概率论与数理统计教学课件7.1点估计

点估计

区间估计

估计量的评选标准第七章参数估计概率论与数理统计第七章、参数估计正态总体的区间估计非正态总体的区间估计举例单侧置信区间§7.1

点估计一、基本概念在实际问题中，我们往往知道某个总体服从某个分布，但其中参数未知，即已知总体，其中是总体中的未知参数，则根据样本来对总体的这些未知参数进行估计。概率论与数理统计§7.1点估计所谓点估计，就是由样本构造统计量，来对未知参数进行估计。称为的估计量；当具体抽样为样本观测值时,称为的估计值。概率论与数理统计§7.1点估计点估计的关键就是如何选取估计量二、矩估计1.矩估计的基本思想我们知道，总体分布中的参数均可由其它的相应矩表示。因而对总体未知参数的估计可以根据总体矩的估计来求得。由大数定律可知，当样本容量n趋于无穷大时，样本矩依概率收敛于总体矩。也就是说，当样本容量n充分大时，k阶样本矩与总体k阶矩的差异相差不是很大，因此用样本矩作为总体相应矩的估计。概率论与数理统计§7.1点估计2.矩估计方法

设总体，其中是总体中的未知参数，若总体X的前m阶矩存在，且它们是未知参数的函数，即如果是来自总体X的样本，将前m

阶样本矩

矩估计量，即令作为总体由此解得，称为矩估计

量概率论与数理统计§7.1点估计例1

设是来自总体X的样本，求总体X的数学期望和方差的矩估计量。例2

设是来自二项总体X的样本，p的矩估计量。总体，m已知，求未知参数概率论与数理统计§7.1点估计例3灯泡厂某天从一批20瓦灯泡中抽取9只进行寿命检验，得到下列数据：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1200，1200，试估计该日生产的整批灯泡的平均寿命及寿命分布的均方差。概率论与数理统计§7.1点估计三、极大似然估计法例4

袋中有黑色、白色颜色球两种，不知是白球多还是黑球多，但知道两种球数的比例3：1，现连续抽取3个球（重复抽取）发现全是黑球，问袋中是白球多还是黑球多？“概率大的事件最可能出现”。极大似然估计法就是根据这一原理(极大似然原理)。概率论与数理统计§7.1点估计记作，称为样本的似然函数。设总体，其中X的样本。若随机变量X为离散型的，其分布律是总体中的未知参数，来自总体的联合分布律为：为：,则样本

，即概率论与数理统计§7.1点估计1.似然函数记作，称为样本的似然函数。设总体，其中是总体中的未知参数，来自总体X的样本。若随机变量X为连续型的，其密度的联合密度函数为：函数为：,则样本，即概率论与数理统计§7.1点估计2.极大似然原理

似然函数描述了样本取观测值的可能性，由于L是（其中）的函数，所以这一可能性同的总体，因而L的大小描述了已出现的样本来自不同总体的可能性的大小。最大可能来自参数为的那个总体。由于已经出现了，所以用作为的估计量比较合理。是随着的取值而变化的，不同的表示不若当取时，L达到最大值，说明样本概率论与数理统计§7.1点估计3.极大似然估计法

定义1

如果似然函数在处取得最大值，则称分别为的极大似然估计值，其中；若，则称为的极大似然估计量。

概率论与数理统计§7.1点估计例5

求0-1分布中参数p的极大似然估计量。例6

设是来自正态总体的一个样本观测值，其中未知，求的极大似然估计量。例7

设是来自总体X的样本，X服从上的均匀分布，是未知数，求的极大似然估计。概率论与数理统计§7.1点估计§7.1.3

估计量的评选标准概率论与数理统计

估计量评选标准

我们知道，对总体的未知参数

进行估计，可用不同的方法构造不同的估

估计最好？为此，我们给出评价估计量的标准。

计量。到底那一种估计量作为未知参数的、无偏性

定义1

设是总体分布中未

是真值的无偏估计量。

知参数的估计量，如果，称定理1

设是来自总体X的样本，总体数学期望的无偏估计量，样本方差

是总体方差的无偏估计量。且，则样本均值是概率论与数理统计

估计量评选标准概率论与数理统计

估计量评选标准例1

设是来自总体X的样本，作为总体数学期望的估计有：其中，且试证明都是的无偏估计量。例2

设总体X服从均匀分布，其密度函数为是来自总体X的样本，试问：和是否为的无偏估计？概率论与数理统计

估计量评选标准二、有效性定义2

设是未知参数的两个无偏估计则称比有效。量，即，若例3

设是来自总体X的样本，且，若，则比更有效。概率论与数理统计

估计量评选标准三、相合性定义3

设是总体分布中未知收敛于，即对于，有称是参数的相合估计量（或称一致估参数的估计量，当n充分大时，依概率计量）。概率论与数理统计

估计量评选标准