人教版七年级上数学教案（全册）

1.3.1有理数的加法(1)

第一课时

三维目标

一、知识与技能

理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算.

二、过程与方法

引导学生观察符号及绝对值与两个加数的符号及其他绝对值的关系，培养学生的分类、

归纳、概括能力.

三、情感态度与价值观

培养学生主动探索的良好学习习惯.

教学重、难点与关键

1.重点：掌握有理数加法法则，会进行有理数的加法运算.

2.难点：异号两数相加的法则.

3.关键：培养学生主动探索的良好学习习惯.

四、教学过程

一、复习提问，引入新课

1.有理数的绝对值是怎样定义的？如何计算一个数的绝对值？

2.比较下列每对数的大小.

(1)-3和-2；(2)|-5|和|5|；(3)-2与|T|；(4)-(-7)和-|-7|.

五、新授

在小学里，我们已学习了加、减、乘、除四则运算，当时学习的运算是在正有理数和零

的范围内.然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围，例如，足球循环赛中，可

以把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数.本章前言中，红队进4个

球，失2个球；蓝队进1个球，失1个球，那么哪个队的净胜球多呢？

要解决这个问题，先要分别求出它们的净胜球数.

红队的净胜球数为:4+(-2)；

蓝队的净胜球数为：1+(-1).

这里用到正数与负数的加法.

怎样计算4+(-2)呢？

下面借助数轴来讨论有理数的加法.

看下面的问题：

一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负、向右为正.

(1)如果物体先向右运动5m,再向右运动3m,那么两次运动后总的结果是什么？

我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答.

这里两次都是向右运动，显然两次运动后物体从起点向右运动了8m,写成算式就是:

5+3=8①

这一运算在数轴上可表示，其中假设原点为运动的起点.(如下图)

-i-Lill-+1I_1-►

-10123456789

(2)如果物体先向左运动5m,再向左运动3m,那么两次运动后总的结果是什么？

显然，两次运动后物体从起点向左运动了8m,写成算式就是：

(-5)+(-3)=-8②

这个运算在数轴上可表示为(如下图)：

~8~7-6-5-4-3~2-101

(3)如果物体先向右运动5m,再向左运动3m,那么两次运动后物体与起点的位置关系

如何？

在数轴上我们可知物体两次运动后位于原点的右边，即从起点向右运动了2m.(如下图)

I彳J*.__>

0123456

写成算式就是：5+(-3)=2③

探究：

还有哪些可能情形？请同学们利用数轴，求以下情况时物体两次运动的结果：

(4)先向右运动3m,再向左运动5m,物体从起点向运动了m.

要求学生画出数轴，仿照(3)画出示意图.

…,-5一

-4-3-2-10123

写出算式是：3+(-5)=-2④

(5)先向右运动5m,再向左运动5m,物体从起点向____运动了m.

先向右运动5m,再向左运动5m,物体回到原来位置，即物体从起点向左(或向右)运

动了0m,因为+0=-0,所以写成算式是:

5+(-5)=0⑤

(6)先向左运动5m,再向左运动5m,物体从起点向运动了m.

同样，先向左边运动5m,再向右运动5m,可写成算式是：

(-5)+5=0(6)

如果物体第1秒向右(或左)运动5m,第2秒原地不动，两秒后物体从起点向右(或

左)运动了多少呢？请你用算式表示它.

可写成算式是：5+0=5或(-5)+0=-5⑦

从以上写出的①〜⑦个式子中，你能总结出有理数加法的运算法则吗？

引导学生观察和的符号和绝对值，思考如何确定和的符号？如何计算和的绝对值？

算式是小学已学过的两个正数相加.观察算式②，两个加数的符号相同，都是“一”号,

和的符号也是“一”号与加数符号相同；和的绝对值8等于两个加数绝对值的和，即|-5|

+I-3|=|-8|.

由①②可归结为：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

例如(-4)+(-5)=-(4+5)=-9.

观察算式③、④是两个互为相反数相加，和为0.

由算式③〜⑥可归结为：

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较

小的绝对值，互为相反数相加得0.

由算式⑦知，一个数同0相加，仍得这个数.

综合上述,我们发现有理数的加法法则，让学生朗读课本第18页中“有理数的加法法则”.

一个有理数由符号与绝对值两部分组成，进行加法运算时，必先确定和的符号，再确定

和的绝对值.

例1：计算.

(1)(-3)+(-5)；(2)(-4.7)+2.9；(3)-+(-0.125).

8

分析：本题是有理数加法，所以应遵循加法法则，按判断类型，确定符号、计算绝对值

的步骤进行计算.(1)是同号两数相加，按法则1,取原加数的符号“一”，并把绝对值相加.(2)

是绝对值不相等的异号两数相加.(3)是绝对值相等的两数相加，根据法则2进行计算.

解：(1)(-3)+(-5)-(3+5)=-8；

(2)(-4.7)+2.9=-(4.7-2.9)=-1.8；

(3)-+(-0.125)=-+(--)=0.

888

例2：足球循环赛中，红队胜黄队4：1,黄队胜蓝队1：0,蓝队胜红队1：0,计算各

队的净胜球数.

分析：净胜球数是进球数与失球数的和，我们可以分别用正数、负数表示进球数和失球

数.红队胜黄队4：1表示红队进4球，失1球，黄队进1球失4球.

解：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数.

三场比赛中，红队共进4球，失2球，净胜球数为：

(+4)+(-2)=+(4-2)=2；

黄队共进2球，失4球，净胜球数为：

(+2)+(-4)=-(4-2)=-2；

蓝队共进1球，失1球，净胜球数为：

(+1)+(-1)=0.

以上讲解有理数加法时，严格按照：先判断类型，然后确定和的符号，最后计算和的绝

对值，这三步骤进行.

六、巩固练习

课本第18页练习1、2题.

七、课堂小结

有理数的加法法则指出进行有理数加法运算，首先应该先判断类型，然后确定和的符号,

最后计算和的绝对值.类型为异号两数相加，和的符号依法则取绝对值较大的加数的符号，

并把绝对值相减，因为正负互相抵消了一部分.有理数加法还打破了算术数加法中和一定大

于加数的常规.

八、作业布置

1.课本第24页习题1.3第1题.

九、板书设计：

1.3.1有理数的加法(1)

第一课时

1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小

的绝对值，互为相反数相加得0.

2,随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.3.1有理数的加法(2)

第二课时

三维目标

一、知识与技能

(1)能运用加法运算律简化加法运算.

(2)理解加法运算律在加法运算中的作用，培养学生的观察能力和思维能力.

二、过程与方法

经历探索有理数的加法运算律的过程，培养学生的观察能力和思维能力.

三、情感态度与价值观

体会有理数加法运算律的应用价值.

教学重、难点与关键

1.重点：有理数加法运算律.

2.难点：灵活运用加法运算律.

3.关键：正确理解加法运算律在加法运算中的作用.

教具准备

投影仪.

四、教学过程

一、复习提问，引入新课

1.叙述有理数的加法法则.

2.在小学里，数的加法有哪些运算律？

五、新授

在小学里，数的加法满足交换律、结合律.

如：5+3.5=3.5+5,(5+3.5)+2.5=5+(3.5+2.5).

引进负数后，这些运算律还适用吗？

探索：

例1.计算：30+(-20),(-20)+30.

两次所得的和相同吗？

换几个加数试一试，让学生自己得出：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置

和不变，即

加法交换律：a+b=b+a.

例2.计算:[8+(-5)]+(-4),8+[(-5)+(-4)].

两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试.

从而得到：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加,

和不变，即

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

上述a、b、c表示任意有理数，可以是正数，也可以是负数.

这样，多个有理数相加可以任意交换加数位置，也可以先把其中的几个数相加，使计算

简化.

例3.计算：16+(-25)+24+(-35).

分析：先观察题目中数据特点，根据运算律，选择合理途径.

本题采用正、负数分开相加的方法.

解:原式=(16+24)+[(-25)+(-35)]

=40+(-60)

=-20

例4.每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如课本图1.3-3所示(课本

第19页)，与标准重量比较，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？10袋小麦的总重

量是多少？

分析：怎样求这10袋小麦的总重量呢？这是有理数加法在实际中的应用，本题有两种

解法，教学时可先让学生相互交流，提出自己的想法，对不同的解法进行比较.

解法1：先计算10袋小麦的总重量.

91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4,

再计算标准重量：90X10=900.

所以这10袋小麦总计超过905.4-900=5.4(千克)

解法2：先计算总误差，然后再求10袋小麦的总重量.

将每袋小麦超过标准重量的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，10袋小麦的对应

的数为+1,+1,+1.5,-1,+1.2,+1.3,-1.3,-1.2,+1.8,+1.1.

???+1+1+1.5+(-1)+1.2+1.3+(1.3)+(-1.2)+1.8+1.1

=[1+(-1)]+[1.2+(-1.2)]+[l.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)

=5.4

90X10+5.4=905.4

所以10袋小麦总计超过标准5.4千克，总重量为905.4千克.

五、巩固练习

1.课本第20页，练习1、2.

六、课堂小结

本节课我们探索了有理数加法的运算律，灵活运用加法的运算律使运算简便.一般情况

下，将互为相反数的数结合相加；同分母的分数能凑整的数结合；正数、负数分别相加，以

使计算简便.

七、作业布置

1.课本第25页习题1.3第2题，第26页第9、10、12题.

九、板书设计：

1.3.1有理数的加法(2)

第二课时

1、有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

上述a、b、c表示任意有理数，可以是正数，也可以是负数.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.3.2有理数的减法(1)

第三课时

三维目标

一、知识与技能

(1)理解并掌握有理数的减法法则，能进行有理数的减法运算.

(2)通过把减法运算转化为加法运算，让学生了解转化思想.

二、过程与方法

经历探索有理数的加法运算律的过程，培养学生的观察能力和思维能力.

三、情感态度与价值观

体会有理数加法运算律的应用价值.

教学重、难点与关键

1.重点：掌握有理数减法法则，能进行有理数的减法运算.

2.难点：探索有理数减法法则，能正确完成减法到加法的转化.

3.关键：正确完成减法到加法的转化.

四、教学过程

一、复习提问，新课引入

1.计算.

32

(1)(-5.2)+(-4.8)；(2)(-4-)+5-；

553

(3)(-13-)+13-；(4)(+4-)+(-7.5).

774

2.填空.

(1)+3=10；(2)30+=27；

(3)+(-3)=10；(4)(-13)+=6.

五、新授

实际问题中有时还要涉及有理数的减法，例如，某地一天的气温是-3C〜4℃,这天的

温差(最高气温减最低气温，单位：℃)就是4-(-3),这里用到正数与负数的减法，你会

计算它吗？(鼓励学生探索)

可以先从温度计看出4c比-3c高7℃.

另外，我们知道减法和加法是互为逆运算.计算4-(-3),就是要求出一个数x,使x

与-3的和等于4,因为7+(-3)=4,所以

4-(-3)=7①

另外4+(+3)=7,②

比较①、②两式，你发现了什么？

发现：4-(-3)=4+(+3).

这就是说减法可以转化为加法，如何转化呢？

减-3相当于加3,即加上“-3”的相反数.

换几个数再试一试，把4换成0,-1,-5,用上面的方法考虑.

0-(-3),(-1)-(-3),(-5)-(-3).

因为(+3)+(-3)=0,所以0-(-3)=+3,

又0+(+3)=+3,所以0-(-3)=0+(+3),

同样，可得(-1)-(-3)=(-1)+(+3),(-5)-(-3)=(-5)+(+3)

这些数减-3的结果与它们加+3的结果仍然相同.

计算：

(1)9-8,9+(-8)；(2)15-7,15+(-7),从中又发现了什么？

通过计算发现：

9-8=9+(-8),15-7=15+(-7).

归纳：通过上述讨论，得出：

有理数的减法可以转化为加法来进行.“相反数”是转化的桥梁.

有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数.

用式子表示为:a-b=a+(-b).

例5：计算：

(1)(-3)-(-5)；(2)0-7；

(3)7.2-(-4.8)；(4)(-3-)-5-.

24

分析：以上是有理数的减法，按减法法则，把减法转化为加法.

相反数

I

解：(1)(一3)—(一5)=(—3)+(+5)=2

I_____f

减法转化为加法

相反数

II

(2)0-7=0+(-7)=-7

I__f

减法转化为加法

(3)7.2-(-4.8)=7.2+(+4.8)=12

(4)(-3-)-5-=(-3-)+(-5-)=-8-

24244

强调：减号变加号、减数变相反数，必须同时改变，(4)题中减数的符号为“+”号,

省略没有定.

六、课堂练习

1.课本第23页练习1、2题，第26页第7、8题.

2.差数一定比被减数小吗？

提示:不一定，例如（-7）-（-5）=（-7）+（+5）=-2,-2>-7.

七、课堂小结

引进负数后，任意两个有理数都可以求出它们的差，结果可能为正数（大数减去小数），

也可能为负数（小数减去大数），还可能为0（相等的两数相减），学习有理数减法，关键在

于处理好两个“变”字；（1）改变运算符号——即把减法转化为加法.（2）改变减数的符号

——即减数变为它的相反数，这两个“变”要同时进行，而被减数不变.

八、作业布置

1.课本第25页至第26页，习题1.3第3、4、11、12题.

九、板书设计：

1.3.2有理数的减法（1）

第三课时

1、有理数的减法可以转化为加法来进行.“相反数”是转化的桥梁.

有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数.

用式子表示为：a-b=a+（-b）.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.3.2有理数的减法（2）

第四课时

三维目标

一、知识与技能

理解有理数加减法可以互相转化，能把有理数加减混合运算统一为加法运算，灵活应

用运算律进行计算.

二、过程与方法

经历综合运用有理数加减法解决实际问题的过程，培养学生分析问题解决问题的能力.

三、情感态度与价值观

体会数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣.

教学重点、难点与关键

1.重点：有理数加减法统一为加法运算，掌握有理数加减混合运算.

2.难点：省略括号和加号的加法算式的运算方法.

3.关键：理解加减混合运算可以统一成加法，以及正确理解省略加号的有理数加法形

式.

教具准备

投影仪.

四、教学过程

一、复习提问，引入新课

1.叙述有理数的加法、减法法则.

2.计算.

(1)(-8)+(-6)；(2)(-8)-(-6)；(3)8-(-6)；

(4)(-8)-6；(5)5-14.

五、新授

我们已学习了有理数加、减法的运算，今天我们来研究怎样进行有理数的加减混合运算.

例6：计算:(-20)+(+3)-(-5)-(+7).

分析：这个式子中有加法，也有减法，可以按照运算顺序，从左到右逐一加以计算.也

可以用有理数的减法法则，则它改写为(-20)+(+3)+(+5)+(-7)使问题转化为几个有

理数的加法.

解:(-20)+(+3)-(-5)-(+7)

=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)

=[(-20)+(-7)]+[(+3)+(+5)]

=-27+(+8)

=-19

把有理数加减混合运算转化为加法后，常用加法交换律和结合律使计算简便.

归纳：加减混合运算可以统一为加法运算.

用式子表示为a+b-c=a+b+(-c).

式子(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是-20,+3,+5,-7这四个数的和，为了书写简单,

可以省略式子中的括号和加号，把它写为：-20+3+5-7.

这个式子读作“负20、正3、正5、负7的和”或读作“负20加3加5减7”.

例6的运算过程也可简写为：

(-20)+(+3)-(-5)-(+7)

=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)(加减法统一为加法)

=-20+3+5-7(省略式子中的括号和括号前面的加号)

=-20-7+3+5(加法交换律交换时，要连同符号一起交换)

=-19(异号两数相减)

六、巩固练习

1.课本第24页练习.

(1)题是己写成省略加号的代数和，可运用加法交换律、结合律.

原式=1+3-4-0.5=0-0.5=-0.5

(2)题运用加减混合运算律，同号结合.

原式=-2.4-4.6+3.5+3.5=-7+7=0

(3)题先把加减混合运算统一为加法运算.

原式=(-7)+(-5)+(-4)+(+10)

=-7-5-4+10(省略括号和加号)

=-16+10

=-6

七、课堂小结

有理数加减混合运算通常统一成加法运算，运算时常用交换律和结合律使计算简便，一

般情况采用：(1)凡相加是整数的，可以先加；(2)分母相同或易于通分的分数相结合；(3)

有互为相反数可以互相抵消的，先相加；(4)正、负数分别相加.总之要认真观察，灵活运

用运算律.

八、作业布置

1.课本第25页第26页习题1.3第5、6、13题.

九、板书设计：

1.3.2有理数的减法(2)

第四课时

1、把有理数加减混合运算转化为加法后，常用加法交换律和结合律使计算简便.

归纳：加减混合运算可以统一为加法运算.

用式子表示为a+b-c=a+b+(-c).

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.4.1有理数的乘法(1)

第一课时

三维目标

一、知识与技能

经历探索有理数乘法法则过程，掌握有理数的乘法法则，能用法则进行有理数的乘法.

二、过程与方法

经历探索有理数乘法法则的过程，发展学生归纳、猜想、验证等能力.

三、情感态度与价值观

培养学生积极探索精神，感受数学与实际生活的联系.

教学重、难点与关键

1.重点：应用法则正确地进行有理数乘法运算.

2.难点：两负数相乘，积的符号为正与两负数相加和的符号为负号容易混淆.

3.关键：积的符号的确定.

教具准备

投影仪.

四、教学过程

一、引入新课

在小学，我们学习了正有理数有零的乘法运算，引入负数后，怎样进行有理数的乘法运

算呢？

五、新授

课本第28页图1.4-1,一只蜗牛沿直线L爬行，它现在的位置恰在L上的点0.

-----------------------------------------*1

0

(1)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？

(2)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？

(3)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？

(4)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？

分析：以上4个问题涉及2组相反意义的量：向右和向左爬行，3分钟后与3分钟前，

为了区分方向，我们规定：向左为负，向右为正；为区分时间，我们规定：现在前为负，现

在后为正，那么(1)中“2cm”记作“+2cm”，"3分后”记作“+3分”.

(1)3分后蜗牛应在L上点。有边6cm处.(如课本图1.4-2)

——|I；I।-----

0246

这可以表示为

(+2)X(+3)=+6①

(2)3分后蜗牛应在L上点0左边6cm处.(如课本图1.4-3)

这可以表示为

(-2)X(+3)=-6②

(3)3分的蜗牛应在L上点0息中6cm处.(如课本图1.4-4)

-1_I-II-~I-1

-6-4-2O

［讲问题(3)时可采用提问式：已知现在蜗牛在点0处，而蜗牛是一直向右爬行的，那

么3分前蜗牛应在什么位置？］

这可以表示为(+2)X(-3)=-6③

(4)蜗牛是向左爬行的，现在在0点，所以3分西蜗牛应在L上点0有电6cm处(如

课本图1.4-5).

——t-I~~I~~I~I------>1

0246

这可以表示为(-2)X(-3)=+6④

观察①〜④，根据你对有理数乘法的思考，完成课本第39页填空.

归纳：两个有理数相乘，积仍然由符号和绝对值两部分组成，①、④式都是同号两数相

乘，积为正，②、③式是异号两数相乘，积为负，①〜④式中的积的绝对值都是这两个因数

绝对值的积.

也就是两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

此外，我们知道2X0=0,那么(-2)X0=?

显然(-2)X0=0.

这就是说：任何数同0相乘，都得0.

综上所述，得有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任

何数同0相乘，都得0.

进行有理数的乘法运算，关键是积的符号的确定，计算时分为两步进行：第一步是确定

积的符号，在确定积的符号时要准确运用法则；第二步是求绝对值的积.

如：(~5)X(-3),...(同号两数相乘)

(-5)X(-3)=+(),……得正

5X3=15,...把绝对值相乘

所以(-5)X(-3)=15

又如：(-7)X4……—

(-7)X4=-(),............

7X4=28,.............

所以(-7)X4=-28

例1：计算：

(1)(-3)X9；(2)(--)X(-2)；

2

121

(3)0X(-53-)X(+25.3)；(4)1-X(-1-).

735

例1可以由学生自己完成，计算时，按判定类型、确定积的符号，求积的绝对值.(3)

题直接得0.(4)题化带分数为假分数，以便约分.

小学里，两数乘积为1,这两个数叫互为倒数.

在有理数中仍然有：乘积是1的两数互为倒数.

例如：-上与-2是互为倒数，-士与是互为倒数.

253

注意倒数与相反数的区别：两数互为倒数，积为1,它们一定同号；两数互为相反数，

和为零，它们是异号(0除外)，另外0没有倒数，而0的相反数为0.

数a(aWO)的倒数是什么？

1除以一个数(0除外)得这个数的倒数，所以a(aWO)的倒数为

a

例2：用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登

高1km气温的变化量为-6C,攀登3km后，气温有什么变化？

解：本题是关于有理数的乘法问题，根据题意，

(-6)X3=-18

由于规定下降为负，所以气温下降18C.

六、巩固练习

课本第30页练习.

1.第2题：降5元记为-5元，那么-5X60=-300（元）

与按原价销售的60件商品相比，销售额减少了300元.

2.第3题：1和T的倒数分别是它们的本身；-L的倒数分别为3,-3；5,-5的倒

33

数分别为上1，122的倒数分3别是3此外，1与T,:1与二1,5与-5,92与2

是互为相反数.

七、课堂小结

1.强调运用法则进行有理数乘法的步骤.

2.比较有理数乘法的符号法则与有理数加法的符号法则的区别，以达到进一步巩固有

理数乘法法则的目的.

八、作业布置

1.课本第38页习题1.4第1、2、3题.

九、板书设计：

1.4.1有理数的乘法（1）

第一课时

1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘，都得0.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.4.1有理数的乘法（2）

第二课时

三维目标

—*、知识与技能

(1)能确定多个因数相乘时，积的符号，并能用法则进行多个因数的乘积运算.

(2)能利用计算器进行有理数的乘法运算.

二、过程与方法

经历探索几个不为0的数相乘，积的符号问题的过程，发展观察、归纳验证等能力.

三、情感态度与价值观

培养学生主动探索，积极思考的学习兴趣.

教学重、难点与关键

1.重点：能用法则进行多个因数的乘积运算.

2.难点：积的符号的确定.

3.关键：让学生观察实例，发现规律.

教具准备

投影仪.

四、教学过程

1.请叙述有理数的乘法法则.

2.计算：(1)|-5|(-2)；(2)(--)X(-9)；(3)0X(-99.9).

7

五、新授

1.多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘.

例如：计算：l^X(-1-)X(-7)=-X--X(-7)=-2X(-7)=14；

3535

又如：(+2)X[(-78)X-1-]=(+2)X(-26)=-52.

3

我们知道计算有理数的乘法，关键是确定积的符号.

观察：下列各式的积是正的还是负的？

(1)2X3X4X(-5)；(2)2X3X4X(-4)X(-5)；

(3)2X(-3)X(-4)X(-5)；(4)(-2)X(-3)X(-4)X(-5).

易得出：(1)、(3)式积为负，(2)、(4)式积为正，积的符号与负因数的个数有关.

教师问：几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？

学生完成思考后，教师指出：几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，与

正因数的个数无关，当负因数的个数为负数时，积为负数；当负因数的个数为偶数时，积为

正数.

2.多个不是0的有理数相乘，先由负因数的个数确定积的符号再求各个绝对值的积.

例3：计算：

591

(1)(-3)X-X(--)X(--)；

654

41

(2)(-5)X6X(--)X

54

解：(1)(负因数的个数为奇数3,因此积为负)

591

原式=-3X—X—X—

654

=_9

8

(2)(负因数的个数是偶数2,所以积为正)

_41

原式=5X6X—X—=6

54

观察下式，你能看出它的结果吗？如果能，说明理由？

7.8X(-5.1)XOX(-19.6)

归纳：几个数相乘，如果其中有因数为0,积等于0,这是因为任何数同0相乘，都得0.

六、课堂练习

课本第32页练习.

思路点拨：先观察题目是什么类型，然后按有理数的乘法法则进行，(1)、(2)题都是多

个不是0的数相乘，要先确定积的符号，再求积的绝对值，(3)题是几个数相乘，且其中有

一个因数为0,所以直接得结果0.

七、课堂小结

本节课我们通过观察实例，归纳出几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确

定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正；几个不等于零

的数相乘，先确定积的符号，再把各个数的绝对值相乘；几个数相乘，有一个因数是0,积

就为零.

八、作业布置

1.课本第38页习题1.4第7题第(1)、(2)、(3)题.

九、板书设计：

1.4.1有理数的乘法(2)

第二课时

1、几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，与正因数的个数无关，当负因数的

个数为负数时，积为负数；当负因数的个数为偶数时，积为正数.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.4.1有理数的乘法(3)

第三课时

三维目标

一、知识与技能

(1)能用乘法的三个运算律来进行乘法的简化运算.

(2)能进行乘法及加减法的混合运算.

二、过程与方法

经历探索有理数乘法运算律的过程，发展学生观察、归纳、验证等能力.

三、情感态度与价值观

鼓励学生积极思考，并与同伴进行交流的思想，体会运算律对简化运算的作用.

教学重、难点与关键

1.重点：能运用乘法运算律进行乘法运算.

2.难点：灵活运用运算律进行乘法运算.

3.关键：掌握乘法运算律以及运算法则.

四、教学过程

1.有理数的乘法法则是什么？

2.在小学里学过正有理数乘法有哪些运算律？

五、新授

在小学里，数的乘法满足交换律，例如8X3=3X8.

还满足结合律，例如(4X6)X3=4X(6X3).

引入负数后，乘法交换律、结合律是否还成立？

规定有理数乘法法则后，显然乘法交换律、结合律仍然成立.

例如：5X(-6)=-30,(-6)X5=-30

即5X(-6)=(-6)X5

[3X(-4)]X(-5)=(-12)X(-5)=60

3X[(-4)X(-5)]=3X(+20)=60

即[3X(-4)]X(-5)=3X[(-4)X(-5)]

大家可以再任意取一些数，试一试.

一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等.

乘法交换律：ab=ba.

说明：aXb可以写成a・b或ab.当用字母表示乘法时“X”号可写成“•”或省略.

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.

乘法结合律：(ab)c=a(be).

在小学里，乘法还满足分配律，例如6X(-+-)=6xl+6xl.

2323

任意选取三个有理数(至少有一个负数)分别填入下列口、。和△内，并比较两个运算

结果，你能发现什么？

OX(O+A)WOXO+L]XA

例:IH引X(Q)+△)=匚引X(-卷)=9

EH—十1。=)

所以：-5X1-+(-2)]=-5X-L+(-5)X(-2)

这就是说，有理数的乘法仍满足分配律.

一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.

分配律:a(b+c)=ab+ac.

以上表示乘法运算律的式子中，a、b、c表示任意有理数.

乘法的运算律与加法运算律类似，也可以推广到多个数的情况.

在代数学的研究中，运算律是很重要的内容.在计算时运用运算律，往往能使计算简便.

例4：用两种方法计算(上+上一上)X12.

462

解法L按运算顺序，先计算小括号内的数.

(-+---)X12

462

=)X12

121212

=--X12=-l

12

解法2：运用分配律.

X12

462

=-X12+-X12--X12

462

=3+2-6=-1

思考：比较以上两种方法，哪种解法运算量小？

显然解法2运算量小，它不需要通分.

六、课堂练习

1.课本第33页练习.

(1)-8500,运用结合律，先算(-25)X(-4).

(2)15,运用乘法交换律和结合律.

(3)25,运用分配律.

七、课堂小结

运算律的运用十分灵活，在有理数的混合运算中，各种运算律常常是混合运用的，这就

要求我们要有较好的掌握运算律进行计算的能力，在平时的练习中，要观察题目特点，寻找

最佳解题方法，这样往往可以减少计算量.

八、作业布置

1.课本第39页，习题1.4第7题第(1)、(2)、(3)小题.

九、板书设计：

1.4.1有理数的乘法(3)

第三课时

1、一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等.

2、一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.

3、随堂练习。

4、小结。

5、课后作业。

十、课后反思

1.4.2有理数的除法(1)

第四课时

三维目标

一、知识与技能

掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算以及分数的化简.

二、过程与方法

通过学习有理数除法法则，体会转化思想，会将乘除混合运算统一为乘法运算.

三、情感态度与价值观

培养学生勇于探索积极思考的良好学习习惯.

教学重、难点与关键

1.重点：正确应用法则进行有理数的除法运算.

2.难点：灵活运用有理数除法的两种法则.

3.关键：会将有理数的除法转化为乘法.

四、教学过程，课堂引入

1.小学里，除法的意义是什么？它与乘法有什么关系？

已知两数的积与一个因数，求另一个因数。用除法，乘法与除法互为逆运算除以一个数

等于乘以这个数的倒数.

2.求下列各数的倒数：

23

(1)--；(2)-0.125；(3)-1-.

57

五、新授

引入负数后，如何计算有理数的除法呢？

例如8+(-4).

根据除法意义，这就是要求一个数，使它与-4相乘得8.

因为(-2)X(-4)=8

所以84-(-4)=-2①

另外，我们知道，8X(-1)=-2②

4

由①、②得84-(-4)=8X(-i)③

4

③式表明，一个数除以-4可以转化为乘以-1•来进行，即一个数除以-4,等于乘以-4的

4

倒数-二

4

探索：换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以a(aWO)可以转化为乘以L呢？［例

如(TO)4-(-4)]

从而得出有理数除法法则：

除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.

这个法则也可以表示成：

a-rb=a•—(bWO),

b

其中a、b表示任意有理数(bWO)

倒数_____

i^

例如：=(-±)x(-4)

除转化为乘

两数相除的商仍有符号和绝对值两部分组成，由于除法可转化为乘法，因此商的符号确

定与有理数乘法类似，你能否得到与有理数乘法法则类似的除法法则吗？

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

零除以任何一个不等于零的数，都得零.

这是有理数除法法则的另一种说法，具体采用哪一种方法，灵活选用.

1?3

例5：计算：(1)(-36)4-9；(2)(--)4-

255

分析：(1)题，36能被9整除，可以用方法二，直接除；(2)题是分数除法，可转化

为乘法.

解：(1)(-36)4-9=-(364-9)=-4(先确定符号，再求绝对值);

1231254

(2)(--)+(--)=(--)X(--)=-

2552535

例6：化简下列分数：

-12-45

(1)—；(2)—.

3-12

分析：分数可以理解为除法，所以要按除法法则进行，可以直接除，也可以转化为乘法,

利用乘法的运算性质简化分数.

解:(1)士=(-12)+3=-4；

3

-45115

(2)—=(-45)4-(-12)=(-45)X(―)=—

-12124

例7：计算：

(1)(-125-)+(-5)；(2)-2.54--X

78

由于1251•化为假分数，计算量大，可以把

分析：(1)题是分数除法，应转化为乘法,

125±写成125+2后用分配律.(2)题是乘除混合运算，应将它统一为乘法以便约分.

77

解：(1)(-125-)4-(-5)

7

=125-4-5(先确定符号)

7

=(125+-)X-(除转化为乘，同时将125?写成125+3)

7577

=125x1+-xi(运用分配律)

575

=25+-=25-

77

(2)-2.54--X(-1)=1x-X-=l

84254

遇到乘除混合运算时，可先确定结果的符号，再将它统一为乘法，另外，既有小数，也

有分数时，通常把小数化为分数，以便约分.

六、随堂练习

课本第36页练习

七、课堂小结

本节课学习了有理数的除法法则，有理数的除法有两种方法.一是根据“除以一个数，

等于乘以这个数的倒数”，转化为乘法，按乘法法则进行.二是根据“两数相除，同号得正，

异号得负，并把绝对值相除.一般能整除时用第二种方法.乘除混合运算，先统一为乘法，

再按几个不等于0的数相乘的法则计算.

八、作业布置

1.课本第38页习题1.4第4、6、7(4)〜(8).

九、板书设计：

1.4.2有理数的除法(1)

第四课时

1、除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

零除以任何一个不等于零的数，都得零.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.4.2有理数的除法(2)

第五课时

三维目标

一、知识与技能

(1)会用计算器计算有理数的除法运算.

(2)掌握有理数的加减乘除混合运算.

二、过程与方法

通过本节课的数学活动，培养学生分析问题，综合应用知识解决实际问题的能力.

三、情感态度与价值观

培养学生动手操作能力，体会数学知识的应用价值.

教学重、难点与关键

1.重点：掌握有理数的加减乘除混合运算.

2.难点：符号的确定.

3.关键：掌握运算顺序以及运算法则.

四、教学过程、课堂引入

1、在小学里，加减乘除四则运算的顺序是怎样的？

先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号内的，另外还要注意

灵活应用运算律.有理数加减、乘除混合运算顺序与数的运算顺序一样.

五、新授

例8.计算：(1)-8+44-(-2)；

(2)(-7)X(-5)-904-(-15).

分析：(1)按运算顺序，先做除法，再做加法.(2)先算乘、除法，然后做减法.

解：(1)-8+44-(-2)

=-8+(-2)=-10

(2)(-7)X(-5)-904-(-15)

=35-(-6)=35+6=41

例9：某公司去年1〜3月平均每月亏损1.5万元，4〜6月平均每月盈利2万元，7〜10

月平均每月盈利1.7万元，11〜12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈利情况如

何？

分析：盈利与亏损是具有相反意义的量，我们把盈利额记为正数，亏损额记为负数，那

么公司去年全年亏盈额就是去年1〜12月的所亏损额和盈利额的和.

解：(-1.5)X3+2X3+1.7X4+(-2.3)X2

=-4.5+6+6.8-4.6=3.7(万元).

答：这个公司去年全年盈利3.7万元.

例10：计算36+3x1-[(+-)-(--)-(+-)

3