2021年中考数学三轮冲刺：二次函数中相似三角形存在练习（含答案）

2021年中考数学三轮冲刺：二次函数中相似三角形问题练习

一.解答题(共12小题)

1.如图.已知抛物线+历:+3与x轴交于A(1,0)、B两点，与y轴交于点C.对称轴为直线x=7,P为

顶点.

(1)求出点3的坐标及抛物线的表达式；

(2)在x轴上是否存在点M,使得△MOC与aBCP相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，抛物线y=a/+fcr+c(a#0)与x轴交于点A(-5,0),?(1,0),与y轴交于点C,且顶点的纵坐标为

9.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点E在线段OA上运动，过点E作直线EPLx轴,交抛物线于点F,交直线AC于点P,若以P、

尸、C为顶点的三角形与△APE相似，求点E的坐标；

MA

举。抬^\/°X

图1图2

3.如图所示，抛物线y=/+fex+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C(0,-3),其对称轴x=l与x轴相

交于点。，点M为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的表达式.

(2)若直线CM交x轴于点E,求证：BC=EC.

(3)若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点PE、。为顶点的三角形与△ABC相似.若存在，求出

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

4.己知，如图，已知抛物线＞=4/+必-遍与x轴交于A(3,0),8(-1,0)两点，与y轴交于点C,连接4C,

BC,若点M是x轴上的动点(不与点8重合)，MNLAC于点N,连接CM.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当MN=1时，求点N的坐标；

(3)是否存在以点C,M,N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请

5.在平面直角坐标系中，已知抛物线丫=〃/+云-2的对称轴为直线x=1.5,与x轴交于点A(-1,0)和点B,

与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q.请问是否存在这样的点P、Q使得△PQB

与△CAB相似.若存在，请求出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图，已知抛物线＞=0^-3犬+。与x轴交于点A(-4,0),B(1,0),与y轴交于点C.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为AC上方抛物线上的动点，过点P作POLAC,垂足为点。，连接PC,当△PCD与△ACO相似时，

求点P的坐标.

7.如图，抛物线y=a(x+3)(x-1)与x轴相交于4、B两点(点4在点B右侧)，过点A的直线交抛物线于另一

点C,点C的坐标为(-2,6).

备用图

(1)求。的值及直线4c的函数关系式；

(2)尸是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M,交x轴于点N.

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M,使得与相似？如果存在，请求出满足条件的点M的坐标；如

果不存在，请说明理由.

8.如图，抛物线y=o？-8x+c•经过4(2,0),8(6,0)两点，直线/为抛物线的对称轴并与x轴交于点C.直线

-冬+2会与抛物线分别交于点B,D两点，与直线/交于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若以点4为圆心适当的长为半径画圆，使圆A与直线8。相切于点片求点尸的坐标并说明直线/,y轴与

圆A的位置关系.

(3)在(2)的条件下，在圆A上是否存在点G,使得以G,O,C为顶点的三角形与aBCE相似.若存在，请

直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由.

9.如图1,二次函数卜=〃/+法+2的图象交x轴于点A(-2,0),B(3,0),交y轴于点C,P是第一象限内二次

函数图象上的动点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)过点P作PQJ_x轴于点。，若以点P、4、。为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标;

10.如图，已知直线y=x-4与坐标轴分别交于点8、点C,二次函数＞=2+2%的图象经过点C.

2

(1)求直线与抛物线的另一个交点A的坐标及线段AB的长；

(2)若点。在x轴的正半轴上，是否存在以点。，C,B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点。的坐

标；若不存在，请说明理由.

II.如图，二次函数)=-M+x+d的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点尸是抛物线在第一象限上

2

的动点

备用图

(1)求直线BC的解析式；

(2)当△P8C的面积最大时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，点E在线段AB上，点F在线段0C上，当AAEF与△PBC相似时，求所有满足条件

的点E坐标.

12.在平面直角坐标系xO)，中，抛物线尸加+法-1(a/0)经过点A(-2,0),8(1,0)和点O(-3,n),

与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标；

(2)将抛物线平移，使点C落在点8处，点。落在点E处，求△ODE的面积；

(3)如果点P在y轴上，△「(；£＞与△A8C相似，求点P的坐标.

1-

__________II_______I_______I»

O1x

2021年中考数学三轮冲刺：二次函数中相似三角形问题练习

参考答案与试题解析

解答题(共12小题)

1.如图.已知抛物线＞=0?+灰+3与x轴交于A(1,0)、B两点,与y轴交于点C.对称轴为直线x=-l,尸为

顶点.

(1)求出点8的坐标及抛物线的表达式；

(2)在x轴上是否存在点使得△MOC与△BCP相似？若存在，求出点用的坐标；若不存在，请说明理由.

.•.抛物线的解析式y=-x2-2x+3,

令y=0,则-/-2x=3=0,解得x=l或-3,

：.B(-3,0).

(2)存在.如图，连接P8,PC.

'：B(-3,0),P(-1,4),C(0,3),

；.BC=3&,PC=M，PB=2娓,

:.PB2=PC2+CB2,

：.ZPCB=90°,PC：BC=M：3点=1：3,

当M。：OC=1：3或。C：M0=\：3时，△COM与△BC尸相似，

OM=1或9,

满足条件的点M的坐标为(1,0)或(-1,0)或(9,0)或(-9,0).

2.如图，抛物线y=o?+6x+c(a#0)与x轴交于点A(-5,0),8(1,0),与y轴交于点C,且顶点的纵坐标为

9.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点E在线段04上运动，过点E作直线EF_Lx轴，交抛物线于点F,交直线AC于点P,若以P、

从C为顶点的三角形与△/1「后相似，求点E的坐标；

对称轴为直线*弓上=-2，

•••顶点的纵坐标为9,

抛物线的顶点坐标为(-2,9),

设抛物线为y=a(x+2)2+9,将点8(1,0)代入得：9〃+9=0,

:.a=-1,

・・・抛物线的解析式为y=-(x+2)2+9=-x2-4x+5；

(2)设直线AC的解析式为：y=tnx+n(mWO),

..j5m+n=0解之得：[m=l,

In=5[n=5

直线AC的解析式为：y=x+5,

•.•点E在线段OA上运动，过点E作直线轴，交抛物线于点尸，交直线AC于点P,

.,.设E(x,0),则尸(x,x+5),F(x,-W-4x+5),

：.PE=x+5,AE=x+5,PF=(-x2-4x+5)-(x+5)=-7-5x,

•.•△APE和△PFC相似，且NAPE=NFPC,

：.ZAEP=ZFCP=90°或N4EP=NCFP=90°,

①当NPFC=90°时，如图：

.•.点F的纵坐标为5,

**.-X2-4x+5=5

解之得：x\=-4,X2=O(舍去)

：.E(-4,0)；

②当NFCP=90°时，过尸作轴于M,如图:

轴，

AZFCM+ZCFM=W,,

/.FM=-x,MC=-/-4x+5-5=-x2-4x,

ZFCP=90°,

AZFCM+ZACO=90°,

：.ZCFM^ZACO,

.,.RtACFM^RtAACO^RtAAPE,

•AO=MC(

"oc'FM"

・5-X2-4X

••—z:-----------,

5-x

解之得：川=0(舍去)，X2=-3,

：.E(-3,0).

综上可知，当以尸、F、C为顶点的三角形与△APE相似时，点E的坐标为(-4,0)或(-3,0).

3.如图所示，抛物线y=/+6x+c,与x轴相交于4、B两点，与y轴相交于点C(0,-3),其对称轴x=l与x轴相

交于点。，点M为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的表达式.

(2)若直线CM交x轴于点E,求证：BC=EC.

(3)若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点尸、E、。为顶点的三角形与△ABC相似.若存在，求出

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【解答】解：(1)•••y=x2+Zzr+c与y轴相交于点C(0,-3),

将点C(0,-3)代入可得：c=-3,

又..•对称轴x=＞一=]

2a

：.b=-2,

即抛物线的表达式为y=7-2x-3；

(2)I•对称轴为x=l,

代入抛物线表达式得)，=1-2-3=4,

即点MQ,-4),

设直线CM的表达式为丫=h+〃，

把点C(0,-3),M(1,-4)代入解得上=-1,〃=-3,

...CM的表达式为y=-x-3,

:点E在x轴上，即纵坐标y=0,此时x=-3,

：.E（-3,0）,

由平面直角坐标系的可知：OE=OC=OB=3,NEOC=NBOC=90°,

:.△EOgXBOC（SAS）,

.'.EC=BC；

（3）存在，

•点P在线段EM上，可设P（f,-3）,

如图1所示，作PN_Lx轴于N,

PN=t+3,MN=OE-ON=3+3

由勾股定理可知—=、2可2+1可2=（f+3）A/5，BC=（0卜2_^B2={§2+&2=

又：A8=OA+OB=4,

由（2）可知△E0CZZ\80C,

：.ZOEC=ZOBC,

当△PEOs/\ABC时，

PE=0E

ABBC,

即（t+3）足3,

43A/2

解得t--\,

即点P的坐标为（-1,-2）,

当APEOs^CBA时，

PEOE曰n（t+3）&3

而话''引用N

解得t=J.,

4

即点P的坐标为（-旦，-9）,

44

综上尸的坐标为（-1,-2）或（卫，-2）.

44

4.已知，如图，己知抛物线y=af+bx-遍与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点，与y轴交于点C,连接4C,

BC,若点M是x轴上的动点(不与点8重合)，MNLAC于点N,连接CM.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当MN=1时，求点N的坐标;

(3)是否存在以点C,M,N为顶点的三角形与AABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请

0)两点,

0=9a+3b~V3

得

0=a-b-V3

a-3

解得：

八2忖

b=—

•二2_/—

x-V3'

⑵除2警

当x=0时，y=一巧，

：.C(0,

：.oc=a，

VA(3,0),

，OA=3,

...NO4C=30°,

*：MN=\,NMNA=90°,

在RtZvU/N中，AN=M，

过点N作NHLx轴于点H,

当点M在点A左侧时，N的坐标为（旦，-返），

22

当点M在点A右侧时，N的坐标为（且，返），

22

综上，点N的坐标为（3,q巨）或（9,返），

2222

（3）设M点为（x,0）,

则由（2）可得A8=4,

水=心2+（a）2=2,4。=杼+（收2=2百

...△ABC是直角三角形，NBC4=90°,

又由2s△CMA=AMXOC=ACXMN得：

X-3）2><«—J（X-3）2

2V32

若以点C,M,W为顶点的三角形与△ABC相似，

22

则.MN=CM,npV（x-3）=Vx+3

''CBAB'44

即6x=6,

所以x=l,

此时M为(1,0)；

MN=CM叩《6-3)2=42+3

CAAB'、473~4-，

即/+3x=0,

解之可得：x=0或x=-3,

；.M为(0,0)或(-3,0),

综上所述，存在以点C,M,N为顶点的三角形与△ABC相似，且M的坐标为(1,0)或(0,0)或(-3,0).

5.在平面直角坐标系中，己知抛物线)，=“7+次-2的对称轴为直线x=1.5,与x轴交于点A(-1,0)和点8,

与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q.请问是否存在这样的点P、Q使得△PQ8

与△CAB相似.若存在，请求出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)•.•抛物线的对称轴是x=1.5且A(-1,0),

：.B(4,0),

.Ja-b-2=0

I16a+4b-2=0'

解得卜=0.5,

lb=-l.5

Ay=0.5?-1.5x-2；

(2)如图，

设尸(x,0),

则Q(x,0.5x2-1.5x-2),

=

由题得AC|2+22=5/5,

8C=｛、+22=2泥,

AB—5,

：.AC2+BC2=AB2,

...△ABC是直角三角形，

由△PQB与△CAB相似可得，

①AC：PQ=BC：PB,

贝ij0.5x-----近-------

-0.5X2+1.5X+24-X

得x=O或x=4,

经检验，x=O与x=4均为根，但x=4不合题意,

：.Q(0,-2)；

②AC：PB=BC：PQ,

则2遥=返,

-0.5x2+l.5x+24-x

得x=3或x=4,

经检验，x=3与x=4均为根，但x=4不合题意,

：.Q(3,-2),

综上，存在P,Q,

。为(0,-2)或(3,-2).

6.如图，已知抛物线y=G?-gx+c与x轴交于点A(-4,0),B(1,0),与了轴交于点C.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为AC上方抛物线上的动点，过点尸作PO_LAC,垂足为点。，连接PC,当△PC。与△ACO相似时,

求点P的坐标.

备用图

【解答】解：(1)•・•抛物线y=o?-斗+c与x轴交于点A(-4,0),B(1,0),

2

'3

16a--X(-4)+c=0

3，

a7+c=0

f」

解得(a-3，

c=2

・・・抛物线的解析式为尸-尹-尹2；

(2)・・,点A(-4,0),B(1,0),

・・・OA=4,08=1.

•在方也物线y=-ir2-2+2中，当x=0时，y=2,

22

：.C(0,2),

:.。。=2,

AC=22=22=

'VOA-K)CV4+22而

9：PD±AC,

，/PDC=900=ZAOC,

・・・当△尸CD与△ACO相似时，则△PCQS/^CAO或△PCZ)S2\ACO,

①若△PCOs/\CAO,则NPCO=NC4。，

：.CP//AO,

VC(0,2),

，点尸的纵坐标为2,

・・,点P为AC上方抛物线上的动点,

.*.2=--kx2-m+2,

22

解得：X1=0(不合题意，舍去)，X2=-3,

，此时点尸的坐标为(-3,2)；

②若△PSs^ACO,则NPC£>=NACO,曳=煦，

AOCO

.PDA0_4_?

CDCO2

过点A作AC的垂线，交CP的延长线于点G,过点G作G”_Lx轴于点H,如图:

：.GA//PD,

:.△GACs^PDC,

•GAAC

•*,一二,

PDCD

.GAPD=?

ACCD

,：GA1AC,GH_Lx轴，

.•./GAC=NGHA=90°,

，NAG”+/G4H=90°,ZGAH+ZCAO=90°,

ZAGH=ZCAO,

又•.,/GH4=N>40c=90°,

/.△G/ZA^AAOC,

.GHAHGA即GHAH门

AOCOAC42

,GH=8,AH=4f

：.HO=AH+OA=8f

：.G(-8,8),

设直线CG的解析式为y=-lr+2,

4

令-&+2=--kr2-当+2,

422

解得：XI=0(不合题意，舍去)，X2=-1,

2

把x=-3代入y=-旦x+2得：

24

产-当+2=-3x(-A)+2="

4428

，此时点P的坐标为(-3,空).

28

综上所述，符合条件的点P的坐标为(-3,2)或(-3,25).

28

7.如图，抛物线y=a(x+3)(x-1)与x轴相交于A、B两点(点4在点B右侧)，过点A的直线交抛物线于另一

点C,点C的坐标为(-2,6).

(1)求a的值及直线AC的函数关系式；

(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点例，交x轴于点N.

①求线段长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M,使得△CMP与△APN相似？如果存在，请求出满足条件的点”的坐标；如

果不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)将点C的坐标为(-2,6)代入抛物线y=“(x+3)(x-i)中，

，6=a(-2+3)(-2-1),

解得：a=-2,

・\抛物线解析式为：y=-2(x+3)(x-1)=-2x2-41+6,

令y=0,解得：xi=-3,X2=L

・・・A(1,0),B(-3,0),

设直线AC的解析式为将A、C两点坐标代入得;

fk+b=0,

l-2k+b=6，

解得：。=-2,

lb=2

直线AC的解析式为：y=-2x+2.

(2)①设P点的横坐标为机(-2WmWl),

则PCm,-2m+2),MCm,-2m2-4m+6),

PM=-2nz2-4m+6-(-2m+2)=-2(m+—'>2+—,

22

•；-2<0,

当，〃=-工时，PMinax=—)

22

②存在，M(0,6)或"(-工，班)，理由如下：

48

■:NAPN=/CPM,NPNA=90°,

要使△CMP与相似，则使NPNA=/CMP=90°或/PNA=NMCP=90°,

,此时MN与y轴重合，N与O重合，CMLMP,如图所示:

故yc=y"=6,

当y=6时，-2,-4x+6=6,

解得：Xi--2(舍去)，X2=O,

此时M坐标为（0,6）,

情况二：当NPN4=/A/CP=90°,如图所示:

又,：AHMCs^CMP,/\OAD^/\NAP,

：・4HMCS40AD,

・CHMH

・•丽F，

设M(m，-2m2-4m+6),其中-2W/wWl,则C4=m+2,MH=-2/H2-4ZH+6-6=-2m2-4/??,

直线4C的解析式为：y=-2x+2.令x=0,y=2,

J0D=2,

而。4=1,

9

-

•・•--m-+-2------2-m----4-m,

21

解得：m=-2(舍去)或m=-A,

4

当m=--,-2/n2-4m+6=^-,

48

：.M(-A,空)，

48

综上所述，M(0,6)或例(-』，至).

48

8.如图，抛物线y=a？-8x+c经过A(2,0),B(6,0)两点，直线/为抛物线的对称轴并与x轴交于点C.直线

y=-返c+2y与抛物线分别交于点B,D两点，与直线/交于点E.

3

(1)求抛物线的解析式；

(2)若以点A为圆心适当的长为半径画圆，使圆A与直线8。相切于点F,求点尸的坐标并说明直线/,y轴与

圆A的位置关系.

(3)在(2)的条件下，在圆A上是否存在点G,使得以G,O,C为顶点的三角形与△BCE相似.若存在，请

直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x-xi)(x-x2)=a(x-2)(x-6)=a(x2-8x+12),

/.-Sa=-8,解得a=l,

故抛物线的表达式为y=7-8x+12；

(2)由点A、B的坐标知，抛物线的对称轴为直线x=4,即0C=4,

由直线BZ)的表达式知，NEBC=30°,

♦.•8。和圆A相切，

：.AFLBD,

在RtzMB尸中，AB=6-2=4,NEBC=3Q°,

则AF=1AB=2=OA=AC,

2

故圆A与直线/、y轴都相切，

则8/=返43=2«,

2_

设点F的坐标为(x,-1r+2«),

3

则BF2=(x-6)2+(-返c+2泥)2=(2«)2

3

解得x=9(舍去)或3,

故点F的坐标为(3,V3)；

(3)在△BCE中，NEBC=3Q°,ZECB=90°,

当点G在圆上时，则NCGC=90°,0C=4,

故以G,O,C为顶点的三角形与△BCE相似时，ZGCO=30°或60°即可满足条件.

①当点G在x轴上方时，过点G作GH_Lx轴于点H,

当NGCO=30°时，则NGO4=60°,

则OG=2CO=2,

2

则OH=OGcos60°=1,GH=OGsin60°=«,

故点G的坐标为(1,遍)；

当/GCO=60°时，则/GOH=30°,

则0G=COsin60°=2如,

则OH=OGcos30。=3,GW=OGsin30°=«,

故点G的坐标为（3,遍）；

故点G的坐标为（1,遍）或（3,«）；

②当点G在x轴下方时，

根据圆的对称性，则点G的坐标为（1,-JE）或（3,-«）；

综上，点G的坐标为（1,«）或（3,正）或（1,-V3）或（3，-«）.

9.如图1,二次函数丫=/+笈+2的图象交x轴于点A（-2,0）,B（3,0）,交y轴于点C,尸是第一象限内二次

函数图象上的动点.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）过点尸作PQ_Lx轴于点Q,若以点尸、A、Q为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标；

【解答】解：(1)把A(-2,0),B(3,0)代入y=o?+bx+2,

(1

/a二f

得(4a-2b+2=0,解得’3,

19a+3b+2=01-1

|b-3

...这个二次函数的表达式为)=士+L+2.

33

(2)如图1,设P(x,_Ar2+Ar+2)(0<x<3),则。(x,0).

33

•.•抛物线产」^+1+2与)，轴交于点C,

33

：.C(0,2),OC=2,

又(-2,0),B(3,0),

・・OA—2,OB=3，QA=x+2,

,：ZBOC^ZAQP=90°,且△AQPS2\BOC,

.PQQA

"OC'OB

23

整理，得/+x-2=0,解得xi=l,垃=-2(不符合题意，舍去)，

(1,2).

10.如图，已知直线y=x-4与坐标轴分别交于点8、点C,二次函数、=-的图象经过点C.

-2

(1)求直线与抛物线的另一个交点A的坐标及线段AB的长；

(2)若点。在x轴的正半轴上，是否存在以点。，C,B构成的三角形与△048相似？若存在，求出点。的坐

标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)•.•直线y=x-4与〉轴、x轴分别交于点2、点C,

：.B(0,-4),C(4,0).

jy=x-4rX1=-2fX2=4

由＜]2，得，，＜，

y=-yx+2x=-6y2=0

・・・A(-2,-6),

・"B=、(0+2)2+Q4+6)2=2«；

(2)存在.

•；OB=OC=4,ZBOC=90°,

.•.BC=C^7^=4圾，NOBC=NOCB=45°,

：.ZBCD=ZABO=\35°,

如图1,当NCBZ)=/BO4时，则

•.C--D二，BC一，

ABOB

•CDW2

.《VT4'

解得CD=4,

.•.00=4+4=8,

：.D(8,0)；

如图2,当NCB£)=/B40时，则△CBZ>S^BAO,

.DCBC

"OB'AB"

.DCW2

•--------二------=->

4272

解得OC=8,

:.00=4+8=12,

：.D(12,0).

综上所述，点。的坐标为(8,0)或(12,0).

11.如图，二次函数）=-工2+X+4的图象与X轴交于4、B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线在第一象限上

2

的动点

备用图

(1)求直线8c的解析式;

(2)当△P8C的面积最大时,求点P的坐标;

(3)在（2）的条件下，点E在线段A8上，点尸在线段0C上，当△AEF与△P8C相似时，求所有满足条件

的点E坐标.

【解答】解：(1)iy=—^-x2+x+4f令y=°得4X2+X+4=0.

即(x+2)(x-4)=0,

解得xi=-2,我=4,

所以4(-2,0)、B(4,0),

令x=0得y=4,

故C(0,4)；

4k+b=0

设直线BC的解析式为>="+6,代入8、C坐标得

b=4

解得k=-l

b=4

所以直线8C的解析式为y=-x+4；

（2）设过尸点且与直线BC平行的直线的解析式为丫=-x+〃?,

y=-^-x2+x+4

联立，，消去y,得蒋xN+Zx+d-nF。，

y=-x+m

当4=4+2（4-胆）=0,即〃z=6时，S"BC取最大值,

当修=6时，-工?+2尤+4-6=0,解得x=2,

2

故户（2,4）；

(3)由(2)得尸(2,4),又因为C(0,4