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文档简介
2025届云南省玉溪市江川县数学高二上期末统考模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数及其导函数,若存在使得,则称是的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是()A. B.C. D.2.已知数列满足:,数列的前n项和为,若恒成立,则的取值范围是()A. B.C. D.3.直线的倾斜角为()A.60° B.30°C.120° D.150°4.已知双曲线上点到点的距离为15,则点到点的距离为()A.9 B.6C.6或36 D.9或215.若函数在区间上有两个极值点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.6.已知圆的圆心在x轴上,半径为1,且过点,圆:,则圆,的公共弦长为A. B.C. D.27.在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若,,,则的最小覆盖圆的半径为()A. B.C. D.8.在平面直角坐标系中,已知点,,,,直线AP,BP相交于点P,且它们斜率之积是.当时,的最小值为()A. B.C. D.9.已知为坐标原点,点的坐标为,点的坐标满足,则的最小值为()A B.C. D.410.若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为,则()A.1 B.3C.6 D.1或311.下列结论正确的个数为()①若,则;②若,则;③若,则;④若,则A.4 B.3C.2 D.112.已知直线,当变化时,所有直线都恒过点()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题14.若是直线外一点,为线段的中点,,,则______15.已知为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为________16.已知函数有三个零点,则实数的取值范围为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(1)若在点处的切线为,求a,b的值;(2)求的单调区间.18.(12分)已知等差数列的前和为,数列是公比为2的等比数列,且,(1)求数列和数列的通项公式;(2)现由数列与按照下列方式构造成新的数列①将数列中的项去掉数列中的项,按原来的顺序构成新数列;②数列与中的所有项分别构成集合与,将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列;在以上两个条件中任选一个做为已知条件,求数列的前30项和.19.(12分)设双曲线的左、右焦点分别为,,且,一条渐近线的倾斜角为60°(1)求双曲线C的标准方程和离心率;(2)求分别以,为左、右顶点,短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程20.(12分)已知圆与直线相切(1)求圆O的标准方程;(2)若线段AB的端点A在圆O上运动,端点B的坐标是,求线段AB的中点M的轨迹方程21.(12分)篮天技校为了了解车床班学生的操作能力,设计了一个考查方案;每个考生从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成零件加工,规定:至少正确加工完成其中个零件方可通过.道备选题中,考生甲有个零件能正确加工完成,个零件不能完成;考生乙每个零件正确完成的概率都是,且每个零件正确加工完成与否互不影响(1)分别求甲、乙两位考生正确加工完成零件数的概率分布列(列出分布列表);(2)试从甲、乙两位考生正确加工完成零件数的数学期望及两人通过考查的概率分析比较两位考生的操作能力22.(10分)如图所示,第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中,主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD(包含边界和内部,A为坐标原点),AD长为10米,在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗,在距离A点2米的E处放置一个机器人,机器人行走速度为v,电子狗行走速度为,若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M,那么电子狗将被机器人捕获,点M叫成功点.(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程;(2)P为矩形场地AD边上的一动点,若存在两个成功点到直线FP的距离为,且直线FP与点M的轨迹没有公共点,求P点横坐标的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用新定义:存在使得,则称是的一个“巧点”,对四个选项中的函数进行一一的判断即可【详解】对于A,,则,令,解得或,即有解,故选项A的函数有“巧值点”,不符合题意;对于B,,则,令,令,则g(x)在x>0时为增函数,∵(1),(e),由零点的存在性定理可得,在上存在唯一零点,即方程有解,故选项B的函数有“巧值点”,不符合题意;对于C,,则,令,故方程无解,故选项C的函数没有“巧值点”,符合题意;对于D,,则,令,则.∴方程有解,故选项D的函数有“巧值点”,不符合题意故选:C2、D【解析】由于,所以利用裂项相消求和法可求得,然后由可得恒成立,再利用基本不等式求出的最小值即可【详解】,故,故恒成立等价于,即恒成立,化简得到,因为,当且仅当,即时取等号,所以故选:D3、C【解析】求出斜率,根据斜率与倾斜角的关系,即可求解.【详解】解:,即,直线的斜率为,即直线的倾斜角为120°.故选:C.4、D【解析】利用双曲线的定义可得答案.【详解】设,,,为双曲线的焦点,则由双曲线定义,知,而所以或21故选:D.5、D【解析】由题意,即在区间上有两个异号零点,令,利用函数的单调性与导数的关系判断单调性,数形结合即可求解【详解】解:由题意,即在区间上有两个异号零点,构造函数,则,令,得,令,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,又时,,时,,且,所以,即,所以的范围故选:D6、A【解析】根据题意设圆方程为:,代点即可求出,进而求出方程,两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长.【详解】设圆的圆心为,则其标准方程为:,将点代入方程,解得,故方程为:,两圆,方程作差得其公共弦所在直线方程为:,圆心到该直线的距离为,因此公共弦长为,故选:A.【点睛】本题综合考查圆的方程及直线与圆,圆与圆位置关系,属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定理解决问题.7、C【解析】根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.【详解】,,,为锐角三角形,的外接圆就是它的最小覆盖圆,设外接圆方程为,则解得的最小覆盖圆方程为,即,的最小覆盖圆的半径为.故选:C8、A【解析】设出点坐标,求得、所在直线的斜率,由斜率之积是列式整理即可得到点的轨迹方程,设,根据双曲线的定义,从而求出的最小值;【详解】解:设点坐标为,则直线的斜率;直线的斜率由已知有,化简得点的轨迹方程为又,所以点的轨迹方程为,即点的轨迹为以、为顶点的双曲线的左支(除点),因为,设,由双曲线的定义可知,所以,当且仅当、、三点共线时取得最小值,因为,所以,所以,即的最小值为;故选:A9、B【解析】由数量积的坐标运算求得,令,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解:根据题意可得,、,所以,令,由约束条件作出可行域如下图所示,由得,即,由,得,由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最小,有最小值为,即,所以故选:B10、B【解析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.【详解】若,则由得(舍去);若,则由得故选:B.11、D【解析】根据常数函数的导数为0,可判断①;根据幂函数的求导公式,可判断②;根据指数函数以及对数函数的求导公式,可判断③④.【详解】由得:,故①错误;对于,,故,故②正确;对于,则,故③错误;对于,则,故④错误,故选:D12、D【解析】将直线方程整理为,从而可得直线所过的定点.【详解】可化为,∴直线过定点,故选:D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、##0.84375【解析】合理设出事件,利用全概率公式进行求解.【详解】设小王从这8题中任选1题,且作对为事件A,选到能完整做对的5道题为事件B,选到有思路的两道题为事件C,选到完全没有思路为事件D,则,,,由全概率公式可得:PA=PB故答案为:14、【解析】根据题意得到,进而得到,求得的值,即可求解.【详解】因为为线段的中点,所以,所以,又因为,所以,所以故答案为:.15、【解析】根据已知可得,设,利用勾股定理结合,求出,四边形面积等于,即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点,且,所以四边形为矩形,设,则,所以,,即四边形面积等于.故答案为:.16、【解析】由题意可得与的图象有三个不同的交点,经判断时不符合题意,当时,时,两个函数图象有一个交点,可得时与的图象有两个交点,等价于与的图象有两个不同的交点,对求导,数形结合即可求解.【详解】令可得,若函数函数有三个零点,则可得方程有三个根,即与的图象有三个不同的交点,作出的图象如图:当时,是以为顶点开口向下的抛物线,此时与的图象没有交点,不符合题意;当时,与的图象只有一个交点,不符合题意;当时,时,与的图象有一个交点,所以时与的图象有两个交点,即方程有两个不等的实根,即方程有两个不等的实根,可得与的图象有两个不同的交点,令,则,由即可得,由即可得,所以在单调递增,在单调递减,作出其图象如图:当时,,当时,可得与的图象有两个不同的交点,即时,函数有三个零点,所以实数的取值范围为,故答案为:【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2)答案见解析.【解析】(1)已知切线求方程参数,第一步求导,切点在曲线,切点在切线,切点处的导数值为切线斜率.(2)第一步定义域,第二步求导,第三步令导数大于或小于0,求解析,即可得到答案.【小问1详解】的定义域为,,因为在点处的切线为,所以,所以;所以把点代入得:.即a,b的值为:,.【小问2详解】由(1)知:.①当时,在上恒成立,所以在单调递减;②当时,令,解得:,列表得:x-0+单调递减极小值单调递增所以,时,的递减区间为,单增区间为.综上所述:当时,在单调递减;当时,的递减区间为,单增区间为.【点睛】导函数中得切线问题第一步求导,第二步列切点在曲线,切点在切线,切点处的导数值为切线斜率这三个方程,可解切线相关问题.18、(1),(2)答案见解析【解析】(1)由题意可直接得到等比数列的通项公式;求出等差数列的公差,即可得到其通项公式;(2)若选①,则可确定由数列前33项的和减去,即可得答案;若选②,则可确定由数列前27项的和加上,即可得答案.【小问1详解】因为数列为等比数列,且,所以.又因,所以,又,则,故等差数列的通项公式为.【小问2详解】因为,,所以,而若选①因为在数列前30项内,不在在数列前30项内.,则数列前30项和为:=1632.若选②因为在数列前30项内,不在在数列前30项内.,则数列前30项和为:=1203.19、(1),2(2)【解析】(1)结合,联立即得解;(2)由题意,即得解.【详解】(1)由题意,又解得:故双曲线C的标准方程为:,离心率为(2)由题意椭圆的焦点在轴上,设椭圆方程为故即椭圆方程为:20、(1)(2)【解析】(1)由圆心到直线的距离等于半径即可求出.(2)由相关点法即可求出轨迹方程.【小问1详解】已知圆与直线相切,所以圆心到直线的距离为半径.所以,所以圆O的标准方程为:【小问2详解】设因为AB的中点是M,则,所以,又因A在圆O上运动,则,所以带入有:,化简得:.线段AB的中点M的轨迹方程为:.21、(1)分布列见解析(2)甲的试验操作能力较强,理由见解析【解析】(1)设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为、,则的可能取值有、、,的可能取值有、、、,且,计算出两个随机变量在不同取值下的概率,可得出这两个随机变量的概率分布列;(2)计算出、、、的值,比较、的大小,以及、的大小,由此可得出结论.【小问1详解】解:设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为、,则的可能取值有、、,的可能取值有、、、,且,,,,所以,考生甲正确加工完成零件数的概率分布列如下表所示:,,,,所以,考生乙正确加工完成零件数的概率分布列如下表所示:【小问2详解】解:,,,,所以,,从做对题的数学期望分析,两人水平相当;从通过考查的概率分析,甲通
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