专题27.2相似三角形的判定专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共22题，选择10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•永春县期中）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝ B．∠B＝∠D C．＝ D．∠C＝∠AED【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解析】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．2．（2022秋•虹口区期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么下列判断中，不正确的是（）A．△ADE∽△DBC B．△CDE∽△BCD C．△ADE∽△ACD D．△ADE∽△ABC【分析】由相似三角形的判定方法得出D，C，B正确，A不正确；即可得出结论．【解析】∵点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．故D正确，不符合题意；∵DE∥BC∴∠B＝∠ADE，∵∠B＝∠ACD，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，故C正确，不符合题意；∵DE∥BC∴∠EDC＝∠BCD，∵∠ACD＝∠B，∴△CDE∽△BCD，故B正确，不符合题意；∵△ADE与△DBC不一定相似，故A不正确，符合题意；故选：A．3．（2022秋•普陀区期中）下列说法中，不一定成立的是（）A．所有的等边三角形都相似 B．有一个钝角相等的两个等腰三角形相似 C．腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似 D．两边对应成比例的两个直角三角形相似【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可．【解析】A、所有的等边三角形都相似一定成立；B、有一个钝角相等的两个等腰三角形相似一定成立；C、腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似一定成立；D、两边对应成比例的两个直角三角形相似不一定成立，故选：D．4．（2022秋•南岸区校级期中）下列结论错误的是（）A．若∠ABC＝∠ADE，则△ABC∽△ADE B．若＝，则△ABC∽△ADE C．若＝，则△ABC∽△ADE D．若＝＝，则△ABC∽△ADE【分析】根据相似三角形的判定方法：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可．【解析】A、∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，正确，不符合题意；B、∵∠A＝∠A，，∴△ABC∽△ADE，正确，不符合题意；C、由∠A＝∠A，，不能得出△ABC与△ADE相似，错误，符合题意；D、∵＝，∴△ABC∽△ADE，正确，不符合题意；故选：C．5．（2022秋•宝安区校级期中）如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD•AB；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用相似三角形判定方法依次判断可求解．【解析】若∠ACB＝∠B，且∠A＝∠A，可证△ABC∽△ACD，若AC2＝AD•AB，且∠A＝∠A，可证△ABC∽△ACD，若，且∠A＝∠A，不能证△ABC∽△ACD，若∠B＝∠ACB，且∠A＝∠A，不能证△ABC∽△ACD，故选：B．6．（2022秋•通州区期中）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．【解析】A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，∴△DEC∽△ABC，故A不符合题意；B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△CDE∽△CBA，故B不符合题意；C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，∵，，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，故C不符合题意；D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，故D符合题意，故选：D．7．（2022秋•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（）A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA C．＝ D．CE•AB＝BE•CA【分析】由“SSS”可证△ABE≌△ADE，可得∠ABE＝∠ADE＝90°，可证△ABC∽△EDC，可得结论．【解析】由题意可得AB＝AD，AP平分∠BAC，∴AE垂直平分BD，∴BE＝DE，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SSS），∴∠ABE＝∠ADE＝90°，∴∠CDE＝90°＝∠ABE，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∴CE•AB＝DE•CA＝BE•CA，故选：D．8．（2022秋•固镇县校级期中）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M，BE与AC相交于点F，连接AP，下列结论错误的是（）A．△BAE∽△CAD B．MP：MA＝ME：MD C．∠EAC＝∠APC D．∠CPB＝60°【分析】先证明△BAE∽△CAD，△EMP∽△DMA，由相似三角形的性质依次判断可求解．【解析】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴CA＝AB，AD＝AE，∠AED＝∠ABC＝90°，∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠DAE+∠EAC＝∠CAB+∠EAC，∠EAC＝90°，∴∠DAC＝∠EAB，∵＝，∴△BAE∽△CAD，故选项A不符合题意；∵△BAE∽△CAD，∴∠AEB＝∠ADC，∵∠PME＝∠AMD，∴△EMP∽△DMA，∴，故选项B不符合题意；∵∠AEB＝∠ADC，∴点A，点P，点E，点D四点共圆，∴∠APD＝∠AED＝90°＝∠EAC，∠EPD＝∠EAD＝45°＝∠BPC，故选项C不符合题意，选项D符合题意，故选：D．9．（2022秋•海淀区校级期中）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下说法错误的是（）A．∠EAB＝∠GAD B．△FAC∽△GAD C．DG⊥AC D．3FG2＝AH•AC【分析】由正方形的性质可得∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，可得∠EAB＝∠DAG，可判断选项A；由，∠FAC＝∠DAG，可证△FAC∽△DAG，可判断选项B；通过证明△AFH∽△ACF，可得，可判断选项D；由相似三角形的性质可得∠ADG＝∠ACB＝45°，可得∠AND＝90°，可判断选项C；即可求解．【解析】∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，∴∠EAB＝∠DAG，故选项A正确；∵AF＝AG，AC＝AD，∴，∵∠FAG＝∠CAD＝45°，∴∠FAC＝∠DAG，∴△FAC∽△GAD，故选项B正确，∴∠ADG＝∠ACB＝45°，延长DG交AC于N，∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，∴∠AND＝90°，∴DG⊥AC，故选项C正确，∵∠FAC＝∠FAH，∠AFG＝∠ACF＝45°，∴△AFH∽△ACF，∴，∴AF2＝AH•AC，∴2FG2＝AH•AC，故选项D错误，故选：D．10．（2022秋•余杭区校级月考）已知AB＝4，CD＝6，BD＝10，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．无数【分析】分两种情况讨论，当＝或＝时，△PAB和△PCD相似，列出等式求解即可．【解析】∵AB＝4，CD＝6，BD＝10，设BP＝x，则PD＝BD﹣BP＝10﹣x，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴当＝或＝时，△PAB和△PCD相似，当＝时，则＝，解得x＝4，当＝时，则＝，解得x1＝4，x2＝6，∴BP＝4或6，∴满足条件的点P的有2个．故选：B．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•昌平区期中）已知△ABC，AB＝6，AC＝8，点D在边AB上，AD＝2．若要在AC边上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE＝．【分析】根据相似三角形对应边成比例解答即可．【解析】∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝．故答案为：．12．（2022秋•五华区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP＝6+2或6﹣2或6．【分析】分两种情况讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．【解析】①当△APD∽△PBC时，，即，解得：PD＝6+2或PD＝6﹣2；②当△PAD∽△PBC时，，即，解得：DP＝6．综上所述，DP的长度是6+2或6﹣2或6．故答案是：6+2或6﹣2或6．13．（2022秋•泌阳县校级月考）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E为AD边中点，点P为射线BC上一动点，过点P作PQ⊥BE，当△BAE与△PQE相似时，BP的长度为1或．【分析】分两种情形：如图1中，当点P是BC的中点，时，△BAE∽△EQP，此时BP＝1．如图2中，当点Q是BE的中点时，△BAE∽△PQE．分别求解即可．【解析】如图1中，当点P是BC的中点时，△BAE∽△EQP，此时BP＝1．如图2中，当点Q是BE的中点时，△BAE∽△PQE．∵AB＝2，AE＝1，∠A＝90°，∴BE＝＝＝，∵BQ＝EQ＝，∵PQ⊥BE，∴PE＝PB，∵△BAE∽△PQE，∴＝，∴＝，∴PE＝，∴PB＝，综上所述，满足条件的BP的值为1或．故答案为：1或．14．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝14，AC＝6，在AC上取一点D，使AD＝2，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，则AE＝或．【分析】本题应分两种情况进行讨论，①△ABC∽△AED；②△ABC∽△ADE；可根据各相似三角形得出的关于AE、AE、AB、AC四条线段的比例关系式求出AE的长．【解析】本题分两种情况：①△ADE∽△ACB，∴AB：AC＝AE：AD，∵AB＝14，AC＝6，AD＝2，∴AE＝；②△ADE∽△ABC，∴AB：AC＝AD：AE，∵AB＝14，AC＝6，AD＝2，∴AE＝，故答案为：或．15．（2022秋•邓州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE面积的最小值为．【分析】由勾股定理可求AC的长，由相似三角形的性质可得＝（）2，则当AD⊥BC时，AD有最小值，即△ADE面积有最小值，由面积法可求AD的长，即可求解．【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∴S△ABC＝×AB•AC＝6，∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2，∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即△ADE面积有最小值，此时，AD＝＝，∴△ADE面积的最小值＝6×（）2＝，故答案为：．16．（2022秋•惠山区期中）如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α＝50、70、160时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．【分析】分DE⊥AB或DE⊥BC或DE⊥AC三种情形，分别画出图形，求出旋转角∠COD的度数即可．【解析】当DE⊥AB时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．连接OC，∵∠ABC＝20°，OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC＝20°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，∴α＝50，当DE⊥BC时，△BOF∽△BCA，∴∠COD＝∠BOD＝70°，∴α＝70，当DE⊥AC时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．∴∠COE＝∠AOE＝∠ABC＝20°，∴α＝∠COD＝160，故答案为：50或70或160．三．解答题（共7小题）17．（2022秋•瑶海区校级期中）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，求证：△ACB∽△AED．【分析】设BD与CE交于点O，首先利用两个角相等可说明△ABD∽△ACE，得，从而证明△ABC∽△ADE．【解答】证明：设BD与CE交于点O，∵BD，CE分别是AC，AB边上的高，∴∠BEC＝∠BDC，∵∠BOE＝∠COD，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴，∴，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE．18．（2022秋•射阳县月考）如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，求DP长．【分析】设DP＝x，利用矩形的性质得到BC＝AD＝2，CD＝AB＝5，∠D＝∠C＝90°，则根据相似三角形的判定方法，当＝时，△DAP∽△CBP，＝；当＝时，△DAP∽△CFB，即＝，然后分别解方程即可．【解析】设DP＝x，∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝5，∠D＝∠C＝90°，∴PC＝5﹣x，∵∠D＝∠C，∴当＝时，△DAP∽△CBP，即＝，解得x＝；当＝时，△DAP∽△CFB，即＝，解得x1＝1，x2＝4，综上所述，DP的长为或1或4．19．（2022秋•铁西区校级月考）已知△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长．【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出方程可求解．【解析】∵点M为AB的中点，AB＝2，∴AM＝BM＝，当＝时，且∠BAC＝∠MAN，则△AMN∽△ABC，∴，∴＝，∴MN＝3；当时，且∠BAC＝∠MAN，则△ANM∽△ABC，∴，∴＝，∴MN＝，综上所述：MN的长为3或．20．（2022春•宁阳县期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．（1）求证：PE•PF＝PC2．（2）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC．【分析】（1）根据菱形的性质，首先利用SAS证明△CDP≌△ADP，得PC＝PA，∠DCP＝∠DAP，再说明△PAE∽△PFA，得，即可证明结论；（2）根据菱形的性质可说明∠COP＝∠CEA，从而证明结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠CDP＝∠ADP，CD∥AB，在△CDP和△ADP中，，∴△CDP≌△ADP（SAS），∴PC＝PA，∠DCP＝∠DAP，∵CD∥AB，∴∠DCP＝∠F，∴∠DAP＝∠F，∵∠APE＝∠FPA，∴△PAE∽△PFA，∴，∴PA2＝PE•PF，∴PE•PF＝PC2；（2）∵CE⊥BC，∴∠ECB＝90°，∵AD∥BC，∴∠CEA＝∠BCE＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COP＝90°，∴∠COP＝∠CEA，∵∠OCP＝∠ECA，∴△POC∽△AEC．21．（2022秋•固镇县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝8cm、AC＝10cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为ts．（1）则AP＝2tcm；AQ＝（10﹣3t）cm（用含t的代数式表示）；（2）求运动时间t的值为多少时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？【分析】（1）根据题意即可求解；（2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可．【解析】（1）∵点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，∴AP＝2tcm，∵AC＝10cm，点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，∴CQ＝3tcm，∴AQ＝AC﹣CQ＝（10﹣3t）cm．故答案是：2tcm，（10﹣3t）cm；（2）∵点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，∴AP＝2t，CQ＝3t，AQ＝10﹣3t，∵∠BAC＝∠PAQ，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，∴或，∴或．∴t＝或．故答案为：或．22．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF＝