河北省唐山市遵化一中2025届高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

河北省唐山市遵化一中2025届高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切.已知时，在两相交大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）A. B.C. D.2．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，．若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.3．已知两条不同直线和平面，下列判断正确的是（）A.若则 B.若则C.若则 D.若则4．已知数列满足，且，那么（）A. B.C. D.5．随机地向两个标号分别为1与2的格子涂色，涂上红色或绿色，在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的概率为（）A. B.C. D.6．已知命题：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.7．直线在y轴上的截距是A. B.C. D.8．已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点F在正方形的外面，则的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤a2，则该椭圆离心率的取值范围是（）A.（0，] B.（0，]C.，1) D.，1)10．下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11．已知点到直线：的距离为1，则等于（）A. B.C. D.12．若椭圆的一个焦点为，则的值为（）A.5 B.3C.4 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中.若成公比为的等比数列，则____________14．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|的最小值是_________15．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______.16．设抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点，若|PF|＝5，则|PM|＝__.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；（2）求长.18．（12分）已知等比数列前3项和为（1）求的通项公式；（2）若对任意恒成立，求m的取值范围19．（12分）已知函数f(x)=x3+ax2+2，x=2是f(x)的一个极值点.（1）求实数a的值；（2）求f(x)在区间(-1，4]上的最大值和最小值.20．（12分）如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，点E在棱AB上移动.（1）证明：；（2）当E为AB的中点时，求直线AC与平面所成角的正弦值.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，是的中点，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设D为线段AB的中点，求得,在中，可得.进而求得两大圆公共部分的面积为：,利用几何概型计算即可得出结果.【详解】如图，设D为线段AB的中点，,在中，.两大圆公共部分的面积为：,则该点取自两大圆公共部分的概率为.故选：C.2、B【解析】利用渐近线方程和直线解出Q点坐标，再由得P点坐标，代入双曲线方程得到a、b、c的齐次式可解.【详解】如图，因为与渐近线垂直所以的斜率为，方程为解的Q的坐标为设P点坐标为则，因为，所以，得点P坐标为，代入得：所以，即所以渐近线方程为故选：B.3、D【解析】根据线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系即可判断.【详解】解：对于选项A：若，则与可能平行，可能相交，可能异面，故选项A错误；对于选项B：若，则，故选项B错误；对于选项C：当时不满足，故选项C错误；综上，可知选项D正确.故选：D.4、D【解析】由递推公式得到，，，再结合已知即可求解.【详解】解：由，得，，又，那么故选：D5、D【解析】根据古典概型的概率公式即可得出答案.【详解】在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色有红色与绿色两种情况，其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的情况有1种，所以在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的概率为.故选：D.6、D【解析】先判断出p、q的真假，再分别判断四个选项的真假.【详解】因为“若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或”，所以p为假命题；对于等轴双曲线，，所以离心率为，所以q为真命题.所以假命题，故A错误；为假命题，故B错误；为假命题，故C错误；为真命题，故D正确.故选：D7、D【解析】在y轴上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【详解】令x=0，则y=-2，即直线在y周上的截距为-2，故选D.8、C【解析】如图由题可得，进而可得，即求.【详解】如图根据对称性，点D在直线y=x上，可设，则，∴，可得，，即，又解得.故选：C.9、B【解析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故选：B10、D【解析】通过举反列即可得ABC错误，利用不等式性质可判断D【详解】A.当时，，但，故A错；B.当时，，故B错；C.当时，，但，故C错；D.若，则，D正确故选：D11、D【解析】利用点到直线的距离公式，即可求得参数的值.【详解】因为点到直线：的距离为1，故可得，整理得，解得.故选：.12、B【解析】由题意判断椭圆焦点在轴上，则，解方程即可确定的值.【详解】有题意知：焦点在轴上，则，从而，解得：.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由条件可得，即，由余弦定理可得答案.【详解】由成公比为的等比数列，即由正弦定理可知所以故答案为：14、##【解析】由抛物线的定义可得，所以的最小值转化为求的最小值，由图可知的最小值为，从而可求得答案【详解】抛物线y2＝2x焦点，准线为，由抛物线的定义可得，所以,因为，，所以，所以，当且仅当三点共线且在线段上时，取得最小值，所以的最小值为，故答案为：15、【解析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设与的夹角为，直线与平面所成角为，所以，故答案为：16、【解析】根据抛物线的性质及抛物线方程可求坐标，进而得解.【详解】由抛物线的方程可得焦点，准线，由题意可得，设，有抛物线的性质可得：，解得x＝4，代入抛物线的方程可得，所以，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到，再利用直线参数方程的几何意义求弦长即可.【详解】（1）因为曲线（为参数），所以曲线的普通方程为：.（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，得.，.所以.18、（1）（2）【解析】（1）由等比数列的基本量，列式，即可求得首项和公比，再求通项公式；（2）由题意转化为求数列的前项和的最大值，即可求参数的取值范围.【小问1详解】设等比数列的公比为，则，①，即，得，即，代入①得，解得：，所以；【小问2详解】由（1）可知，数列是首项为2，公比为的等比数列，，若对任意恒成立，即，数列，,单调递增,的最大值无限趋近于4，所以19、（1）；（2）最大值为18，最小值为.【解析】（1）解方程即得解；（2）利用导数求出函数的单调区间分析即得解.【小问1详解】解：因为，所以，因为在处有极值，所以，即，所以.经检验，当时，符合题意.所以.【小问2详解】解：由（1）可知，所以，令，得，当时，由得，；由得，或.所以函数在上递增，在上递减，在上递增，又.所以的最小值为，又，所以的最大值为，所以在的最大值为18，最小值为.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）设，求出，，利用向量法能求出；（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值【小问1详解】证明：设，，，，；【小问2详解】当为的中点时，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别求出向量和，证明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，则直线与平面所成角的正弦值即为.【小问1详解】证明：∵，，∴△≌△,∴,设，在△中，由余弦定理得，即，则,即，，连接交于点，分别以，为轴、轴，过作轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，的中点，则，，∵，∴.【小问2详解】由（1）可知，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，则，记