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文档简介
福建省莆田市第九中学2025届高三数学第一学期期末达标测试试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.2.已知P是双曲线渐近线上一点,,是双曲线的左、右焦点,,记,PO,的斜率为,k,,若,-2k,成等差数列,则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.已知数列的通项公式为,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列,从上到下的行共个数的和,则数列的前2020项和为()A. B. C. D.4.从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回的摸取5次,设摸得白球数为,已知,则A. B. C. D.5.已知函数,存在实数,使得,则的最大值为()A. B. C. D.6.若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.8.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节,“……洪七公道:肉只五种,但猪羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有几般变化,我可算不出了”.现有五种不同的肉,任何两种(含两种)以上的肉混合后的滋味都不一样,则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为()A.20 B.24 C.25 D.269.已知复数满足:,则的共轭复数为()A. B. C. D.10.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.811.已知为非零向量,“”为“”的()A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.正三棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.袋中装有两个红球、三个白球,四个黄球,从中任取四个球,则其中三种颜色的球均有的概率为________.14.已知函数对于都有,且周期为2,当时,,则________________________.15.己知函数,若关于的不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是______.16.已知函数,若函数有6个零点,则实数的取值范围是_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的左右焦点分别为,焦距为4,且椭圆过点,过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点,点关于轴的对称点为,直线交轴于点.(1)求的周长;(2)求面积的最大值.18.(12分)的内角的对边分别为,若(1)求角的大小(2)若,求的周长19.(12分)一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.(1)当取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?(2)当时,用表示要补播种的坑的个数,求的分布列与数学期望.20.(12分)已知函数(,)满足下列3个条件中的2个条件:①函数的周期为;②是函数的对称轴;③且在区间上单调.(Ⅰ)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;(Ⅱ)若,求函数的值域.21.(12分)如图,直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p>0)交于M1,M2两点,直线y=p2与(1)求p的值;(2)设A是直线y=p2上一点,直线AM2交抛物线于另一点M3,直线M1M22.(10分)已知函数,.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极小值;(3)求函数的零点个数.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
求出集合,然后进行并集的运算即可.【详解】∵,,∴.故选:A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和运算,属于基础题.2、B【解析】
求得双曲线的一条渐近线方程,设出的坐标,由题意求得,运用直线的斜率公式可得,,,再由等差数列中项性质和离心率公式,计算可得所求值.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为,且,由,可得以为圆心,为半径的圆与渐近线交于,可得,可取,则,设,,则,,,由,,成等差数列,可得,化为,即,可得,故选:.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和离心率,考查方程思想和运算能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、D【解析】
由题意,设每一行的和为,可得,继而可求解,表示,裂项相消即可求解.【详解】由题意,设每一行的和为故因此:故故选:D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.4、B【解析】
由题意知,,由,知,由此能求出.【详解】由题意知,,,解得,,.故选:B.【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意二项分布的灵活运用.5、A【解析】
画出分段函数图像,可得,由于,构造函数,利用导数研究单调性,分析最值,即得解.【详解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故选:A【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.6、B【解析】
求得的导函数,由此构造函数,根据题意可知在上有变号零点.由此令,利用分离常数法结合换元法,求得的取值范围.【详解】,设,要使在区间上不是单调函数,即在上有变号零点,令,则,令,则问题即在上有零点,由于在上递增,所以的取值范围是.故选:B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查方程零点问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.7、B【解析】
根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等式.【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.8、D【解析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为,再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为(种),故选:D.【点睛】本题考查组合的应用,此类问题注意实际问题的合理转化,本题属于容易题.9、B【解析】
转化,为,利用复数的除法化简,即得解【详解】复数满足:所以故选:B【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于基础题.10、A【解析】
由三视图还原出原几何体,得出几何体的结构特征,然后计算体积.【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥,四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,直观图如图所示,.故选:A.【点睛】本题考查三视图,考查棱锥的体积公式,掌握基本几何体的三视图是解题关键.11、B【解析】
由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断;再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.【详解】若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以;若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.所以“”为“”的充分必要条件.故选:B【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.12、C【解析】
取中点,连接,,根据正棱柱的结构性质,得出//,则即为异面直线与所成角,求出,即可得出结果.【详解】解:如图,取中点,连接,,由于正三棱柱,则底面,而底面,所以,由正三棱柱的性质可知,为等边三角形,所以,且,所以平面,而平面,则,则//,,∴即为异面直线与所成角,设,则,,,则,∴.故选:C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角,考查计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72,由此能求出其中三种颜色的球都有的概率.【详解】解:袋中有2个红球,3个白球和4个黄球,从中任取4个球,基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有,可能是2个红球,1个白球和1个黄球或1个红球,2个白球和1个黄球或1个红球,1个白球和2个黄球,所以包含的基本事件个数m72,∴其中三种颜色的球都有的概率是p.故答案为:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14、【解析】
利用,且周期为2,可得,得.【详解】∵,且周期为2,∴,又当时,,∴,故答案为:【点睛】本题考查函数的周期性与对称性的应用,考查转化能力,属于基础题.15、【解析】
首先判断出函数为定义在上的奇函数,且在定义域上单调递增,由此不等式对任意的恒成立,可转化为在上恒成立,进而建立不等式组,解出即可得到答案.【详解】解:函数的定义域为,且,函数为奇函数,当时,函数,显然此时函数为增函数,函数为定义在上的增函数,不等式即为,在上恒成立,,解得.故答案为.【点睛】本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用,考查不等式的恒成立问题,属于常规题目.16、【解析】
由题意首先研究函数的性质,然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式,求解不等式即可确定实数a的取值范围.【详解】当时,函数在区间上单调递增,很明显,且存在唯一的实数满足,当时,由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,结合复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,且当时,,考查函数在区间上的性质,由二次函数的性质可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,函数有6个零点,即方程有6个根,也就是有6个根,即与有6个不同交点,注意到函数关于直线对称,则函数关于直线对称,绘制函数的图像如图所示,观察可得:,即.综上可得,实数的取值范围是.故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的应用,复合函数的单调性,数形结合的数学思想,等价转化的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)12(2)【解析】
(1)根据焦距得焦点坐标,结合椭圆上的点的坐标,根据定义;(2)求出椭圆的标准方程,设,联立直线和椭圆,结合韦达定理表示出面积,即可求解最大值.【详解】(1)设椭园的焦距为,则,故.则椭圆过点,由椭圆定义知:,故,因此,的周长;(2)由(1)知:,椭圆方程为:设,则,,,,,当且仅当在短轴顶点处取等,故面积的最大值为.【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程,根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值,涉及韦达定理的使用,综合性强,计算量大.18、(1)(2)11【解析】
(1)利用二倍角公式将式子化简成,再利用两角和与差的余弦公式即可求解.(2)利用余弦定理可得,再将平方,利用向量数量积可得,从而可求周长.【详解】由题解得,所以由余弦定理,,再由解得:所以故的周长为【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式,属于基础题.19、(1)当或时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为;(2)见解析.【解析】
(1)将有3个坑需要补种表示成n的函数,考查函数随n的变化情况,即可得到n为何值时有3个坑要补播种的概率最大.(2)n=1时,X的所有可能的取值为0,1,2,3,1.分别计算出每个变量对应的概率,列出分布列,求期望即可.【详解】(1)对一个坑而言,要补播种的概率,有3个坑要补播种的概率为.欲使最大,只需,解得,因为,所以当时,;当时,;所以当或时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为.(2)由已知,的可能取值为0,1,2,3,1.,所以的分布列为01231的数学期望.【点睛】本题考查了古典概型的概率求法,离散型随机变量的概率分布,二项分布,主要考查简单的计算,属于中档题.20、(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)依次讨论①②成立,①③成立,②③成立,计算得到只有①②成立,得到答案.(Ⅱ)得到,得到函数值域.【详解】(Ⅰ)由①可得,;由②得:,;由③得,,,;若①②成立,则,,,若①③成立,则,,不合题意,若②③成立,则,,与③中的矛盾,所以②③不成立,所以只有①②成立,.(Ⅱ)由题意得,,所以函数的值域为.【点睛】本题考查了三角函数的周期,对称轴,单调性,值域,表达式,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.21、(1)p=4;(2)OA⋅【解析】试题分析:(1)联立直线的方程和抛物线的方程y=2x-2x2=2py,化简写出根与系数关系,由于直线y=p2平分∠M
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