专题17菱形(原卷版+解析)

专题17菱形目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一利用菱形的性质求解 2考点二菱形的判定 4考点三菱形的判定与性质综合 6知识导航知识导航必备知识点菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质:(1)菱形的四条边都相等。(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。(3)菱形具有平行四边形的一切性质。(4)菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线。(5)利用菱形的性质可证线段相等，角相等。3.菱形的对角线将菱形分成四个全等直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为直角三角形问题中相关线段的长，再利用勾股定理来计算。4.菱形的面积有三种计算方法:(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；(3)两条对角线乘积的一半。5.菱形的判定:(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)四条边相等的四边形是菱形。2.判定思路：判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形"出发的，还是从“平行四边形”出发的;若从四边形出发的，则还需四条边相等;若从平行四边形出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直。考点一利用菱形的性质求解1．如图，在菱形中，分别垂直平分，垂足分别为，则的度数是（

）A．90° B．60° C．45° D．30°2．如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于(

).A．22.5° B．45° C．30° D．135°3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（

）A． B． C．5 D．44．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得A′D′对应边过点C，若∠B＝60°，AB＝2，当A′E⊥AB时，AE的长是（）A．2 B．2 C． D．1+5．如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E在边BC上,CE=3,F是CD延长线上一点,DF=4,连接DE、BF,若∠DEB=2∠F,则菱形ABCD的面积为()A．16 B．24 C．32 D．366．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝135°，DH⊥AB于H，交对角线AC于E，过E作EF⊥AD于F．若△DEF的周长为2，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B． C． D．27．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（）A．6 B．8 C．14 D．288．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=___________°.9．如图，已知点的坐标是，，点的坐标是，，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标是______．10．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是__________．11．如图，菱形的对角线，相交于点，已知，菱形的面积为24，则的长为______．12．菱形的周长为40，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________________.考点二菱形的判定13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是(

)A．AC=BD B．AB=AC C．∠ABC=90° D．AC⊥BD14．如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种15．在中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（

）A．AO=CO B．AO=BO C．AO⊥BO D．AB⊥BC16．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（

）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC17．如图，点分别为四边形的边的中点，当四边形满足条件_______时，四边形是菱形．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）18．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD为菱形，需要增加的一个条件是：__________．（只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母）19．如图，已知平形四边形ABCD中，对角线AC，BD交点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝2，求四边形ABCD的面积．20．如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线分别交边、于点，，连接，．（1）求证：（2）判断四边形的形状，并证明；（3）若，，求的长．21．(本题满分6分)如图，、是四边形的对角线上两点，，，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求证：平行四边形为菱形．考点三菱形的判定与性质综合22．如图，平面上有两个全等的正八边形ABCDEFGH、A′B′C′D′E′F′G′H′，若点B与点B′重合，点H与点H′重合，则∠ABA′的度数为（）A．15° B．30° C．45° D．60°23．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（

）A． B．C． D．24．如图，矩形的对角线，相交于点O，．若，则四边形的周长为（

）．A．4 B．6 C．8 D．1025．如图，在菱形中，，则以为边的正方形的周长为(

)A．12 B．8 C．16 D．2026．如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为()A． B． C． D．27．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（1，2），则菱形OABC的面积是（）A． B． C．2+1 D．2﹣1专题17菱形目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一利用菱形的性质求解 2考点二菱形的判定 14考点三菱形的判定与性质综合 23知识导航知识导航必备知识点菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质:(1)菱形的四条边都相等。(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。(3)菱形具有平行四边形的一切性质。(4)菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线。(5)利用菱形的性质可证线段相等，角相等。3.菱形的对角线将菱形分成四个全等直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为直角三角形问题中相关线段的长，再利用勾股定理来计算。4.菱形的面积有三种计算方法:(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；(3)两条对角线乘积的一半。5.菱形的判定:(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)四条边相等的四边形是菱形。2.判定思路：判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形"出发的，还是从“平行四边形”出发的;若从四边形出发的，则还需四条边相等;若从平行四边形出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直。考点一利用菱形的性质求解1．如图，在菱形中，分别垂直平分，垂足分别为，则的度数是（

）A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】B【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得出△ABC、△ACD是等边三角形，从而先求得∠B=60°，∠C=120°，在四边形AECF中，利用四边形的内角和为360°可求出∠EAF的度数．【详解】解：连接AC，∵AE垂直平分边BC，∴AB=AC，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠BCD=120°，又∵AF垂直平分边CD，∴在四边形AECF中，∠EAF=360°-180°-120°=60°．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，及菱形四边形等的性质．2．如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于(

).A．22.5° B．45° C．30° D．135°【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，∵四边形AEFC是菱形，∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，故选A．【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（

）A． B． C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC＝8，DB＝6，∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝5，∵S菱形ABCD＝，∴，∴DH＝，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DH是解此题的关键．4．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得A′D′对应边过点C，若∠B＝60°，AB＝2，当A′E⊥AB时，AE的长是（）A．2 B．2 C． D．1+【答案】B【解析】【分析】先延长AB，D'A'交于点G，根据三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到BC＝BG＝BA，设AE＝x＝A'E，则BE＝2−x，GE＝4−x，A'G＝2x，在Rt△A'GE中，依据勾股定理可得A'E2＋GE2＝A'G2，进而得出方程，解方程即可．【详解】解：如图所示，延长AB，D'A'交于点G，∵A'E⊥AB，∠EA'C＝∠A＝120°，∴∠BGC＝120°﹣90°＝30°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BCG＝60°﹣30°＝30°，∴∠BGC＝∠BCG＝30°，∴BC＝BG＝BA，设AE＝x＝A'E，则BE＝AB﹣AE＝2﹣x，A'G＝2x，∴GE＝BG+BE＝2+2﹣x＝4﹣x，∵Rt△A'GE中，A'E2+GE2＝A'G2，∴x2+（4﹣x）2＝（2x）2，解得：x＝﹣2+2，（负值已舍去）∴AE＝2﹣2，故选B．【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，菱形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的运用；解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．5．如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E在边BC上,CE=3,F是CD延长线上一点,DF=4,连接DE、BF,若∠DEB=2∠F,则菱形ABCD的面积为()A．16 B．24 C．32 D．36【答案】C【解析】【分析】如图作∠BED的平分线EG交AD于G，GE的延长线交DC的延长线于H，作EK⊥CD于K，连接BD．设AB=x，CH=y．由△FBD∽△EHC，推出,即，由EC∥DG，，推出DG=DE=14，在Rt△ECK中，由∠ECK=60°，EC=6，可得CK=3，，在Rt△DEK中，求出DK即可解决问题．【详解】如图,作∠BED的平分线EG交AD于G,GE的延长线交DC的延长线于H,作EK⊥CD于K,连接BD.设AB=x,CH=y.∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴AB=AD=BD=BC=CD=x,△ABD,△BCD都是等边三角形.∵∠BED=2∠F,∠HEC=∠BEG=∠DEG,∴∠F=∠HEC.∵∠FDB=∠ECH=120°,∴△FBD∽△EHC,∴=,∴=.∵EC∥DG,∴∠DGE=∠BEG=∠DEG,∴DG=DE,∴===.∵CE=3,∴DG=7.在Rt△ECK中,∵∠ECK=60°,CE=3,sin∠ECK=,cos∠ECK=,∴EK=CE·sin60°=,CK=CE·cos60°=.∵在Rt△DKE中,由勾股定理得DK2+EK2=DE2,∴DK===,∴CD=CK+DK=+=8,∴S菱形ABCD=2S△BCD=2×CD2=32.【点睛】本题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝135°，DH⊥AB于H，交对角线AC于E，过E作EF⊥AD于F．若△DEF的周长为2，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】根据题意利用菱形的性质，可得AH＝DH，再根据等腰直角三角形的判定与性质得出DE＝EF，再求出DH＝DE+EH＝，利用等腰直角三角形的性质最后得出AB＝2.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝135°，∴∠DAB＝45°，∠DAC＝∠BAC，且EH⊥AB，EF⊥AD∴EF＝EH，∠ADH＝∠DAB＝45°∴AH＝DH∵∠DAB＝45°，DH⊥AB∴∠ADH＝45°，且EF⊥AD∴∠ADH＝∠DEF＝45°∴DF＝EF，∴DE＝EF∵△DEF的周长为2，∴DE+EF+DF＝2∴2EF+EF＝2∴EF＝2﹣∴EH＝2﹣，DE＝2﹣2，∴DH＝DE+EH＝∵∠DAB＝∠ADH＝45°∴AH＝DH＝，∴AD＝AH＝2∴AB＝2∴菱形ABCD的面积＝AB×DH＝2故选A．【点睛】此题考查菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.7．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（）A．6 B．8 C．14 D．28【答案】D【解析】【分析】首先根据题意求出的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案．【详解】解：四边形是菱形，，，菱形的周长为24，，，，，，，菱形的面积三角形的面积，故选D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值．8．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=___________°.【答案】25【解析】【分析】根据∠BAD和菱形邻角和为180°的性质可以求∠ABC的值，根据菱形对角线即角平分线的性质可以求得∠ABO的值，又由BE=BO可得∠BEO=∠BOE，根据∠BOE和菱形对角线互相垂直的性质可以求得∠EOA的大小．【详解】解：∵∠BAD=80°，菱形邻角和为180°∴∠ABC=100°，∵菱形对角线即角平分线∴∠ABO=50°，∵BE=BO∴∠BEO=∠BOE==65°，∵菱形对角线互相垂直∴∠AOB=90°，∴∠AOE=90°-65°=25°，故答案为25．【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中正确的计算∠BEO=∠BOE=65°是解题的关键．9．如图，已知点的坐标是，，点的坐标是，，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】根据菱形具有的平行四边形基本性质，对角线互相平分，且交点为坐标原点，则，关于原点对称，因此在直角坐标系中两点的坐标关于原点对称，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数便可得.【详解】∵四边形是菱形，对角线相交于坐标原点∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，和；和均关于原点对称根据直角坐标系上一点关于原点对称的点为可得已知点的坐标是，则点的坐标是.故答案为：.【点睛】本题旨在考查菱形的基本性质及直角坐标系中关于原点对称点的坐标的知识点，熟练理解掌握该知识点为解题的关键.10．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M求解可得答案．【详解】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，则PE+PM=PE′+PM=E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，AC⊥BD，∵AC=，BD=6，∴AB==6，由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M得：××6＝6E′M，解得：E′M=，即PE+PM的最小值是.故答案为：.【点睛】本题主要考查轴对称-最短路线问题，解题的关键是作出使得PE+PM最小时的点P和点M.11．如图，菱形的对角线，相交于点，已知，菱形的面积为24，则的长为______．【答案】6【解析】【分析】根据菱形的性质得到AC=8，根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形；∴AC=2OA=8，,∴,∴BD=6，故答案为：6【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟记菱形面积的两种表示法：（1）底乘高，（2）对角线乘积的一半，本题运用的是第二种．12．菱形的周长为40，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________________.【答案】96【解析】【分析】根据已知可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到其面积．【详解】设两条对角线长分别为3x，4x，根据勾股定理可得（）2＋（）2＝102，解之得，x＝4，则两条对角线长分别为12、16，∴菱形的面积＝12×16÷2＝96．故答案为96．【点睛】此题主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理考点二菱形的判定13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是(

)A．AC=BD B．AB=AC C．∠ABC=90° D．AC⊥BD【答案】D【解析】【分析】根据菱形的判定方法有四种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，④对角线平分对角，作出选择即可．【详解】A．∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，不是菱形，故本选项错误；B．∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AC≠BC，∴平行四边形ABCD不是菱形，故本选项错误；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；D．∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．14．如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解．【详解】解：共有6种拼接法，如图所示．故选D．【点睛】本题考查了图形的剪拼以及菱形的判定，依照题意，画出图形是解题的关键．15．在中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（

）A．AO=CO B．AO=BO C．AO⊥BO D．AB⊥BC【答案】C【解析】【分析】根据菱形的判定分析即可；【详解】∵四边形ABCD时平行四边形，AO⊥BO，∴是菱形；故选C．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，准确分析判断是解题的关键．16．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（

）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC【答案】C【解析】【分析】根据菱形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．【详解】解：∵四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，当AB=BC或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当AC=BD时，可判定四边形ABCD是矩形；当∠BAC=∠DAC时，由AD∥BC得：∠DAC=∠ACB，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形；故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．17．如图，点分别为四边形的边的中点，当四边形满足条件_______时，四边形是菱形．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题属于开放性试题，要判定四边形EFGH是菱形，只要HG=GF=FE=EH即可．【详解】解：在四边形ABCD中，∵E、F、G、H分别四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点∴HG=EF=AC，GF=HE=BD∴四边形EFGH是平行四边形若∴平行四边形EFGH是菱形．故答案为.【点睛】判定特殊的四边形，必须根据已知条件，选择适当的方法．菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（3）四边相等的四边形是菱形．18．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD为菱形，需要增加的一个条件是：__________．（只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母）【答案】答案不唯一，AB=AD，或AC⊥BD【解析】【分析】根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB=AD，或AC⊥BD时，▱ABCD为菱形，故答案为AB=AD（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形是特殊的平行四边形是解题的关键．19．如图，已知平形四边形ABCD中，对角线AC，BD交点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝2，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCD的面积为20．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AO=OC，由等边三角形三线合一的性质得出EO⊥AC，即

BD⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论；（2）由题意易得∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°，进而证得菱形是正方形，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC，∴∠AEO＝∠CEO＝30°，△AOE是直角三角形，∴∠EAO＝60°，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵▱ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴四边形ABCD的面积＝AB2＝（2）2＝20．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、证明四边形是菱形与正方形是解题的关键．20．如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线分别交边、于点，，连接，．（1）求证：（2）判断四边形的形状，并证明；（3）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）棱形；证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到OA＝OC和∠FAC＝∠ECA，根据对顶角相等得到∠AOF＝∠COE，由AAS即可证明；（2）由对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；（3）设AF=x，则CF=x，在中应用勾股定理有，解得x=5；在中应用勾股定理求得，即；在中应用勾股定理求得，即．【详解】（1）求证：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC

∴∠FAC＝∠ECA∵O是AC的中点∴OA＝OC

又∠AOF＝∠COE∴△AOF≌△COE．（2）四边形AECF是菱形，证明：由（1）得△AOF≌△COE∴AF＝CE又AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形又∵EF⊥AC∴四边形AECF是菱形．（3）∵四边形ABCD是矩形∴CD＝AB＝4，∠D＝90°在Rt△ACD中，根据勾股定理得AC＝．．又∵O是AC的中点∴OC＝在Rt△CDF中，设CF＝x，∵四边形AECF是菱形．∴AF＝CF＝x

则DF＝8－x，根据勾股定理得：解得x＝5；即CF＝5在Rt△COF中，根据勾股定理得所以EF＝2OF＝．【点睛】本题考查了AAS证明三角形全等，菱形的性质和判定条件，根据题目中的不同已知条件旋转不同点菱形判定方法是本题的关键，本题选择了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，也可选用对角线互相垂直平分的四边形是菱形来证明．21．(本题满分6分)如图，、是四边形的对角线上两点，，，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求证：平行四边形为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】【考点】菱形的判定；平行四边形的判定．【分析】（1）首先证明△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AD=CB，∠DAC=∠ACB，进而可得证明AD∥CB，根据一组对边平行且等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；（2）首先根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，进而可得出AB=BC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFA=∠CEB，

1分∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，

2分在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS），

3分∴AD=CB，∠DAC=∠ACB，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；

4分（2）∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，

5分∴▱ABCD为菱形．

6分【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和菱形的判定，关键是掌握据一组对边平行且等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．考点三菱形的判定与性质综合22．如图，平面上有两个全等的正八边形ABCDEFGH、A′B′C′D′E′F′G′H′，若点B与点B′重合，点H与点H′重合，则∠ABA′的度数为（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【解析】【分析】利用正多边形的性质可以得到四边形ABA′H为菱形，计算其内角后，用多边形的内角减去即可得到答案．【详解】解：∵两个图形为全等的正八边形，∴ABA′H为菱形，∵∠HAB＝∠HA