必刷提高练【28.1锐角三角函数】(原卷版+解析)

2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）提高第28章《锐角三角函数》28.1锐角三角函数知识点01：锐角三角函数的定义1．（2022秋•宝安区校级期中）△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，tanB的值是（）A． B． C． D．2．（2022秋•荔城区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列四个选项，正确的是（）A． B． C． D．3．（2022秋•姑苏区校级期中）在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值（）A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的一半 C．都没有变化 D．不能确定4．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为．5．（2022•昭阳区一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则cosB的值为．6．（2021秋•井研县期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinB＝．7．（2015秋•醴陵市校级月考）已知，如图Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，求sin∠A和tan∠A．8．（2022•淮北模拟）在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）求证：CD＝2AD；（2）当α＝90°时，求DE的长；（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．9．（2018•青浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．知识点02：同角三角函数的关系10．（2021秋•邵东市期末）在△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，则cosA＝（）A． B． C． D．11．（2021秋•南岗区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值为（）A． B． C． D．12．（2021秋•瑶海区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（）A． B． C． D．13．（2021•蒙阴县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sinA＝，则cos∠BCD的值为．14．（2020•浙江自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：．15．（2018•姜堰区二模）若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝．16．（2015秋•迎泽区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝．求cosA，sinB，tanB的值．若α为锐角，tanα＝4，求的值．18．对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sinA+cosA＝．试求：（1）sinA•cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．知识点03：互余两角三角函数的关系19．（2021秋•雁江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（）A．a2+b2＝c2 B．sinB＝cosA C． D．sin2A+cos2A＝120．（2021秋•滦州市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB＝（）A． B． C． D．21．（2021秋•合肥期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（）A． B． C． D．22．（2020秋•富川县期末）如果∠A是锐角，∠A+∠B＝90°，且sinA＝，那么cosB＝．23．（2020秋•中方县期末）在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝．知识点04：特殊角的三角函数值24．（2022秋•丰泽区校级月考）在△ABC中，若sinA＝，cosB＝，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．105° B．90° C．75° D．120°25．（2022•石家庄模拟）下列说法中正确的是（）A．在Rt△ABC中，若，则a＝4，b＝3 B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则 C．tan30°+tan60°＝1 D．tan75°＝tan（45°+30°）＝tan45°+tan30°＝1+26．（2021秋•市中区期末）若锐角α满足tanα＝，则角α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°27．（2020秋•紫金县期末）已知α、β均为锐角，且满足|cosα﹣|+＝0，则α+β的度数为．28．（2020秋•隆回县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，那么sinA＝．29．（2021春•凉州区校级期中）在△ABC中，∠A，∠B为锐角，sinA＝，tanB＝．则△ABC的形状为．30．（2021•佛冈县校级模拟）在△ABC中，|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是．31．（2019秋•工业园区期末）计算：tan45°﹣4sin30°cos230°．32．（2020秋•瑶海区校级月考）计算：+sin45°．2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）提高第28章《锐角三角函数》28.1锐角三角函数知识点01：锐角三角函数的定义1．（2022秋•宝安区校级期中）△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，tanB的值是（）A． B． C． D．解：如图：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，∴AC＝＝＝12，∴tanB＝＝，故选：D．2．（2022秋•荔城区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列四个选项，正确的是（）A． B． C． D．解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∴tanB＝＝，所以A选项不符合题意；tanA＝＝，所以B选项不符合题意；sinB＝＝，所以C选项符合题意；cosB＝＝，所以D选项不符合题意．故选：C．3．（2022秋•姑苏区校级期中）在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值（）A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的一半 C．都没有变化 D．不能确定解：根据锐角三角函数的概念，知如果各边都扩大原来的2倍，则其锐角的三角函数值不变．故选：C．4．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为．．解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案为：．5．（2022•昭阳区一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则cosB的值为．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，∴设BC＝x，则AC＝2x，∴AB＝x，则cosB＝＝＝．故答案为：．6．（2021秋•井研县期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinB＝．解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴sinB＝＝．故答案为：．7．（2015秋•醴陵市校级月考）已知，如图Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，求sin∠A和tan∠A．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝10，sin∠A＝＝＝；tan∠A＝＝＝．8．（2022•淮北模拟）在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）求证：CD＝2AD；（2）当α＝90°时，求DE的长；（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．（1）证明：如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，∴∠ODB＝∠CBD，∵BD是角平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，∵OD∥BC，∴＝，△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝＝＝，∴＝，∴CD＝2AD；解：（2）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，当α＝90°时，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠OBD＝45°，∠DOB＝90°，∵△BEC为等腰直角三角形，BC＝12，∴∠EBC＝45°，BE＝6，∴∠DBE＝90°，由（1）可得AB＝6，＝＝，∴OB＝4，∴BD＝4，∴DE＝＝2；（3）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，DE交BC于点F，设BC中点为点G，连接EG，∴BG＝6，当α变化时，OB的长度不变，∴点O在以点B为圆心，半径为4的圆弧上，令圆弧与BC交于点F，∴BF＝4，此时，点D在以点F为圆心，半径为4的圆弧上，当点D，E，F三点共线时，DE最大，∴GF＝BG﹣BF＝2，∴EF＝＝2，∴DE的最大值＝DF+FE＝2+4．9．（2018•青浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴DH＝DC＝x，则AD＝3﹣x．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，即CD＝；（2），∵BD＝2DE，∴，∴．知识点02：同角三角函数的关系10．（2021秋•邵东市期末）在△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，则cosA＝（）A． B． C． D．解：在△ABC中，∠C＝90°，∵tanA＝，∴＝，设BC＝3k，则AC＝4k，∴AB＝＝＝5k，∴cosA＝＝＝，故选：B．11．（2021秋•南岗区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值为（）A． B． C． D．解：∵∠C＝90°，sinA＝，∴＝，∴设BC＝2k，AB＝3k，∴AC＝＝＝k，∴tanA＝＝＝，故选：D．12．（2021秋•瑶海区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（）A． B． C． D．解：∵∠C＝90°，sin2A+cos2A＝1；∴cosA＝＝＝，∴tanA＝＝＝．故选：D．13．（2021•蒙阴县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sinA＝，则cos∠BCD的值为．解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，sinA＝＝，∴设BC＝3x，AB＝5x，由勾股定理得：AC＝4x，∴cosA＝＝＝，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A+∠B＝∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cos∠BCD＝cosA＝，故答案为：．14．（2020•浙江自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：a2+b2＝c2+d2．解：由①得asinθ+bcosθ＝c，两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③由②得acosθ﹣bsinθ＝﹣d，两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2∴a2+b2＝c2+d2．故答案为：a2+b2＝c2+d2．15．（2018•姜堰区二模）若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝．解：∵tanα＝1（0°＜α＜90°），∴∠α＝45°，则sinα＝，故答案为．16．（2015秋•迎泽区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝．求cosA，sinB，tanB的值．解：∵sinA＝＝，∴设AB＝13x，BC＝12x，由勾股定理得：AC＝＝＝5x，∴cosA＝＝，sinB＝cosA＝，tanB＝＝．17．（2009秋•滁州期末）若α为锐角，tanα＝4，求的值．解：由tanα＝4知，如果设a＝4x，则b＝x，结合a2+b2＝c2得c＝x；∴sinα＝，cosα＝，∴＝＝﹣．18．（2008秋•闸北区校级期末）对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sinA+cosA＝．试求：（1）sinA•cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．解：（1）∵sinA+cosA＝，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA＝，即1+2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝；（2）∵（sinA﹣cosA）2＝sin2A+cos2A﹣2sinAcosA，＝1﹣，＝，∴sinA﹣cosA＝±．知识点03：互余两角三角函数的关系19．（2021秋•雁江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（）A．a2+b2＝c2 B．sinB＝cosA C． D．sin2A+cos2A＝1解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由勾股定理可得a2+b2＝c2，因此选项A不符合题意；由锐角三角函数的定义可得sinB＝＝cosA，因此选项B不符合题意；由锐角三角函数的定义可知，tanA＝，因此选项C符合题意；由于sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝＝1，因此选项D不符合题意；故选：C．20．（2021秋•滦州市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB＝（）A． B． C． D．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴＝，设AC＝4a，AB＝5a，∴BC＝＝＝3a，∴tanB＝＝＝，故选：B．21．（2021秋•合肥期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（）A． B． C． D．解：在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝，∴设AC＝4a，AB＝5a，∴BC＝＝＝3a，∴sinA＝＝＝，故选：A．22．（2020秋•富川县期末）如果∠A是锐角，∠A+∠B＝90°，且sinA＝，那么cosB＝．解：∵∠A+∠B＝90°，∴cosB＝sinA＝．故答案为：．23．（2020秋•中方县期末）在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝．解：在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝＝cosB，所以cosB＝，故答案为：．知识点04：特殊角的三角函数值24．（2022秋•丰泽区校级月考）在△ABC中，若sinA＝，cosB＝，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．105° B．90° C．75° D．120°解：∵sinA＝，cosB＝，∠A，∠B都是锐角，∴∠A＝45°，∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝75°．故选：C．25．（2022•石家庄模拟）下列说法中正确的是（）A．在Rt△ABC中，若，则a＝4，b＝3 B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则 C．tan30°+tan60°＝1 D．tan75°＝tan（45°+30°）＝tan45°+tan30°＝1+解：A、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则a＝3x，b＝4x，x≠0，故A不符合题意；B、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则，故B符合题意；C、tan30°+tan60°＝+＝，故C不符合题意；D、tan75°＝tan（4