不等式与不等式组02练基础

一、选择题1.老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．你认为其中是不等式的有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】【分析】根据不等式的定义，依次分析即可．【详解】解：∵用不等号表示大小关系的式子叫做不等式，其中常用不等号有：“”，∴属于不等式的为：，共有4个．故选：C【点睛】本题主要考查不等式的定义，用“”或“”或“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．2.若a＞b，则下列不等式变形正确的是（）A.a－2＜b－2 B.2a1＞2b1 C.2a＜2b D.－a+1＞－b+1【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质进行分析判断．【详解】解：A、在不等式a＞b的两边都减去2，不等号的方向不变，即a－2＞b－2，原变形错误，故本选项不符合题意；B、在不等式a＞b的两边同时乘以2，不等号的方向不变，即2a＞2b，两边再同时减去1，不等号的方向不变，即2a－1＞2b－1，原变形正确，故本选项符合题意；C、在不等式a＞b的两边同时乘以2，不等号的方向不变，即2a＞2b，原变形错误，故本选项不符合题意；D、在不等式a＞b的两边同时乘以－1，不等号的方向改变，即－a＜－b，两边再同时加上1，不等号的方向不变，即－a＋1＜－b＋1，原变形错误，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3.若的解集是，则a一定是（）A.非负数 B.非正数 C.负数 D.正数【答案】C【解析】【分析】不等式两边同时除以一个正数，不等式符号不变；不等式两边同时除以一个负数，不等式符号要改变．【详解】解：当时，，与题目不相符当时，，与题目相符故选C【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题关键．4.用不等式表示如图所示的解集，正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可求解．【详解】解：观察数轴可知：向左画又是实心圆，即表示小于或等于1的数，即．故选：D．【点睛】本题考查了不等式解集的数轴表示法，掌握在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示是解答本题的关键．5.x的3倍减5的差不大于1，那么列出不等式正确的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】不大于的含义是小于或等于，再根据语句列不等式即可得到答案．【详解】解：依题意，，故选A．【点睛】本题考查了列一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．6.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．【详解】解：移项得：，合并同类项得：系数化为1得：，故选B．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．7.如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据数轴可得不等式组解集，分别解各选项中的不等式组即可得答案．【详解】∵∴这个不等式组的解集为：，A、解不等式组得：无解，故本选项不符合题意，B、解不等式组得：，故本选项不符合题意，C、解不等式组得：，故本选项不符合题意，D、解不等式组得：，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴得出不等式组的解集，正确得出各选项中的不等式组的解集是解题关键．8.不等式组的最小整数解是（）A.5 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，据此即可写出这个不等式组的最小整数解．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，所以不等式组的解集为，所以，这个不等式组的最小整数解是，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．9.某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁带，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，那么不相同的购买方式共有（）A.4种 B.5种 C.6种 D.7种【答案】C【解析】【分析】本题先由题意找出不等关系列出不等式组为得：，解出即可．【详解】解：设买软件x片，磁盘y盒，x取正整数，得：，，，不相同的选购方式有，共6种方案．故选：C．【点睛】解决本题的关键是根据总价钱得到相应的关系式，易错点是得到整数解的个数．10.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45—55次之间，则最省钱的方式为（）会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）A类5025B类20020C类40015A.购买A类会员年卡 B.购买B类会员年卡C.购买C类会员年卡 D.不购买会员年卡【答案】C【解析】【分析】设一年内在该游泳馆消费的次数为x次，消费为y元，根据各类会员卡的收费标准求出，，，再由确定y的范围即可得答案．【详解】解：设一年内在该游泳馆消费的次数为x次，消费为y元，由题意得，，当时，，，，，由此可见，C类会员年卡消费最低，即最省钱的方式为购买C类会员年卡，故选C．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键．二、填空题11.已知x＜y，则_____（填“＞”、“＜”或“＝”）【答案】＞【解析】【分析】根据不等式的基本性质进行解答即可．【详解】解：∵x＜y，∴，∴．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向发生改变．12.用不等式表示“a与b的2倍的和小于3”：_____．【答案】a+2b＜3【解析】【分析】根据“a与b的2倍的和小于3”，列出不等式即可．【详解】解：依题意得a+2b＜3．故答案为：a+2b＜3．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．13.下列解不等式的过程中，下列步骤：①去分母，得；②去括号，得；③移项、合并同类项，得；④系数化为1，得．其中出现错误的一步是_________；【答案】①【解析】【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤，逐步检查，即可求解．详解】解：，①去分母，得；（漏乘，出现错误）②去括号，得；③移项、合并同类项，得；④系数化为1，得．故答案为①【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1是解题的关键．14.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为_____．【答案】##【解析】【分析】先求出两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组无解得到关于a的不等式，解不等式即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组无解，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了不等式组无解的问题，正确求出两个一元一次不等式的解集是解题的关键．15.某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为_______人【答案】22【解析】【分析】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不等式组，再求解，注意x为整数．【详解】解：设每组预定的学生数为人，由题意得，，解得，是正整数，，故答案为：．【点睛】本题考查一元一次不等式组解实际应用题，读懂题意，找准不等关系列不等式是解决问题的关键．三、解答题16.先阅读下面的解题过程，再解题．已知，试比较与的大小．解：因为，①所以，②故．③（1）上述解题过程中，从步骤________开始出现错误；（2）请写出正确的解题过程．【答案】（1）②（2）2022a＋1＜2022b＋1【解析】【分析】（1）由题意a＞b，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误；（2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解．【小问1详解】由题意得②错误，根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断；故答案为：②；【小问2详解】因为，所以2022a＜2022b，故2022a＋1＜2022b＋1．【点睛】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键．17.解不等式并把解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，再把解集在数轴上表示，即可求解．【详解】解∶，去分母得：，去括号得：，移项合并同类项得：，解得：．把解集在数轴上表示出来，如图：【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．18.解下列方程组：（1）；（2）；（3）解不等式，并写出它的负整数解；（4）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】（1）（2）（3）（4），数轴见解析【解析】【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组；（2）根据代入法解二元一次方程组即可；（3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式；（4）分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．【小问1详解】解：，①+②，得，解得，将代入①中，得，解得，∴方程组的解为；【小问2详解】原方程组可化为，将①代入②中，得，解得，将代入①中，得，∴方程组的解为【小问3详解】∵，∴，，，，则不等式的负整数解为、；【小问4详解】由，得：，由，得：，则不等式组的解集为．将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集，正确的计算是解题的关键．19.解不等式组并写出该不等式组的最小整数解．【答案】不等式组的解集为：该不等式组的最小整数解为【解析】【分析】首先求出不等式组的解，然后可以得到该不等式组的最小整数解．【详解】解：解第一个不等式可得：解第二个不等式可得：∴原不等式组的解集为：∴该不等式组的最小整数解为【点睛】本题考查求不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．20.已知整数x满足不等式和，且满足方程，求代数式的值【答案】【解析】【分析】先解两个不等式得到x的取值范围，再确定整数x的值，代入方程求解a的值，最后代入代数式求值即可．【详解】解：∵，∴，解得：，∵，∴，∴，解得：，∴，∵为整数，∴，把代入，可得：，解得：，∴．【点睛】本题考查的是求解代数式的值，一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，理解题意，逐步求解是解本题的关键．21.关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a．（1）若两个不等式解集相同，求a的值；（2）若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围．【答案】（1）a=1；（2）a≥1．【解析】【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；（2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可．【小问1详解】解：由x+1<7−2x得：x＜2，由−1+x<a得：x＜a+1，由两个不等式的解集相同，得到a+1=2，解得：a=1；【小问2详解】解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，得到2≤a+1，解得：a≥1．【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．22.已知点．（1）若点位于第四象限，它到轴的距离是4，试求出的值：（2）若点位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据点位于第四象限，它到轴的距离是4，可得，求解即可；（2）根据点位于第三象限且横、纵坐标都是整数，得出的值，进而得出答案．【小问1详解】解：∵点位于第四象限，它到轴的距离是4，∴，解得：；【小问2详解】∵点位于第三象限且横、纵坐标都是整数，∴，解得：，∴时，点的坐标为，当时，点的坐标为，综上，点的坐标为或．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标特征是解本题的关键．23.已知关于的二元一次方程组（为常数）．（1）若该方程组的解满足，求的取值范围；（2）若该方程组的解均为正整数，且，直接写出该方程组的解．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据方程组的结构，利用得，代入不等式，解不等式即可求解；（2）根据加减法解二元一次方程组，根据方程组的解均为正整数，且，根据整除，求得的值，进而求得方程组的解．【小问1详解】解：，得，∵该方程组的解满足，∴，解得；【小问2详解】得：解得将代入①得：∵方程组的解均为正整数，且，∴，∴．【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式综合，正确的计算是解题的关键．24.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：（1）笼中鸡、兔各有多少只？（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．问这笼鸡兔最多有多少只鸡？【答案】（1）鸡有23只，兔有12只（2）这笼鸡兔最多有33只鸡【解析】【分析】（1）设鸡有x只，则兔有只，根据鸡有2只脚，兔有4只脚，笼子里面总共94只脚，可得出方程，解出即可；（2）设鸡有x只，兔y只，列出二元一次方程写出整数解即可．【小问1详解】设鸡有x只，则兔有只，由题意得：，解得：，则．答：鸡有23只，兔有12只．【小问2详解】设鸡有x只，兔y只，根据题意得：∴∵笼中鸡兔至少30只且不超过40只∴∴所以笼中有兔7只时，鸡最多有33只；答：这笼鸡兔最多有33只鸡【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题需要明确鸡和兔子都只有一个头，得出两种动物的数量．25.为降低空气污染，福清市公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买型和型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：型型价格（万元/辆）年载客量（万人/年）60100若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元．（1）求，的值；（2）如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由．【答案】（1）（2）购买型公交车8辆，型公交车2辆时总费用最少，理由见解析【解析】【分析】（1）根据“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列方程组求解可得；（2）设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆，根据“总费用不超过1200万元、年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组求解m值，最后求出各方案的总费用进行对比即可．【小问1详解】解：依题意可得：，解得：；【小问2详解】解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，由题意得：，解得：则正整数可取6、7、8，当时，总费用为：（万元）；当时，总费用为：（万元）；当时，总费用为：（万元）；因为，所以，当时，总费用最小，即购买型公交车8辆，型公交车2辆时总费用最少．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找到题目中的等量关系或者不等关系是解题的关键．一、选择题（2022·江苏镇江·中考真题）26.如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且＜，∴，∴A选项的结论不成立；，∴B选项的结论不成立；，∴C选项的结论不成立；，∴D选项的结论成立．故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．（2022·湖南益阳·中考真题）27.若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．【详解】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故选项A不符合题意；B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故选项B不符合题意；C、∵不等式组无解，∴x＝2不这个范围内，故选项C不符合题意；D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．（2022·浙江杭州·中考真题）28.已知a，b，c，d是实数，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的基本性质可判定A正确，举例能判定B、C、D错误．【详解】解：A、∵，，∴．故此选项符合题意；B、∵，，如a=2,b=3,c=d=1，则a+b=5，c+d=2，∴a+b<c+d，故此选项不符合题意；C、∵，，如a=2,b=3,c=d=4，则a+c=24=6，bd=3(4)=1，∴a+c<bd，故此选项不符合题意；D、∵，，如a=2,b=3,则a+b=5,cd=0，∴a+b<cd,故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．（2022·浙江衢州·中考真题）29.不等式组的解集是（）A. B.无解 C. D.【答案】D【解析】【分析】分别解两个不等式得到，然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式，解得，解不等式，解得，不等数组的解集为．故选：D．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．（2022·山东滨州·中考真题）30.把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解①得，解②得，不等式组的解集为，在数轴上表示为：，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题（2022·湖北十堰·中考真题）31.关于的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为_________．【答案】【解析】【分析】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．【详解】解：该不等式组的解集为故答案为：【点睛】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法，数形结合是解题的关键．（2022·浙江绍兴·中考真题）32.关于的不等式的解是______．【答案】【解析】【分析】将不等式移项，系数化为1即可得．详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．（2022·青海·中考真题）33.不等式组的所有整数解的和为______.【答案】0【解析】【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是解集的公共部分，然后确定整数解，然后将各整数解求和即可．【详解】解：解不等式，得：x≥﹣2，解不等式，得：x＜3，则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，所以不等式组的所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2＝0，故答案为：0．【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，正确求解不等式组的解集是解题的关键．（2022·黑龙江绥化·中考真题）34.不等式组的解集为，则m的取值范围为_______．【答案】m≤2【解析】【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．【详解】解：，解①得：，又因为不等式组的解集为x>2∵x>m，∴m≤2，故答案为：m≤2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．（2022·山西·中考真题）35.某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．【答案】32【解析】【分析】设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可；【详解】解：设该商品最多可降价x元；由题意可得，，解得：；答：该护眼灯最多可降价32元．故答案为：32．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．三、解答题（2022·广西·中考真题）36.解不等式2x＋3－5，并把解集在数轴上表示出来．【答案】原不等式的解集为；见解析【解析】【分析】通过移项，合并同类项及不等式的两边同时除以2，进行求解并把解集在数轴上表示出来即可．【详解】移项，得，合并同类项，得，不等式的两边同时除以2，得，所以，原不等式的解集为．如图所示：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，及将解集在数轴上表