专题2.4直线与圆的位置关系章末拔尖卷（浙教版）

第2章直线与圆的位置关系章末拔尖卷【浙教版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=6，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，点F是优弧GE上一点，∠CDE=18°，则∠GFE的度数是（）

A．50° B．48° C．45° D．36°【答案】B【分析】连接AD，根据切线的性质得到AD⊥BC，根据垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到∠B=30°，根据三角形的内角和定理得到∠GAD=60°，根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠ADE=72°，根据圆周角定理即可解答．【详解】解：连接AD，∵BC与⊙A相切于点D，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AB=6，∴AD=7∴∠B=30°，∴∠GAD=60°，∵∠CDE=18°，∴∠ADE=90°−18°=72°，∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=72°，∴∠DAE=180°−∠ADE−∠AED=180°−72°−72°=36°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+36°=96°，∴∠GFB=1故选：B．

【点睛】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识点，正确的识别图形是解题的关键．2．（3分）（2023春·海南·九年级校联考期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，过点C的切线交AB的延长线于点D，连接OC，若AC=DC，则∠A的度数是（

）

A．25° B．26° C．28° D．30°【答案】D【分析】先由切线的性质求得∠OCD=90°，再由等腰三角形的性质得出∠A=∠D，∠A=∠OCA，然后由∠A+∠D+∠ACD=180°，即3∠A+90°=180°，即可求得∠A的度数．【详解】解：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵AC=DC，∴∠A=∠D，∵OC=OA，∴∠A=∠OCA，∵∠A+∠D+∠ACD=180°，∴∠A+∠D+∠OCA+∠OCD=180°，∴3∠A+90°=180°，∴∠A=30°．故选：D．【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．3．（3分）（2023秋·湖北武汉·九年级校考期中）如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上一点，连接AC，BC．若∠P=60°，∠MAC=75°，AC=3+1，则BC为(

A．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】连接OA、OC，过A点作AH⊥OC于H，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得到∠OAM=90°，则∠OAC=∠OCA=15°，再计算出∠AOH=30°，则可表示出AH=12OA=12r，OH=3【详解】解：连接OA、OC，过A点作AH⊥OC于H，如图，

设⊙O的半径为r，∵PM与⊙O相切于A点，∴OA⊥PM，∴∠OAM=90°，∵∠MAC=75°，∴∠OAC=15°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=15°，∴∠AOC=150°，∴∠AOH=30°，∴在Rt△AOH中，AH=12∴CH=r+3在Rt△ACH中，AH2解得r=2即⊙O的半径为2，

连接OB，如图所示，

∵PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，∠P=60°，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°−∠P−∠PAO−∠PBO=360°−60°−90°−90°=120°，∵∠AOC=150°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC=O故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是关键．4．（3分）（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．【问题解决】如图，现有一块边长为20m的正方形空地ABCD，在AB边取一点M，以MB长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点C划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形ABCD位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（

A．180m2 B．1103m2 【答案】C【分析】当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，由切线长定理得到CH=CB=20m，PA=PH，由勾股定理列出关于PA的方程，求出PA【详解】解：当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，PC与半圆相切于H，交AD于P，∵四边形ABCD是正方形，∴PA⊥AB，∴PA，∴CH=CB=20m设PA=xm，则PH=x在Rt△PDC中，P∴x+202∴x=5，∴PA=5m∴娱乐区的最大面积=梯形ABCP的面积=1故选：C．【点睛】本题考查切线的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是掌握切线长定理．5．（3分）（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=23，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点AA．27 B．33 C．27【答案】C【分析】连接OE、OF，根据正切的定义求出∠ABO，根据切线长定理得到∠OBF=30°，根据含【详解】当⊙O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值，设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，则OE⊥BC，OF⊥AB，∵AC=6，BC=23∴tan∠ABC=ACBC=∴∠ABC=60°，∠OBF=30°，∴BF=OF∴AF=AB−BF=33∴OA=O∴AD=2故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、切线长定理，根据题意得出AD为点A到⊙O上点的距离的最大值是解题的关键．6．（3分）（2023春·九年级统考期中）如图，已知AT切⊙O于点T，点B在⊙O上，且∠BOT=60°，连接AB并延长交⊙O于点C，⊙O的半径为2．设AT=m．①当m≠233时，②若m=2，则AC=6③当m=233时，AB与⊙OA．② B．③ C．②③ D．①③【答案】C【分析】连接BT，当△BOC是等腰直角三角形时，即∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=90°．又可判断△BOT是等边三角形，即可求出∠TBA=75°，再根据切线的性质可求出∠BTA=30°，从而由三角形内角和定理求出∠TBA=∠TAB=75°，从而得出TB=TA=2，故①错误；过点A作AD⊥BT．由判断①时可知，当m=2时，∠BTA=30°，TB=TA=OB=OC=2，∠BOC=90°，结合含30度角的直角三角形的性质可求出AD=12AT=1，TD=32AT=3，从而求出BD=BT−TD=2−3，利用勾股定理可求出AB=AD2+BD2=6−2．再利用勾股定理和等腰直角的三角形的性质可求出BC=2OB=22，从而即可求出AC的长，判断②正确；如图，连接OA．由AT=m=233可得出tan∠AOT=ATOT【详解】如图，连接BT．当△BOC是等腰直角三角形时，∴∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=90°．∵∠BOT=60°，OB=OT，∴△BOT是等边三角形，∴∠OBT=∠OTB=∠BOT=60°，∴∠TBA=180°−∠OBC−∠OBT=75°．∵AT切⊙O于点T，∴∠OTA=90°，∴∠BTA=30°，∴∠TAB=180°−∠TBA−∠BTA=75°，∴∠TBA=∠TAB，∴TB=TA=2，即当m=2时△BOC是等腰直角三角形，故①错误；如图，过点A作AD⊥BT．由判断①可知，当m=2时，∠BTA=30°，TB=TA=OB=OC=2，∠BOC=90°，∴AD=12AT=1∴BD=BT−TD=2−3∴AB=A∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=2∴AC=AB+BC=6如图，连接OA．当AT=m=233∴∠AOT=30°，∴OA垂直平分TB，∴∠AOT=∠AOB=30°，∠OAT=∠OAB，又∵AT与⊙O相切，∴∠ATO=90°，∴∠ATB=30°，∴∠OAT=∠OAB=60°，∴∠AOB+∠OAB=90°，∴∠ABO=90°，∴AB与⊙O相切，故③正确；综上可知②③正确，故选C．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题的关键．7．（3分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠BAC=50°，则∠BOC的度数为（

）

A．100° B．115° C．120° D．130°【答案】B【分析】由三角形内切圆定义可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°−65°=115°．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆．关键是要知道三角形内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点．8．（3分）（2023秋·天津·九年级校考期末）如图，点I和O分别是ΔABC的内心和外心，若∠AIB=125°，则∠AOB=（

）A．120° B．125° C．135° D．140°【答案】D【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系可进一步得出结论．【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=1∴∠AIB=180°（∠IAB+∠IBA）=180°12=180°12（180°=90°+12∵∠AIB=125°∴∠C=70°，∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB=2∠C=140°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质，正确利用∠C表示∠AIB的度数是关键．9．（3分）（2023秋·四川自贡·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=3，AC=2.25，点D是BC边上的一点，AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么r1r2A．2 B．1.25 C．1.5 D．4【答案】C【分析】如图，根据切线长定理可得AE=AG，BE=BF，DG=DF，根据已知条件可得AE=AG=BE=BF=1.5，再根据三角形的面积S△ABD：S△ADC=BD：DC=2：1即可求解．【详解】解：如图，设⊙O与△ABD内切于E、F、G．∴DG=DF，AE=AG，BE=BF，∵DA=DB，∴BF=AG=BE=AE，∵AB=3，∴AE=BE=BF=AG=1.5，设DF=DG=m，∵AD=2DC，∴CD=∵S△ABD：S△ADC=BD：DC=2：1，∵l△ABD∴∴(6+2m)⋅∴r1：r2=3：2=1.5故选：C．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的面积公式：:S=110．（3分）（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，已知⊙C的半径为2，正三角形ABC的边长为6，P为AB边上的动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（

）A．5 B．34 C．210 【答案】A【分析】连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理求出PQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可．【详解】解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∴PQ=C当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=∴CH=6∴PQ的最小值为：33故选：A．【点睛】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023春·山东济宁·九年级统考期中）如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=12,CD是腰AB上的高，点O是线段CD上一动点，当半径为3的⊙O与△ABC的一边相切时，OC的长是．

【答案】5或33【分析】过点A作AH⊥BC于H，过点D作DM⊥BC于M，根据勾股定理求出AH，利用面积法求出CD，计算出BD,DM，再分两种情况：①当⊙O与BC边相切时，②当⊙O与AB边相切时，根据切线的性质及相似三角形的判定和性质分别求解．【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DM⊥BC于M，

∵AB=AC=10,BC=12，AH⊥BC，∴BH=CH=6，∴AH=A∴CD=∴BD=B∴DM=BD⋅CD①当⊙O与BC边相切时，连接切点N与圆心O，则ON⊥BC，∴DM∥∴△CDM∽△CON，∴OC即OC9.6∴OC=5；②当⊙O与AB边相切时，过圆心O作OE⊥BC于E，则OD⊥AB，

∴OC=CD−OD=9.6−3=6.6．故答案为：5或6.6．【点睛】此题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．12．（3分）（2023秋·山东德州·九年级统考期中）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=1∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．故答案为：60．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．13．（3分）（2023秋·湖北荆门·九年级统考期末）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD、DC上两点E，F，且EF是⊙O的切线，当△BEF的面积为94时，则⊙O的半径r是

【答案】3【分析】设正方形的边长为2a，则AM=DM=DG=CG=a，设ME=NE=x，NF=FG=y，则DE=a−x，DF=a−y，EF=x+y，利用勾股定理得出ax+ay+xy=a2，再由S△BEF=S正方形ABCD【详解】解：设⊙O与AD相切于M，与EF相切于N，与CF相切于G，设正方形的边长为2a，∴AM=DM=DG=CG=a，设ME=NE=x，NF=FG=y，在Rt△DEF∵DE=a−x，DF=a−y，EF=x+y，∴x+y∴ax+ay+xy=a∵S∴4a∴∴a2∵a>0，∴a=3∵AB=2a∴⊙O的半径为32故答案为：32【点睛】本题考查了圆的切线的性质，以及勾股定理等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键．14．（3分）（2023秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，那么这个三角形内切圆的半径为【答案】2【分析】根据题意，作出图形，设半径为r，则OD=OE=OF=r，根据勾股定理得出AC=6，通过证明四边形ODCE为正方形结合切线长定理可得AF=AD=6−r，BF=BE=8−r，最后根据AB=BF+AF=10，列出方程求解即可．【详解】解：根据题意，作出图形，如下图：设半径为r，则OD=OE=OF=r，由勾股定理可得：AC=B由题意可得：OD⊥AC、OE⊥BC、OF⊥AB，∴∠C=∠ODC=∠OEC=90°，∴四边形ODCE为矩形，又∵OD=OE，∴矩形ODCE为正方形，∴CD=CE=OD=r，则AD=6−r，BE=8−r，由切线长定理可得：AF=AD=6−r，BF=BE=8−r，∴6−r+8−r=10，解得r=2，这个三角形内切圆的半径为2故答案为：2．【点睛】此题考查了圆切线的性质以及切线长定理，涉及了勾股定理以及正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形内切圆的定义，正确画出图形，灵活运用相关性质进行求解．15．（3分）（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧BC上任意一点（不与B，C重合），AH=1，CH=2．延长线段BM交DC的延长线于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CE于点F，则OC=，HE⋅HF=．【答案】2.54【分析】连接OC，设OC=r，在Rt△COH中，利用勾股定理求出OC；由△EHM∽△NHF，推出HEHN=HMHF【详解】解：连接OC．∵CD⊥AB，∴∠CHO=90°，设OC=r，则OH=r−1，在Rt△COH中，∵CH=2∴r2∴r=2.5，即OC=2.5；连接AM．∵AB是直径，∴∠AMB=90°，∴∠MAB+∠ABM=90°，∵∠E+∠ABM=90°∴∠E=∠MAB∴∠MAB=∠MNB=∠E∵∠EHM=∠NHF，∴△EHM∴HE∴HE•HF=HM•HN∵HM•HN=AH•HB∴HE•HF=AH•HB=1×5−1故答案为：2.5，4【点睛】本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．16．（3分）（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，△ABC内接于⊙O，BC>AC，AC=43，连接CO并延长至点E，使∠EAC=∠ABC=60°（1）⊙O的半径为．（2）若BC=215，则BE的长为【答案】46【分析】（1）连接OA，过点O作OM⊥AC，根据圆周角定理、垂径定理及等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA=30°（2）连接OB，过点O作OD⊥BC，过点E作EF⊥BD，利用角的等量代换得出∠AEC=90°，再由正弦函数确定OE=2【详解】解：（1）连接OA，过点O作OM⊥AC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，OM⊥AC，∴∠OAC=∠OCA=30°∵cos∠OCM=∴OC=CM∴⊙O的半径为4；（2）连接OB，过点O作OD⊥BC，过点E作EF⊥BD，如图所示：∵∠EAC=60°，∠OAC=30°∴∠EAO=30°∵∠EAC=60°，∠OCA=30°∴∠AEC=90°∵sin∠EAO=∴OE=OA⋅sin∠∴CE=CO+OE=6，∵OD⊥BC，∴BD=CD=1∴OD=OC∵∠ODC=∠EFC=90°∴△DCO∽△FCE，∴DCFC=OD∴FC=3152∴BF=215∴BE=BF故答案为：①4；②6．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及解三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023·浙江·模拟预测）如图，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，过F作BC的平行线分别交直线DA，DE于点H，【答案】见解析【分析】首先过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点P、Q．根据切线的性质定理、两直线平行内错角相等的性质、对顶角相等，可证得∠APF=∠AFP．进而得到PA=AF，同理可证得AQ=AE，因而AP=AQ．再根据相似三角形的性质，对应边成比例，问题得解．【详解】证明：过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点P、Q，

∵△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，∴BD=BF，AF=AE，CD=CE，∴∠BDF=∠BFD，又∵AP∥∴∠APF=∠BDF，又∵∠AFP=∠BFD∴∠APF=∠AFP，∴PA=AF，同理AQ=AE，又∵AF=AE，∴PA=AQ，∵AP∥BD，∴AP∴△APD∽△HFD，∴HFAP同理HGAQ∴HFAP∴HF=HG．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、切线长定理．解决本题的关键是证明PA=AQ，再根据相似证得最终结论．18．（6分）（2023秋·湖北武汉·九年级校考期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．

(1)求证：AB=AC．(2)若BD=9，DE=1，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)CD=7【分析】（1）根据AD平分∠BDF，得∠ADF=∠ADB，根据圆内接四边形的性质，得∠ABC+∠ADC=180°，进而得∠ABC=∠ADF，根据同弧所对的圆周角相等，得∠ACB=∠ADB，再根据等角对等边，即可证明AB=AC；（2）过点A作AG⊥BD于点G，得∠AGD=90°，根据AD平分∠BDF，得∠ADF=∠ADB，再根据AE⊥CD，AD是公共边，得△AGD≌△AED，得到GD=ED，AG=AE；又根据AB=AC，得Rt△AEC≌Rt△AGB，得BG=CE；最后根据BG=BD−GD【详解】（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF=∠ADB，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADF=180°，∴∠ABC=∠ADF=∠ADB，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC．（2）解：过点A作AG⊥BD于点G，

∴∠AGD=90°，∵AD平分∠BDF，∴∠ADF=∠ADB，∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，在△AGD和△AED中，∠AGD=∠AED=90°∠ADF=∠ADB∴△AGD≌∴GD=DE=1，AG=AE，在Rt△AEC和RtAE=AGAB=AC∴Rt∴CE=BG，又∵BD=9，DE=1，∴BG=BD−GD=9−1=8，∴CE=8，∵CD=CE−ED=8−1=7，∴CD=7．【点睛】本题考查圆的综合应用，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，圆周角的性质，全等三角形的判定与性质等．19．（8分）（2023秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB于点H，若BC=8，EH=4，求【答案】(1)见解析；(2)5；【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠ABE再证得OE∥BC，根据平行线的性质和切线的判定即可解答；（2）先证明Rt△CBE≅Rt△HBE，再根据勾股定理列方程求解即可；【详解】（1）证明：连接OE∵BE平分∠ABC∴∠CBE=∠ABE又OB=OE∴∠ABE=∠BEO∴∠CBE=∠BEO∴OE∥BC，又∠C=90°，即AC⊥BC∴OE⊥AC∴AC是⊙O的切线（2）∵BE平分∠ABC,AC⊥BC,EH⊥AB∴CE=EH,∵BE=BE,∴Rt△CBE≅Rt△HBE(∴CB=HB=8,设OE=OB=r,∴HO=BH−OB=8−r,∵O∴解得：r=5故⊙O的半径为5【点睛】本题主要考查了切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质勾股定理，掌握切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题关键．20．（8分）（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，BC为⊙O的直径，A为⊙O上一点，作∠BAC的平分线交⊙O于点D．过点D作⊙O的切线，交AC的延长线于点E．

(1)求证：DE∥(2)若AB=8，AC=6，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)35【分析】（1）如图1，连接OD，根据切线的性质可得：∠ODE=90°，由BC为⊙O的直径，可得∠BAC=90°，再由AD平分∠BAC，可得∠BAD=45°，再利用圆周角定理可得∠BOD=90°，再运用平行线的判定即可得结论；（2）如图2，过点C作CF⊥DE于点F，连接OD，运用勾股定理求得BC=10，可得：OC=OD=5，再证明四边形OCFD是矩形，可得：CF=OD=5，DF=OC=5，再证明△CEF∽△BCA，可求得EF=15【详解】（1）证明：如图1，连接OD，

∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∵BD=∴∠BOD=2∠BAD=2×45°=90°，∴∠BOD=∠ODE，∴DE∥（2）解：如图2，过点C作CF⊥DE于点F，连接OD，

∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=A∴OC=OD=5，由（1）知：∠ODE=∠BOD=90°，∴∠COD=180°−∠BOD=90°，∵CF⊥DE，∴∠CFD=∠CFE=90°，∴∠COD=∠ODE=∠CFD=90°，∴四边形OCFD是矩形，∴CF=OD=5，DF=OC=5，∵DE∥∴∠E=∠ACB，∵∠CFE=∠BAC=90°，∴△CEF∽∴EFAC=∴EF=15∴DE=DF+EF=5+15【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．21．（8分）（2023·福建南平·统考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AC是对角线，点E在BC的延长线上，且∠CED=∠BAC．

(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB=4，AD=2，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接BD，根据四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，得出BD是⊙O的直径，得出∠CED+∠CDE=90°，证明∠CED=∠BDC，得出∠BDE=90°，证明DE⊥OD，即可证明结论；（2）设BD与AC交于点H，证明∠BHC=∠BDE=90°，得出BD⊥AC，证明△FAD∽△FCB，得出AFCF【详解】（1）证明：连接BD，如图1，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上，∴∠BCD=90°，∴∠CED+∠CDE=90°，∵∠CED=∠BAC，又∵∠BAC=∠BDC，∴∠CED=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，即∠BDE=90°，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）证明：如图2，BD与AC交于点H，

∵DE∥∴∠BHC=∠BDE=90°，∴BD⊥AC，∵BD是⊙O的直径，∴AH=CH，∴BD垂直平分AC，∴BC=AB=4，CD=AD=2，∵∠FAD=∠FCB=90°，∠F=∠F，∴△FAD∽△FCB，∴AFCF∴CF=2AF．【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．22．（8分）（2023·江西吉安·校考模拟预测）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，D是直径AB下方一点，且AD=BD，连接CD交AB于点

(1)如图1，若∠A=30°，则∠CEB=；(2)如图2，P是AB延长线上一点，连接PC，且PC=PE．①求证：PC与⊙O相切；②若⊙O的半径为1，CE=CB，求PB的长．【答案】(1)75°；(2)①证明见解析；②PB=2【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角，得到∠ACB=90°，再利用等弧所对的圆周角相等，得到∠ACD=∠BCD=45°，然后利用三角形外角的性质，即可求出∠CEB的度数；（2）①连接OC，根据等边对等角的性质，得出∠PCB=∠OCA，再利用∠OCA+∠OCB=90°，得到∠OCP=90°，即可证明结论；②根据等边对等角的性质，得出∠CEB=∠CBE=∠OCB，再利用三角