专题28.4锐角三角函数（章节复习能力强化卷）学生版

20232024学年人教版数学九年级下册章节知识讲练专题28.4锐角三角函数（章节复习+能力强化卷）知识点1：锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切的定义

如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：

(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.

细节剖析：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是，它只是一个，其大小只与有关，而与所在无关.

(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个，书写时习惯上省略符号，

但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.

(4)三角函数有时还可以表示成等.

2.锐角三角函数的定义

锐角A的都叫做∠A的锐角三角函数.

细节剖析：1.函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

2．锐角三角函数之间的关系：

余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=；cosA=

同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1

30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.

知识点2：解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；

边边关系：勾股定理，即；

边角关系：锐角三角函数，即

细节剖析：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

(1)已知两条边(；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角()．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．

知识点3：解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

2.常见应用问题

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角与俯角：

细节剖析：1．解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC

两

边两直角边(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

角一直角边

和一锐角锐角、邻边

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，锐角、对边

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，

2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．

当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．

3．锐角三角函数的应用

用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：

∵

∴

∵

∴

∵

∴一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•南湖区校级月考）如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB＝1.6m，则OC的长为（）m．A．0.8cos20° B．0.8sin20° C． D．2．（2分）（2023•岱岳区校级开学）在△ABC中，若三个内角∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则sinA：sinB等于（）A．1：2 B．1： C．1：3 D．2：3．（2分）（2023•岳麓区一模）某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度AC为3米，登高梯与地面的夹角∠ACB为72°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为（）A．3sin72°米 B．米 C．3cos72°米 D．米4．（2分）（2022秋•岱岳区校级期末）如图，小明为了测量门口一棵大树的高度，他自制一个Rt△DEF纸板测量大树AB的高度，已知tan∠EDF＝0.5，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝13m，则树AB的高度是（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m5．（2分）（2023•海港区一模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）A． B． C．2 D．6．（2分）（2023•吉林模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，已知AB＝2，AD＝8，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．2sinx+8sinx B．2cosx+8cosx C．2sinx+8cosx D．2cosx+8sinx7．（2分）（2023春•江岸区校级月考）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则sinα的值为（）A． B． C． D．8．（2分）（2023春•宁阳县期末）现在导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（）A．千米 B．千米 C．千米 D．5千米9．（2分）（2023春•江岸区校级月考）如图，某雕塑MN位于河段OA上．游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走；已知∠AOB＝30°，OM＝20m，MN＝40m．当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是（）A．30m B．m C．20m D．60m10．（2分）（2023•泰山区校级三模）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（）（参考数据：，，）A．米 B．米 C．56米 D．66米二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•惠州二模）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB＝．12．（2分）（2023•丰顺县一模）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝100m，则这名滑雪运动员的高度下降了米．13．（2分）（2023秋•二道区校级月考）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠ABC的值为．14．（2分）（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．15．（2分）（2023•大连模拟）如图，已知∠ABC＝90°，∠C＝30°，∠EAB＝150°，DC＝AE．若AB＝1，DB＝3，则DE的长为．16．（2分）（2022秋•海港区校级期末）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为i＝1：3，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为米．17．（2分）（2023•黄石）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为米．（参考数据：tan37°≈，tan47.4°≈）18．（2分）（2023•黄石）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为km（结果保留π）．19．（2分）（2023•牡丹江）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为cm．20．（2分）（2023•平顶山模拟）如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为米．（结果精确到1米，参考数据）三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•通河县期末）如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东45°）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔船C位于点B的北偏东15°方向上．（1）求∠ACB的度数；（2）轮船收到求救信号后，立即沿BC以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？22．（6分）（2023秋•二道区校级月考）长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点A处测得拉索AB与水平桥面的夹角是39°，点A处距离大桥立柱CD底端D的距离AD为96米，已知大桥立柱上B点距立柱顶端C点的距离BC为5米，求大桥立柱CD的高．（结果精确到1米）[参考数据：sin39°≈0.63，cos39°～0.78，tan39°≈0.81]23．（8分）（2023•大庆三模）如图1是一种平板支架，由托板、支撑板和底座构成，放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝130mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，，结果保留一位小数）．24．（8分）（2023•咸丰县一模）如图1是咸丰县乡镇区划图其中一部分，唐崖镇到朝阳镇的“唐朝旅游公路”今年顺利通车了，车程由过去的1个多小时缩短至15分钟左右，直线距离AB为19km．测得曲江镇位于朝阳寺镇正东方向，唐崖镇位于朝阳寺镇北偏东40.5°方向，唐崖镇位于曲江镇北偏西21°方向．求唐崖镇到曲江镇的直线距离AC．（结果保留整数，参考数据：sin49.5°≈0.76，cos49.5°≈0.65，tan49.5°≈1.17，sin69°≈0.9）25．（8分）（2023•唐河县模拟）如图，在郑州世纪欢乐园，有一座直径120米的摩天轮“伦敦之眼”，旋转1周用时30min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光．（1）10min后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在（1）中所求的高度以上，会持续多长时间？26．（8分）（2023•滨海县模拟）如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠A