概率论与数理统计教学课件4.3-4协方差与相关系数

前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机向量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的就是协方差与相关系数。§4.3

协方差与相关系数定义1

设X与Y是两个随机变量，且EX，EY均存在，则称E(X-EX)(Y–EY)为X与Y的协

方差，记作COV(X,Y)一、协方差1.基本概念概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数2.简单性质a,b是常数3.计算协方差的一个简单公式性质1：若X与Y独立，则概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数4.随机变量和的方差与协方差的关系若两两独立,，上式化为概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数例5

设随机向量(X,Y)的联合密度函数为：求cov(X,Y)？概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数二、相关系数为随机变量X和Y的相关系数

.定义2

设(X,Y)是二维随机向量,它们的方差

D(X),D(Y)存在,且D(X)>0,D(Y)>0,称

概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数Cauchy-Schwarz不等式：设有R.V.X，Y，且存在，则定义3

若，则称随机变量X与Y是不相关的。否则称X与Y有(线性)相关关系.性质2：若随机变量X与Y相互独立，则X与Y是不相关的；反之若随机变量X与Y是不相关的，未必有X与Y相互独立。定理2

设X与Y是任意两个随机变量,且存在，则例5

设随机向量(X,Y)等可能地取(-2,0),(0,-2),

(2,0),(0,2)四个点，试判断X与Y是否相互独立？X与Y是否不相关？概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数定理3

的充分必要条件是存在常数a，b使得从上述定理可以知道：相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.X与Y不相关；X与Y之间具有完全的线性相关.概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数

注意:

相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图).概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数N(0,16)，且X与Y的相关系数为设2)求X与Z的相关系数例8

设随机变量X、Y分别服从正态分布N(1,9)，1)求EZ及DZ；概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数例7已知随机变量Z服从()上的均匀分布，且X=sinZ，Y=cos(a+Z),

求X与Y的相关系数概率论与数理统计§4.4矩

协方差矩阵一、

矩

协方差矩阵定义1设X和Y是随机变量，若存在，称它为X的k阶原点矩。称它为X的k阶中心矩。称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。若存在，若存在，若存在，概率论与数理统计§4.4矩

协方差矩阵设n维随机变量的二阶混合中心矩都存在，称矩阵为n维随机变量的协方差矩阵二、n维正态分布

定义1

若二维随机变量的联合概率密度为其中是实数,则称服从参数为的二维正态分布,记作称上述的为二维正态概率密度.概率论与数理统计§4.4矩

协方差矩阵

可以证明,若则

也就是说,二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态分布,而且其边缘分布不依赖于参数.因此可以断定参数描述了与之间的某种关系!概率论与数理统计§4.4矩

协方差矩阵二维正态分布的5个参数的概率意义是：定理1二维随机向量(X，Y)服从正态分布，则X

与Y相互独立的充分必要条件是：X与Y是不相关的。注意：一般地两个随机变量相互独立，则这两个随机变量是不相关的，反之不相关的随机变量未必相互独立，而二维正态分布却是：两个随机变量相互独立的充分必要条件是：两个随机变量是不相关的。概率论与数理统计§4.4矩

协方差矩阵利用协方差矩阵，二维正态分布的密度函数可表示为：进一步，n维正态分布的密度函数为其中，是协方差矩阵。概率论与数理统计§4.4矩

协方差矩阵n维正态分布具有以下重要性质：（1）n维随机变量服从n维正态分布的充要条件是的任意线性组合服从一维正态分布.(其中不全为零)（2）若服从n维正态分布，设是的线性函数，则服从k维正态分布。（3）设服从