第四章基本平面图形(原卷版+解析)

第四章基本平面图形一、选择题1．如图，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（）．A． B． C． D．2．点C在线段上，下列条件中不能确定点C是线段中点的是（）A． B． C． D．3．在下列说法中：①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；②钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是直角；③钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．下列说法正确的是（）A．射线PA和射线AP是同一条射线 B．若，则P是线段AB的中点C．直线ab，cd相交于点P D．两点确定一条直线5．用下列正多边形镶嵌，①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，哪两种正多边形能镶嵌成一个平面图案（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．下列三种现象中，可用“两点之间线段最短”来解释的现象是（）（1）用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；（2）过马路时，行人选择横穿马路而不走人行天桥；（3）工人砌砖前需要固定两点，牵上线，才开始砌砖．A．（1） B．（2） C．（2）（3） D．都不可以7．如图，，C为AB的中点，点D在线段AC上，且，则DB的长度为（）

A．4 B．6 C．8 D．108．下列度分秒运算中，正确的是（）A．48°39′+67°31′＝115°10′B．90°﹣70°39′＝20°21′C．21°17′×5＝185°5′D．180°÷7＝25°43′（精确到分）9．若，，，则有（）A． B．C． D．10．如图，已知，，是的平分线．有下列关系式：①；②；③；④，其中一定正确的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题11．如图，以图中的A，B，C，D，E为端点的线段共有__________条．12．在一个圆中，有个圆心角为160°的扇形，则这个扇形的面积是整个圆面积的________.13．如图，直线与直线相交于点，，射线，则度数为___________．14．如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东72°方向，则∠ACB的度数是______．15．如图，D、E分别为AB、BC的中点，若，，则_____．三、解答题16．已知四点A、B、C、D．根据下列语句，画出图形．①画直线AB；②连接AC、BD，相交于点O；③画射线AD、射线BC，相交于点P．

17．如图，是小明家（图中点O）和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点．①请用距离和方向角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置；②若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？18．如图所示，线段，点C是AB的中点，点D为CB上一点，点E为DB的中点，，求线段CD的长.19．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数．20．如图OC是内部的一条射线，，OD平分∠AOC．（1）若，求∠BOC和∠BOD的度数；（2）画出平分线OE，说明．21．如图，直线AB、CD交于点O，∠AOM=90°（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数.22．如图，点在线段上，点分别是的中点．（1）若，求线段MN的长；（2）若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能求出的长度吗？请说明理由．（3）若在线段的延长线上，且满足分别为AC、BC的中点，你能求出的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．23．如图，在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB＝40cm，BC＝280cm．点P、点Q分别由A点、B点同时出发向点C运动，运用时间为t（单位；s），点P的速度为3cm/s，点Q的速度为1cm/s（1）请求出线段AC的长；（2）若点D是线段AC的中点，请求出线段BD的长；（3）请求出点P出发多少秒后追上点Q；（4）请直接写出点P出发多少秒后，与点Q的距离是20cm．24．如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．（1）求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．（3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表示）．第四章基本平面图形一、选择题1．如图，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角的四种表示方法和具体要求回答即可．【详解】A、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项错误；B、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项错误；C、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故C选项错误；D、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，掌握角的表示方法是解题的关键.2．点C在线段上，下列条件中不能确定点C是线段中点的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、C、D都可以确定点C是线段AB中点．【详解】解：A、AC=BC，则点C是线段AB中点；B、AC+BC=AB，则C可以是线段AB上任意一点；C、AB=2AC，则点C是线段AB中点；D、BC=AB，则点C是线段AB中点．故选：B．【点睛】本题主要考查线段中点，根据线段的中点能够写出正确的表达式．反过来，也要会根据线段的表达式来判断是否为线段的中点．3．在下列说法中：①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；②钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是直角；③钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】分别算出时针和分针的夹角，逐一判断，即可解答．【详解】解：①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是180°﹣30°÷4，不是平角，原说法错误；②钟表上六点整时，时针指向6，分针指向12，形成的角是平角，原说法正确；③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是90+30°÷4，不是直角，原说法错误；④钟表上九点整时，时针指向9，分针指向12，形成的角是直角，原说法正确．∴正确的个数是2个．故选：B．【点睛】本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．4．下列说法正确的是（）A．射线PA和射线AP是同一条射线 B．若，则P是线段AB的中点C．直线ab，cd相交于点P D．两点确定一条直线【答案】D【分析】根据直线、射线、线段的性质对各选项分析判断．【详解】解：A、射线PA和射线AP不是同一条射线，故本选项错误；B、如果P、A、B三点不在同一直线上，那么P不是线段AB的中点，故本选项错误；C、直线ab，cd的写法不对，故本选项错误；D、两点确定一条直线，故本选项正确；故选D．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的特性，是基础题，需熟练掌握．5．用下列正多边形镶嵌，①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，哪两种正多边形能镶嵌成一个平面图案（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360即可作出判断．【详解】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，符合题意；②正方形的每个内角是90°，4个能密铺，符合题意；③正五边形每个内角是180°−360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺，不符合题意．④正六边形每个内角是180°−360°÷6＝120°，能整除360°，能密铺，符合题意．故①④两种正多边形能镶嵌成一个平面图案．故选：B．【点睛】本题考查一种正多边形的镶嵌问题．用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．6．下列三种现象中，可用“两点之间线段最短”来解释的现象是（）（1）用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；（2）过马路时，行人选择横穿马路而不走人行天桥；（3）工人砌砖前需要固定两点，牵上线，才开始砌砖．A．（1） B．（2） C．（2）（3） D．都不可以【答案】B【分析】根据两点之间线段最短的内容，寻找两个固定点，及固定点间线段，进行判断即可．【详解】解：（1）用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，没有固定两个点，故（1）不可用；（2）过马路时，行人选择横穿马路而不走人行天桥，因为到从起始点到出发点，走天桥是曲线，不是两点间的线段，路线会更长，故（2）可用；（3）工人砌砖前需要固定两点，牵上线，才开始砌砖，是利用了两点之间确定一条直线，以保证砖砌平，而不是两点之间线段最短，故（3）不可用．故选B．【点睛】本题考查了学生对“两点之间线段最短”这一知识点的理解与实际应用，正确理解，从现实中抽象出这一模型是解决本题的关键．7．如图，，C为AB的中点，点D在线段AC上，且，则DB的长度为（）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】根据已知条件得到，再根据，得到，即可得解；【详解】因为C为AB的中点，，所以，因为，所以，则．故选D．【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，准确计算是解题的关键．8．下列度分秒运算中，正确的是（）A．48°39′+67°31′＝115°10′B．90°﹣70°39′＝20°21′C．21°17′×5＝185°5′D．180°÷7＝25°43′（精确到分）【答案】D【分析】逐项计算即可判定．【详解】解：，故A选项错误；，故B选项错误；，故C选项错误；，故D选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查度分秒的换算，掌握是解题的关键．9．若，，，则有（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵∠A=28°18′，∠B=28°15″，∴∠A＞∠B，∵∠C=28.25°=28°15′，∴∠A＞∠C＞∠B．故选：C．【点睛】此题考查了角的大小比较，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再进行比较是本题的关键．10．如图，已知，，是的平分线．有下列关系式：①；②；③；④，其中一定正确的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据角平分线的性质逐一判断即可；【详解】∵，∴，∴，故①正确；∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，故②正确；∵是的平分线，∴，∵，∴，故③正确；∵，，故④正确；∴正确的是①②③④；故答案选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．二、填空题11．如图，以图中的A，B，C，D，E为端点的线段共有__________条．【答案】10【分析】根据两个点之间可以组成一条线段进行求解即可．【详解】解：如图所示：线段有：AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB一共10条，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了线段的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关定义．12．在一个圆中，有个圆心角为160°的扇形，则这个扇形的面积是整个圆面积的________.【答案】【解析】【分析】求160°的扇形的面积是整个圆面积的几分之几，就是求160°的角是整个圆周角360°的几分之几，就用160°除以360°列式计算即可解答．【详解】160°÷360°=故答案为：.【点睛】此题考查圆的面积，解题关键在于掌握运算公式.13．如图，直线与直线相交于点，，射线，则度数为___________．【答案】或【分析】根据条件求得∠COB的度数，然后根据∠BOE=∠COE-∠COB即可求解．【详解】解：如图，∵∴∵∴∴∠BOE=∠COE-∠COB=90°-60°=30°同理，如图，当点E′在EO的延长线上时，∠BOE′=180°-30°=150°故答案是：30°或150°．【点睛】本题考查了角度的计算，理解垂直的定理，根据条件正确作出图形是关键．14．如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东72°方向，则∠ACB的度数是______．【答案】78°【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵AE，DB是正南和正北方向，∴BD∥AE，∵B处在A处的南偏西42°方向，∴∠BAE＝∠DBA＝42°，∵C处在A处的南偏东30°方向，∴∠EAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝42°+30°＝72°，又∵C处在B处的北偏东72°方向，∴∠DBC＝72°，∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣72°＝78°．故答案为：78°．【点睛】本题考查的是方向角的概念，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．15．如图，D、E分别为AB、BC的中点，若，，则_____．【答案】【分析】根据中点的概念可分别求得DB、BE的长，由线段的和即可求得DE的长．【详解】∵D、E分别为AB、BC的中点∴，∴DE=DB+BE=故答案为：【点睛】本题考查了中点的概念，线段的和，理解题意江掌握这些知识是关键．三、解答题16．已知四点A、B、C、D．根据下列语句，画出图形．①画直线AB；②连接AC、BD，相交于点O；③画射线AD、射线BC，相交于点P．

【答案】见详解【分析】根据直线、射线、线段的性质画图即可．【详解】解：如图

【点睛】此题主要考查了简单作图，解答此题需要熟练掌握直线、射线、线段的性质，认真作图解答即可．17．如图，是小明家（图中点O）和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点．①请用距离和方向角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置；②若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？【答案】①商场在小明家西偏北60°方向，距离2.5cm位置，学校在小明家东偏北45°方向，距离2cm位置，公园在小明家东偏南30°方向，距离2cm位置，停车场在小明家东偏南30°方向，距离4cm位置；②800m【分析】①根据方向角定义及图中线段的长度即可得知；②根据学校距离小明家400m而图中对应线段OA＝2cm可知图中1cm表示200m，再根据OB、OP的长即可得．【详解】解：①商场在小明家西偏北60°方向，距离2.5cm位置，学校在小明家东偏北45°方向，距离2cm位置，公园在小明家东偏南30°方向，距离2cm位置，停车场在小明家东偏南30°方向，距离4cm位置；②∵学校距离小明家400m，且OA＝2cm，∴图中1cm表示200m，∴商场距离小明家2.5×200＝500m，停车场距离小明家4×200＝800m．【点睛】本题主要考查方向角的概念，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．18．如图所示，线段，点C是AB的中点，点D为CB上一点，点E为DB的中点，，求线段CD的长.【答案】8【分析】根据中点的定义求出BC，BD，再由CD=BC-BD，可得出答案．【详解】因为点E为DB的中点，所以.因为，点C是AB的中点，所以.所以.【点睛】此题考查两点间的距离，解题关键在于求出BC，BD.19．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数．【答案】∠3=50°，∠2=65°．【分析】根据平角为180度可得∠3=180°-∠1-∠FOC，根据对顶角相等可得∠AOD的度数，然后再根据角平分线定义进行计算即可【详解】解：∵∠AOB=180°，∴∠1+∠3+∠COF=180°，∵∠FOC=90°，∠1=40°，∴∠3=180°-∠1-∠FOC=50°，∠BOC=∠1+∠FOC=130°，∴∠AOD=∠BOC=130°，∵OE平分∠AOD，∴∠2=∠AOD=65°．【点睛】本题主要考查了对顶角，邻补角性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．20．如图OC是内部的一条射线，，OD平分∠AOC．（1）若，求∠BOC和∠BOD的度数；（2）画出平分线OE，说明．【答案】（1），；（2）图见解析，理由见解析【分析】（1）设，根据题意列出方程，解方程求出，计算即可；（2）根据角平分线的定义证明．【详解】解：（1）设，则，因为∠AOB=120°所以，则，即，，因为平分，，所以；（2）的平分线如图所示：因为平分，，因为平分，，．【点睛】本题考查了角的计算、角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义以及角平分线的画法．21．如图，直线AB、CD交于点O，∠AOM=90°（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数.【答案】（1）135°；（2）54°【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；（2）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．【详解】解（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，∴∠AOC=∠AOM=×90°=45°，∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，即∠AOD的度数为135°；（2）∵∠BOC=4∠NOB∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，∴∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°，∵OM平分∠CON，∴∠COM=∠MON=∠CON=°，∵∠BOM=x+x=90°，∴x=36°，∴∠MON=x°=×36°=54°，即∠MON的度数为54°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）难点在于根据∠BOM列出方程．22．如图，点在线段上，点分别是的中点．（1）若，求线段MN的长；（2）若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能求出的长度吗？请说明理由．（3）若在线段的延长线上，且满足分别为AC、BC的中点，你能求出的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）7.5；（2）a，理由见解析；（3）能，MN=b，画图和理由见解析【分析】（1）据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．

（2）据题意画出图形，利用MN=MC+CN即可得出答案．

（3）据题意画出图形，利用MN=MC-NC即可得出答案．【详解】解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，

∴CM=AC=4.5cm，

CN=BC=3cm，

∴MN=CM+CN=4.5+3=7.5cm．

所以线段MN的长为7.5cm．（2）MN的长度等于a，

根据图形和题意可得：MN=MC+CN=AC+BC=（AC+BC）=a；（3）MN的长度等于b，根据图形和题意可得：

MN=MC-NC=AC-BC=（AC-BC）=b．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，关键是掌握线段的中点把线段分成两条相等的线段，注意根据题意画出图形也是关键．23．如图，在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB＝40cm，BC＝280cm．点P、点Q分别由A点、B点同时出发向点C运动，运用时间为t（单位；s），点P的速度为3cm/s，点Q的速度为1cm/s（1）请求出线段AC的长；（2）若点D是线段AC的中点，请求出线段BD的长；（3）请求出点P出发多少秒后追上点Q；（4）请直接写出点P出发多少秒后，与点Q的距离是20cm．【答案】（1）320cm；（2）120cm；（3）20秒；（4）10或30秒【分析】（1）根据题意可求出AC的长度，（2）先求出AD的长度，利用BD＝AD﹣AB即可求出答案．（3）设点P出发t秒后追上点Q，列出方程即可求出答案．（4）根据P、Q的位置列出方程即可求出答案．【详解】解：（1）∵AB+BC＝AC，∴AC＝320；（2）∵D是线段AC的中点，∴AD＝160，∴BD＝AD﹣AB