概率论与数理统计教学课件5数定律与中心极限定理

研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此要求对随机变量序列的极限进行研究.其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理下面我们先介绍大数定律第五章、大数定律与中心极限定理概率论与数理统计第五章、大数定律与中心极限定理字母使用频率大量的随机现象平均结果的稳定性

大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率生产过程中的废品率概率论与数理统计§5.1大数定律§5.1大数定律阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律。一、大数定律的概率收敛到1，即则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于记作当n趋向无穷时，事件定义1

如果对于任意概率论与数理统计§5.1大数定律概率论与数理统计§5.1大数定律设且在连续，则有结论几个常见的大数定律2.伯努利大数定律1.切比雪夫大数定律3.辛钦大数定律定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）切比雪夫则对任意的ε>0，假设{Xn}是两两不相关的随机变量序列，存在，其方差一致有界，即D(Xi)≤L，i=1,2,…，概率论与数理统计§5.1大数定律i.e.,随机变量序列依概率收敛到0.证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.存在，则对于任给

>0,有设随机变量X的数学期望E(X)和方差概率论与数理统计§5.1大数定律随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.即当n充分大时，差不多不再是切比雪夫大数定律表明，独立随机变偏差很小的概率接近于1.量序列{Xn}，如果方差一致有界，则与其数学期望切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述概率论与数理统计§5.1大数定律推论设随机变量序列{Xn

}独立且都服从同则对于任意恒有一分布，它们的数学期望及方差均存在，即概率论与数理统计§5.1大数定律[注]一般地，我们要求出随机变量X的数学期来估计EX。当n充分大时，偏差不会太大。机变量X的分布时求EX的方法，即用知道EX，上述的推论告诉了我们,在不知随我们往往在不知随机变量X的分布时，希望望，必须知道随机变量X的分布。但实际中，这一点我们将会在数理统计中看到。概率论与数理统计§5.1大数定律即

定理2

(伯努利大数定律)设是重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出即频率依概率收敛于概率则对于任意的现的概率为有概率论与数理统计§5.1大数定律[注]贝努里大数定律从理论上证明了频率的稳定性，即当n很大时，事件A发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小，在应用中，当试验次数很大时，便可以用事间发生的频率来替代事件发生的概率。下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.定理3（辛钦大数定律）设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，且数学期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，辛钦概率论与数理统计§5.1大数定律[注]（1）辛钦大数定律与定理1的推论的区别在，辛钦大数定律与方差无关。（3）贝努里大数定律是辛钦大数定律的特例,而辛钦大数定律在应用中是非常重要的。（2）由于证明辛钦大数定律要用特征函数的知识，故证明略。概率论与数理统计§5.1大数定律§5.2中心极限定理

中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总效应.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.概率论与数理统计§5.2中心极限定理

空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等.概率论与数理统计§5.2中心极限定理观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.概率论与数理统计§5.2中心极限定理现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理,也称列维——林德伯格（Levy－Lindberg）定理.概率论与数理统计§5.2中心极限定理定理1（独立同分布下的中心极限定理）设X1,X2,…,Xn…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,n，则[注]1）证明所需要的知识已超出范围，证明略。概率论与数理统计§5.2中心极限定理3）中心定理还表明：无论每一个随机变量在和的分布中起的作用很微服从什么分布，只要每一个随机变量近似服从正态分布。小，则独立同分布，且它们的数学期2）中心极限定理表明，若随机变量序列都近似服从正态分布.(注意:不一定是即望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,标准正态分布）概率论与数理统计§5.2中心极限定理例1

根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的泊松分布.现随机地取

16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16

只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.概率论与数理统计§5.2中心极限定理例2

计算机在进行加法时，先对每个加数取整数(按四舍五入取最为接近的整数),再相加。设所有加数的取整误差是相互独立的,且它们都服从[-0.5,0.5]上的均匀分布,（1）若将1500个数相加，求误差总和绝对值大于15的概率；（2）至多n个数加在一起，其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9，求n的值。概率论与数理统计§5.2中心极限定理

定理2

(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)

设是重伯努利试验中事件A出现的次数,

又A在每次试验中出现的概率为则对于任意的实数有:概率论与数理统计§5.2中心极限定理[注]1）德莫佛—拉普拉斯定理表明:二项分布以正态分布为极限;3）设随机变量X～当n充分大时,2)棣莫佛－拉普拉斯定理是中心极限定理的特殊情况.概率论与数理统计§5.2中心极限定理

例3

某车间有同型号的机床200部,每部机器开动概率保证不致因供电不足而影响生产?少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的开动时每部机器要耗电能15个单位,问电厂最

的概率为0.7,假定各机床开关是相互独立的,概率论与数理统计§5.2中心极限定理例4

在保险公司里，有10000个同一年龄的人参加人寿保险，在一年里，这些人死亡的概率为0.6%，参加保险的人在一年的头一天交付保险金12元，死亡时，家属可从保险公司领取1000元赔偿金。（2）保险公司亏本的概率是多少？（1）求保险公司一年中获利不少于60000元的概率；