专题20新定义型二次函数问题(重点突围)(原卷版+解析)

专题20新定义型二次函数问题【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一新定义型二次函数问题】 1【直击中考】【考向一新定义型二次函数问题】例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线经过点，则b＝，顶点坐标为，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线．①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．【变式训练】1．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线与抛物线是都经过的同弦抛物线．(1)引进一个字母，表达出抛物线的所有同弦抛物线；(2)判断抛物线与抛物线是否为同弦抛物线，并说明理由；(3)已知抛物线是的同弦抛物线，且过点，求抛物线对应函数的最大值或最小值．2．（2022·九年级单元测试）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数，，，是常数）与，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：(1)写出函数的“旋转函数”；(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；(3)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、、关于原点的对称点分别是、、，试证明经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”．3．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．(1)请写出抛物线的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．4．（2023·全国·九年级专题练习）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，对于一个动点，若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设，，由①得将③代入②得，整理得，则直线是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系中，已知动点（a为任意实数）的运动路径是抛物线．(1)请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；(2)记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线始终过点A，点C的对应点为．ⅰ）试确定点运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线的左侧，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义若抛物线（）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．(1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）①；②；③；(2)如图，已知直线l：，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为、，在直线l上方抛物线部分是否存在点使△面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知x轴的“双幸运曲线”（）经过点（1，3），（0，），在x轴的“幸运点”分别为、，试求的取值范围．6．（2022·湖南湘西·统考中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：(1)点的“简朴”点是________；(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；(3)已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围．8．（2022春·九年级课时练习）定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）(2)试求出的“反顶伴侣二次函数”．(3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由．(4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由．9．（2022·全国·九年级专题练习）定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l′的图象，则称函数l′是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．(1)当t＝﹣2时，①求衍生抛物线l′的函数解析式；②如图1，函数l与l'的图象交于M（，n），N（m，﹣2）两点，连接MN．点P为抛物线l′上一点，且位于线段MN上方，过点P作PQ∥y轴，交MN于点Q，交抛物线l于点G，求S△QNG与S△PNG存在的数量关系．(2)当t＝2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l′与x轴交于D，E两点，与y轴交于点F．点K在抛物线l′上，且∠EFK＝∠OCA．请直接写出点K的横坐标．10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．例如：的“镜像抛物线”为．(1)请写出抛物线的顶点坐标______，及其“镜像抛物线的顶点坐标______．写出抛物线的“镜像抛物线”为______．(2)如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“镜像抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，，连接，，，．①当四边形为正方形时，求的值．②求正方形所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）专题20新定义型二次函数问题【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一新定义型二次函数问题】 1【直击中考】【考向一新定义型二次函数问题】例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线经过点，则b＝，顶点坐标为，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线．①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．【答案】(1)；；；(2)(3)①；衍生中心的坐标为；②【分析】（1）把代入即可求出，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于的对称点，从而可写出原抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式；（2）先求出抛物线的顶点是，从而求出关于的对称点是，得，根据两抛物线有交点，可以确定方程有解，继而求得的取值范围即可；（3）①先求出抛物线以及抛物线的衍生抛物线为，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；②根据中心对称，由题意得出，…

分别是，…的中位线，继而可得，，…，再根据点的坐标即可求得的长，即可求解．【详解】（1）解：把代入，得，∴，∴顶点坐标是，∵关于的对称点，∴成中心对称的抛物线表达式是：，即，故答案为：，，；（2）∵，∴顶点是∵关于的对称点是，∴，∵两抛物线有交点，∴有解，∴有解，∴，∴；（3）①∵，∴顶点，代入得：①∵，∴顶点，代入得：②由①②得，∵，，∴，∴两顶点坐标分别是，，由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是；②如图，设，…，与轴分别相于，…

，，则，，…，分别关于，…，中心对称，∴，…

分别是，…的中位线，∴，，…，∵，，∴．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键．【变式训练】1．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线与抛物线是都经过的同弦抛物线．(1)引进一个字母，表达出抛物线的所有同弦抛物线；(2)判断抛物线与抛物线是否为同弦抛物线，并说明理由；(3)已知抛物线是的同弦抛物线，且过点，求抛物线对应函数的最大值或最小值．【答案】(1)(2)不是，理由见解析(3)【分析】（1）由题意可直接得出抛物线的所有同弦抛物线为；（2）将抛物线的表达式化为交点式，即得出其与x轴的交点坐标，再根据“同弦抛物线”的定义，即可得出结论；（3）由题意可设抛物线的函数表达式为，再将点的坐标代入，求出a的值，得出抛物线的函数表达式，化为顶点式，即可得出答案．【详解】（1）引进一个字母a，则抛物线的所有同弦抛物线可表示为；（2）不是．理由如下：∵，∴抛物线与x轴交于点为，∴抛物线与抛物线不是同弦抛物线；（3）∵抛物线与抛物线是同弦抛物线，∴抛物线的函数表达式为．把点的坐标代入，得：解得：．∴抛物线的函数表达式为．∵，∴抛物线有最小值，最小值为．【点睛】本题考查新定义，二次函数与x轴的交点，二次函数的图象和性质．解题的关键是理解题意，掌握“同弦抛物线”的定义是解题关键．2．（2022·九年级单元测试）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数，，，是常数）与，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：(1)写出函数的“旋转函数”；(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；(3)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、、关于原点的对称点分别是、、，试证明经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”．【答案】(1)(2)1(3)见解析【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出，，，从而得到原函数的“旋转函数”；（2）根据“旋转函数”的定义得到，，再解方程组求出和的值，然后根据乘方的意义计算；（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定，，，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到，，，则可利用交点式求出经过点，，的二次函数解析式为，再把化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断．【详解】（1）解：，，，，，，，，，函数的“旋转函数”为；（2）解：根据题意得，，解得，，；（3）证明：当时，，则，当时，，解得，，则，，点、、关于原点的对称点分别是，，，，，，设经过点，，的二次函数解析式为，把代入得，解得，经过点，，的二次函数解析式为，而，，，，经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．3．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．(1)请写出抛物线的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．【答案】(1)，，(2)①a；②或【分析】（1）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；（2）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求a；②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，∴抛物线的“同轴对称抛物线”为；故答案为：，，．（2）①当时，，∴，∴，∴，∵抛物线L的对称轴为直线，∴点，∴，∵四边形是正方形，∴，即，解得：（舍）或．②抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为，∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，∴整点数也是关于x轴对称出现的，∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，（i）当时，∵L开口向上，与y轴交于点，∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，∴当时，，当时，，解得：；（ii）当时，∵L开口向下，与y轴交于点，∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，∴当时，，当时，，解得：，综上所述：或．【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．4．（2023·全国·九年级专题练习）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，对于一个动点，若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设，，由①得将③代入②得，整理得，则直线是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系中，已知动点（a为任意实数）的运动路径是抛物线．(1)请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；(2)记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线始终过点A，点C的对应点为．ⅰ）试确定点运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线的左侧，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)ⅰ）；ⅱ）或．【分析】（1）设，，可得；（2）ⅰ）设抛物线的解析式为，由，可得；ⅱ）在上，则C点关于直线的对称点为，此时，为等腰三角形；设，当时，；当时，只能在右侧不符合题意．【详解】（1）解：设，，由①得③，将③代入②得；（2）解：，，令，则，解得或，点A在B的左侧，，，ⅰ）设抛物线的解析式为，，平移后的抛物线过点，，令，，；ⅱ）存在点，使为等腰三角形，理由如下：在上，点关于直线的对称点为，此时，为等腰三角形；设，当时，，整理得：，解得或（舍），；当时，只能在右侧，此时不符合题意；综上所述：点的坐标为或．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，理解定义，将所求问题转化为二次函数问题是解题的关键．5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义若抛物线（）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．(1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）①；②；③；(2)如图，已知直线l：，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为、，在直线l上方抛物线部分是否存在点使△面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知x轴的“双幸运曲线”（）经过点（1，3），（0，），在x轴的“幸运点”分别为、，试求的取值范围．【答案】(1)②(2)存在，最大面积为此时(3)【分析】（1）分别联立一次函数与抛物线的解析式，再判断方程组的解的个数得到函数图象的交点个数，结合新定义可得答案；（2）如图，过作轴交于点先求解A，B的坐标，再设则可得再利用面积公式列二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；（3）先求解则抛物线为：再结合抛物线与x轴有两个交点，可得再利用，结合二次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：联立∴即∴方程无解，∴两个函数图象没有交点，∴根据定义：抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；同理：由可得：方程有两个不相等的实根，∴两个函数有两个交点，∴抛物线为该直线的“双幸运曲线”；由可得：解得：方程有两个相等的实根，∴两个函数有1个交点，∴抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；故选②（2）存在，理由如下：如图，过作轴交于点联立∴解得：∴∴设则∴∴当时，面积最大，最大面积为此时∴（3）∵（）经过点（1，3），（0，），∴解得：∴抛物线为：令则结合题意可得方程有两个不相等的实根∴∴∵∴，解得，∴，∴∴当时，最小，为，当时，最大，为∴【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的交点问题，新定义的理解，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，熟练构建函数，再利用函数的性质解决问题是关键．6．（2022·湖南湘西·统考中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）(2)(3)存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式．（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可．（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分来两种情况讨论：①当EG＝EF时，，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．【详解】（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴G（0，﹣3）．（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，∴＝．（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，此时x无解；综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．7．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：(1)点的“简朴”点是________；(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；(3)已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可；（2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“简朴曲线”即可；（3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“简朴曲线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当0≤c≤3时，n的取值范围即可．（1）解：根据题意可知，点A(x，y)的“简朴”点是，∴点P（1，2）的“简朴”点的纵坐标为1+2=3，即．故答案为：．（2）将点M（1，-3）代入抛物线得：，解得：，即抛物线的解析式为，∴抛物线的“简朴曲线”为，即．（3）根据题意可知，点是点B（x，y）的“简朴”点，∴，解得：，即，将点代入抛物线得：，则，∴抛物线为，∴抛物线的“简朴曲线”为：，即∵其顶点坐标为（m，n），∴，将n看作c的函数，∵，时，n有最大值，且最大值为1，当0≤c≤3时，，n有最小值，且最小值为，∴当0≤c≤3时，n的取值范围是．【点睛】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．8．（2022春·九年级课时练习）定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）(2)试求出的“反顶伴侣二次函数”．(3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由．(4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由．【答案】(1)假(2)(3)见解析(4)①真；②见解析；③见解析【分析】（1）根据题意举反例验证求解即可；（2），则“反顶伴侣二次函数”为，再将（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；（3）根据题意，分别表示出过顶点坐标的函数解析式，进行相加化简即可得出结果；（4）①由旋转的性质，找到对称中心M，可知对于任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”；②利用A，B坐标求出中点M的坐标，进而得出结论；③根据矩形的性质和平行的性质，得出AB∥y轴，进而得出A，B点的坐标均为（h，h），最后得出结论．【详解】（1）解：令的顶点坐标A为（1，4），开口向上，则的顶点坐标B为（4，1），此时C1不经过B（4，1），∴所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是假命题．故答案为：假．（2）解：，则“反顶伴侣二次函数”为，由题意，得将（2，1）代入，得，解得a=-1，∴的“反顶伴侣二次函数”为．（3）解：∵二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，∴①，②，①+②，得，当h=k时，与任意非零实数；当h≠k时，=0．（4）解：①如图∵A，B的中点为M，∴对称中心为M，∴任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”．故答案为：真；②∵M为A，B的中点，∴M的坐标为，即M在直线y=x上．③解：∵轴，四边形EFQG为矩形，∴AB∥y轴，∴h=k，即A，B的坐标均为（h，h），∴A，B两点重合在直线y=x上．【点睛】本题考查二次函数的性质，以及矩形的性质，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键．9．（2022·全国·九年级专题练习）定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l′的图象，则称函数l′是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．(1)当t＝﹣2时，①求衍生抛物线l′的函数解析式；②如图1，函数l与l'的图象交于M（，n），N（m，﹣2）两点，连接MN．点P为抛物线l′上一点，且位于线段MN上方，过点P作PQ∥y轴，交MN于点Q，交抛物线l于点G，求S△QNG与S△PNG存在的数量关系．(2)当t＝2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l′与x轴交于D，E两点，与y轴交于点F．点K在抛物线l′上，且∠EFK＝∠OCA．请直接写出点K的横坐标．【答案】(1)①；②；(2)点K的横坐标为4或【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN的解析式，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则得到Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3），利用m的代数式分别表示出PQ，QG的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A，B，C，D，E，F的坐标，进而得出线段OA，OC，OD，OE，AC，OF的长，设直线FK的解析式为y＝kx﹣5，设直线FK交x轴于点M，过点M作MN⊥EF于点N，用k的代数式表示出线段OM．FM，ME的长，利用∠EFK＝∠OCA，得到sin∠EFK＝sin∠OCA，列出关于k的方程，解方程求得k值，将直线FK的解析式与衍生抛物线l′的函数解析式联立即可得出结论．(1)解：①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴当t＝﹣2时，将二次函数l的图象沿x轴向右平移t个单位得：y＝（x+1）2﹣4．∴此时函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．再沿x轴翻折，得到新函数的顶点坐标为（﹣1，4）．∵沿x轴翻折，得到新函数的形状大小不变，开口方向相反，∴沿x轴翻折，得到新函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4．∴衍生抛物线l′的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；②∵M（，n），N（m，﹣2）两点在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，∴n＝2，m．∴M（，2），N（，﹣2）．∴直线MN的解析式为y＝﹣2x．如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），∵PQ∥y轴，∴Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3）．∴PQ＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（﹣2m）＝﹣m2+3，QG＝（﹣2m）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3，∴PQ＝QG．∴QGPG．∵△PNG与△QNG高相等，∴．∴S△QNG与S△PNG存在的数量关系：；(2)解：点K的横坐标为4或．理由：当t＝2时，函数l的衍生抛物线l′的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5．令x＝0，则y＝﹣5，∴F（0，﹣5）．∴OF＝5．令y＝0，则﹣x2+6x﹣5＝0，解得：x＝1或5．∴D（1，0），E（5，0）