专题15一元一次方程的实际应用几何问题综合题

专题15一元一次方程的实际应用—几何问题（综合题）易错点拨易错点拨知识点：水箱变高了（等积变形问题）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.常用的面积、体积公式：长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽长方体的体积公式：长×宽×高正方形的周长公式：边长×4；面积公式：边长×边长正方体体积公式：边长×边长×边长圆的周长公式：C=；面积公式：；圆柱的体积公式：V柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V锥=×底面积×高细节剖析：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.易错题专训易错题专训一、选择题1．（2021七上·普宁期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为（）A．16 B．20 C．80 D．160【答案】C【规范解答】解：设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是4cm，第二次剪下的长条的长是（x﹣4）cm，宽是5cm，则4x＝5（x﹣4），去括号，可得：4x＝5x﹣20，移项，可得：5x﹣4x＝20，解得x＝204x＝4×20＝80（cm2）所以每一个长条面积为80cm2．故答案为：C．

【易错思路引导】设原来正方形纸的边长是xcm，根据题意两次剪下的长条面积正好相等列方程，解方程即可。2．（2021七上·上虞期末）如图是一纸条的示意图，第1次对折，使A，B两点重合后再打开，折痕为l1；第2次对折，使A，C两点重合后再打开，折痕为l2；第3次对折，使B，D两点重合后再打开，折痕为l3.已知CE=2cm，则纸条原长为（）cmA．18 B．16 C．14 D．12【答案】B【规范解答】解：由折叠可知：点C是AB中点，点D是AC中点，点E是BD中点，设AB=x，∵CE=2cm，∴AC=BC=x，AD=CD=x，DE=BE=x2，而DE=CD+CE=x+2，∴x2=x+2，解得：x=16，即AB=16cm，故答案为：B.【分析】根据折叠得到点C是AB中点，点D是AC中点，点E是BD中点，设AB=x，用两种方法表示出DE，依此建立关于x的方程求解，即可解答.3．（2021七上·盐田期末）如图，直线AB，CD相交于点O，AOC30，OE⊥AB，OF是AOD的角平分线．若射线OE，OF分C别以18/s，3/s的速度同时绕点O顺时针转动，当射线OE，OF重合时，至少需要的时间是（）A．8s B．11s C．s D．13s【答案】D【规范解答】∵∠BOD=∠AOC=30゜，OE⊥AB∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90゜+30゜=120゜，∠AOD=180゜∠AOC=150゜∵OF平分∠AOD∴∴∠EOD+∠DOF=120゜+75゜设OE、OF首次重合需要的时间为t秒，则由题意得：18t−3t=120+75解得：t=13即射线OE，OF重合时，至少需要的时间是13秒故答案为：D【易错思路引导】先求出∠DOF=75°，再求出t=13，最后求解即可。4．（2021七上·济宁月考）图①为一正面白色、反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上粘贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图②所示．若图②中白色与灰色区域的面积比为8∶3，图②纸片的面积为33，则图①纸片的面积为（）A． B． C．42 D．44【答案】C【规范解答】解：设每一份为x，则图②中白色的面积为8x，灰色部分的面积为3x，由题意，得8x+3x=33，解得：x=3，∴灰色部分的面积为：3×3=9，∴图（①）纸片的面积为：33+9=42．故答案为：C．【易错思路引导】先求出8x+3x=33，再求出x=3，最后求解即可。5．（2021七上·邹城月考）在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE＝x（cm），依题意可得方程（）A． B．6+2x＝14﹣xC．14﹣3x＝6 D．6+2x＝x+（14﹣3x）【答案】D【规范解答】解：标字母如图所示：设AE=xcm，MD=3xcm，则AM=（143x）cm，∵AB=AN+6=6+2x，MR=AM=（143x）cm，∴AB=AE+MR，即6+2x=x+（143x）故答案为：D．【易错思路引导】先求出AB=AE+MR，再列方程即可。6．（2021七上·路北期中）如图，边长为的正方形纸片，剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成长方形的一边长为3，则另一边长是（）A． B． C． D．【答案】A【规范解答】解：设另一边长为x，根据题意得，3x=（a+3）2a2，解得x=2a+3．故答案为：A．【分析】设另一边长为x，根据图形列出方程3x=（a+3）2a2，求解即可。7．（2021七上·长春期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为（）A．5 B．3或5 C． D．或5【答案】D【规范解答】解：长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，当在上时，当在上时，解得：当在上时，如图，解得：，经检验不符合题意，舍去，所以当△APE的面积为5cm2时，x的值为5s或s，故答案为：D

【易错思路引导】分点P再AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，再根据三角形的面积公式计算即可。二、填空题8．（2022七上·宝安期末）如图，在△ABC中，AB=3cm，BC=6cm，AC=5cm，蚂蚁甲从点A出发，以1.5cm/s的速度沿着三角形的边按A→B→C→A的方向行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以2cm/s的速度沿着三角形的边按A→C→B→A的方向行走，那么甲出发s后，甲乙第一次相距2cm．【答案】4【规范解答】解：设甲出发t秒后，甲乙第一次相距2cm，

∴（1.5t3）[2（t1）5]=2，

∴t=4，

∴甲出发4秒后，甲乙第一次相距2cm，

故答案为：4.

【分析】设甲出发t秒后，甲乙第一次相距2cm，根据题意列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案.9．（2021七上·斗门期末）如图是由六个不同颜色的正方形组成的长方形，已知中间最小的一个正方形A的边长为2，那么正方形B的面积是．【答案】196【规范解答】设小正方形D的边长是x，则正方形C的边长为x，正方形E的边长为x+2，正方形F的边长为x+2+2=x+4，正方形B的边长为x+2+2+2=x+6，根据题意得：3x+2=x+4+x+6，解得：x=8，∴正方形B的边长为x+6=14，∴正方形B的面积是14×14=196．故答案为：196

【易错思路引导】设小正方形D的边长是x，则正方形C的边长为x，正方形E的边长为x+2，正方形F的边长为x+2+2=x+4，正方形B的边长为x+2+2+2=x+6，根据题意列出方程3x+2=x+4+x+6求解即可。10．（2021七上·封开期末）如如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，点P运动的时间为x秒．若x＞4，那么x=秒时，△APE的面积等于5cm2．【答案】5【规范解答】解：∵动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C运动，AB=4cm，又∵x＞4，∴点P在BC上时，∵△APE的面积等于5cm2，∴S长方形ABCDS△CPES△ADES△ABP=5，∴3×4（3+4x）×2×2×3×4×（x4）=5，∴x=5；∴x=5秒时，△APE的面积等于5cm2．故答案为：5．

【易错思路引导】根据动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C运动，AB=4cm，x＞4，得出点P在BC上时，再根据△APE的面积得出S长方形ABCDS△CPES△ADES△ABP=5，代入求出x的值即可。11．（2021七上·南宁月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为30，点M以每6个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过秒，点M、点N分别到点B的距离相等.【答案】【规范解答】解：设经过t秒，点M、点N分别到点B的距离相等，则点M所表示的数为（10+6t），点N所表示的数为2t，①当点B是MN的中点时，有，解得：，②当点M与点N重合时，有，解得：，因此，或，故答案为：或.【易错思路引导】设经过t秒，点M、点N分别到点B的距离相等，则点M所表示的数为（10+6t），点N所表示的数为2t，即①当点B是MN的中点时，②当点N与点M重合时，根据“点M、点N分别到点B的距离相等”分别建立方程求解即可.12．（2021七上·平阳月考）如图1是AD//BC的一张纸条，按图1—>图2—>图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=15°，则图2中∠AEF的度数为.【答案】115°【规范解答】解：如图，设∠B'FE=x，

当纸条沿EF折叠时，

∴∠BFE=∠B'FE=x，∠AEF=∠A'EF，

∴∠BFC=∠BFE∠CFE=x15°，

当纸条沿BF折叠时，

∴∠C'FB=∠CFB=x15°，

∵∠B'FE+∠BFE+∠CFB=180°，

∴x+x+x15°=180°，

解得x=65°，

∵A'D'∥B'C'，

∴∠A'EF=180°∠B'FE=180°65°=115°，

∴∠AEF=115°.

故答案为：115°.

【分析】设∠B'FE=x，根据折叠的性质得∠BFE=∠B'FE=x，∠AEF=∠A'EF，则∠BFC=x15°，再由两次折叠后得到∠CFB=∠BFC=x15°，然后根据平角定义列方程求解，再根据平行线的性质得∠A'EF=180°∠B'FE=115°，最后根据折叠的性质得出∠AEF=115°.13．（2021七上·吴兴期末）如图，一个盛有水的长方体玻璃容器的内底面为边长为4cm的正方形，容器内水的高度为2cm，把一根长方体玻璃棒垂直放入容器中，其中玻璃棒底面为边长是2cm的正方形，则容器内的水将升高cm（假设水不会溢出）.【答案】【规范解答】解：设水升高xcm,

依题意可列方程：,

解得，,

故答案为：.

【易错思路引导】设水升高xcm，再根据体积的计算方法以及前后变化，即可列出方程求解.14．（2020七上·金水月考）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为，容器内水的高度为，把一根半径为的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高cm.【答案】0.5【规范解答】解：设容器内的水将升高xcm，依题意有：π×102×12+π×22（12+x）=π×102（12+x），1200+4（12+x）=100（12+x），1200+48+4x=1200+100x，96x=48，x=0.5.故容器内的水将升高0.5cm.故答案为：0.5.【易错思路引导】设容器内的水将升高xcm，根据等量关系：容器的底面积×容器中水的原来高度+玻璃棒的截面积×（容器中原来水的高度+水面上升的高度）=容器的底面积×（容器中原来水的高度+水面上升的高度），建立关于x的方程，解方程求出x的值.三、解答题15．（2021七上·瑞安期中）如图，用直径为200mm的钢柱锻造成一块长、宽、高分别为350mm，314mm，180mm的长方体坯底板.问应截取钢柱多长？（不计耗损，π取3.14）【答案】解：设截取钢柱xmm，由题意得，3.14×（）2×x＝350×314×180，解得x＝630，答：截取钢柱630mm.【易错思路引导】设截取钢柱xmm，根据两者体积相等可得建立方程，求解即可.16．（2021七上·大洼期末）如图1是边长为6的正方形硬纸版，在每个角上都剪去一个边长相等的小正方形，将其做成如图2的底面周长为16的正方形无盖纸盒，则这个无盖纸盒的高等于多少？【答案】解：由题意可得，底面边长为16÷4=4，设无盖纸盒的高为x，则有4+x+x=6，解得：x=1，答：无盖纸盒的高为1.【易错思路引导】根据底面是正方形可求得底面边长为4，设无盖纸盒的高为x，根据展开图可列出方程，进而解方程即可求解.17．（2021七上·封开期末）已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE．（1）如图①，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数．（2）如图②，当射线OC在直线AB下方时，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数．（3）在（2）的条件下，如图③，在∠BOE内部作射线OM，使∠COM+∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠BOM的度数．【答案】（1）解：∵OC⊥OE，∠COA＝34°，∴∠BOE=180°90°34°=56°；（2）解：∵∠BOE＝130°，∴∠AOE=180°∠BOE＝50°∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOE=25°=∠AOF∵OC⊥OE．∴∠COF=90°∠EOF=65°；（3）解：∵OC⊥OE，∴∠AOC=90°∠AOE=40°设∠BOM的度数为x∴∠COM=∠AOC+∠AOM=40°+180°x=220°x，∠FOM=∠AOM∠AOF=180°x25°=155°x∵∠COM+∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，∴220°x+×50°=2x+155°x解得x=75°∴∠BOM的度数为75°．【易错思路引导】（1）根据垂直的概念求得∠COA＝34°，再根据角的和差列式计算即可；

（2）根据邻补角的概念求得∠AOE的度数，从而利用角的和差列式求解即可；

（3）设∠BOM的度数为x，再根据角的和差及倍数关系列方程求解即可。18．（2021七上·东莞期末）已知线段，点B、点C都是线段AD上的点．（1）如图1，，点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，求EF的长．（2）如图2，若，，点P从B出发向点D运动，运动速度为每秒移动3个单位，运动时间为t秒，点Q为CD的中点，若当，求t的值．【答案】（1）解：∵∴设BC=x，则AB=3x，CD=4x，∴AD=3x+x+4x=80，即x=10，∴AB=30，BC=10，CD=40，∵点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，∴AE=20，DF=20，∴EF=802020=40；（2）解：∵AD=80，AB=10，BC=20，∴CD=801020=50，∵Q为CD的中点，∴CQ=CD=25，AQ=10+20+25=55，t秒后，AP=10+3t，当AP=AQ时，10+3t=55，∴t=15，当AP=AQ时，t的值是15．【易错思路引导】（1）先求出x=10，再根据线段的中点计算求解即可；

（2）根据题意先求出CD=50，再求出AP=10+3t，最后列方程求解即可。19．（2021七上·锦江期末）已知一个长方体合金底面长为80，宽为40，高为60．（1）现要锻压成新的长方体，其底面是边长为40的正方形，则新长方体的高为多少？（2）若将长方体合金锻压成圆柱体，其底面是直径为80的圆，则新圆柱体合金的高为多少？（取3）【答案】（1）解：设新长方体的高为x，

根据