上海市泥城中学2025届数学高二上期末监测模拟试题含解析

上海市泥城中学2025届数学高二上期末监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.2．已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）A. B.C. D.3．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（）A.100 B.15C.80 D.504．三棱柱中，，，，若，则（）A. B.C. D.5．如果，那么下面一定成立的是（）A. B.C. D.6．若双曲线的一个焦点为，则的值为（）A. B.C.1 D.7．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的方程为（）A. B.C. D.8．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.9．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（）A. B.13C.45 D.11710．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列，，，…，则以下结论中正确的是（）A.第10个括号内的第一个数为1025 B.2021在第11个括号内C.前10个括号内一共有1025个数 D.第10个括号内的数字之和11．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点，则的最小值为（）A. B.2C. D.312．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A.31.6岁 B.32.6岁C.33.6岁 D.36.6岁二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．“五经”是《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》的合称，贵为中国文化经典著作，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.某校计划开展“五经”经典诵读比赛活动，某班有、两位同学参赛，比赛时每位同学从这本书中随机抽取本选择其中的内容诵读，则、两位同学抽到同一本书的概率为______.14．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________15．盒子中放有大小和质地相同的2个白球、1个黑球，从中随机摸取2个球，恰好都是白球的概率为___________.16．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.18．（12分）已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0（1）m取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆公共弦所在直线的方程和公共弦的长19．（12分）已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于两点（1）求△OAB面积的最小值（为坐标原点）；（2）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由20．（12分）双曲线的离心率为，虚轴的长为4.（1）求的值及双曲线的渐近线方程；（2）直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.21．（12分）已知数列满足，数列为等差数列，，前4项和.（1）求数列，的通项公式；（2）求和：.22．（10分）已知函数在处有极值，且其图象经过点.（1）求的解析式；（2）求在的最值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率故选：A2、A【解析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为，所以，则故复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.3、C【解析】按照比例关系，分层抽取.【详解】由题意可知，所以应当抽取的一般员工人数为.故选：C4、A【解析】利用空间向量线性运算及基本定理结合图形即可得出答案.【详解】解：由，，，若，得.故选：A.5、C【解析】根据不等式的基本性质，以及特例法和作差比较法，逐项计算，即可求解.【详解】对于A中，当时，，所以不正确；对于B中，因为，根据不等式的性质，可得，对于C中，由，可得可得，所以，所以正确；对于D中，由，可得，则，所以，所以不正确.故选：C.6、B【解析】由题意可知双曲线的焦点在轴，从而可得，再列方程可求得结果【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以，，所以，解得，故选：B7、C【解析】当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程【详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，点被圆所截得的弦最短，此时，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，故选：C.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求解圆弦长问题的关键8、A【解析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围【详解】解：命题“，”是假命题，则它的否定命题“，”是真命题，时，不等式为，显然成立；时，应满足，解得，所以实数的取值范围是故选：A9、C【解析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答【详解】在等差数列中，因，所以.故选：C10、D【解析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项，最后一个数为数列的第1023项，进行分析求解即可【详解】由题意可得，第个括号内有个数，对于A，由题意得前9个括号内共有个数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，所以A错误，对于C，前10个括号内共有个数，所以C错误，对于B，令，得，所以2021为数列的第1011项，由AC选项的分析可得2021在第10个括号内，所以B错误，对于D，因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和为，所以D正确，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查数列的综合应用，解题的关键是由题意确定出第10个括号内第一个数和最后一个数分别对应数列的哪一项，考查分析问题的能力，属于较难题11、D【解析】求出抛物线C的准线l的方程，过A作l的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.【详解】抛物线的准线l：，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，在抛物线C上任取不同于点P的点，过作于点N，连PF，AN，，由抛物线定义知，，于是得，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时，取最小值，所以的最小值为3.故选：D12、C【解析】先根据频率分布直方图中频率之和为计算出数据位于的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数【详解】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，所以，数据位于的频率为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，所以，中位数位于区间，设中位数为，则有，解得（岁），故选C【点睛】本题考查频率分布直方图的性质和频率分布直方图中中位数的计算，计算时要充分利用频率分布直方图中中位数的计算原理来计算，考查计算能力，属于中等题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】计算出、两位同学各随机抽出一本书的结果种数，以及、两位同学抽到同一本书的结果种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】、两位同学抽到的结果都有种，由分步乘法计数原理可知，、两位同学各随机抽出一本书，共有种结果，而、两位同学抽到同一本书的结果有种，故所求概率为.故答案为：.14、；【解析】根据相切可得圆心到直线距离即为圆的半径,利用点到直线距离公式解出半径,即可得到圆的方程【详解】由题,设圆心到直线的距离为,所以,因为圆与直线相切,则,所以圆的方程为,故答案为：【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程,考查点到直线距离公式的应用15、【解析】根据题意得到，计算得到答案.【详解】根据题意：.故答案为：16、【解析】由题意可得与的图象有三个不同的交点，经判断时不符合题意，当时，时，两个函数图象有一个交点，可得时与的图象有两个交点，等价于与的图象有两个不同的交点，对求导，数形结合即可求解.【详解】令可得，若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，即与的图象有三个不同的交点，作出的图象如图：当时，是以为顶点开口向下的抛物线，此时与的图象没有交点，不符合题意；当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；当时，时，与的图象有一个交点，所以时与的图象有两个交点，即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，可得与的图象有两个不同的交点，令，则，由即可得，由即可得，所以在单调递增，在单调递减，作出其图象如图：当时，，当时，可得与的图象有两个不同的交点，即时，函数有三个零点，所以实数的取值范围为，故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）动点的轨迹的方程为；（2）的取值范围.【解析】(1)由条件线段的垂直平分线交于点可得，由此可得，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程；(2)由(1)可求点坐标，设直线的方程为，，联立方程组化简可得，，由直线，的斜率互为相反数可得的值，再由弦长公式求的长，再求其范围.【小问1详解】由题知故.即即在以为焦点且长轴为4的椭圆上则动点的轨迹的方程为：；【小问2详解】故即.设：，联立（*），，∴，，又则：即若，则过，不符合题意故，∴，故18、（1）（2）（3）直线方程为4x+3y-23=0，弦长为【解析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值；（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，求得m的值．（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长试题解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，两圆的圆心距d==5，两圆的半径之和为+，由两圆的半径之和为+=5，可得m=（2）由两圆的圆心距d=="5"等于两圆的半径之差为|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=（3）当m=45时，两圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y-23=0第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为d==2，可得弦长为考点：1．两圆相切的位置关系；2．两圆相交的公共弦问题19、（1）；（2）是，该定值.【解析】（1）根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式进行求解即可；（2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】显然直线存在斜率，设直线的方程为：，所以有，设，则有，，原点到直线的距离为：，△OAB的面积为：，当时，有最小值，最小值为；【小问2详解】是定值，理由如下：由（1）可知：，，【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.20、（1），，双曲线的渐近线方程为和；（2）.【解析】（1）根据双曲线的离心率公式，结合虚轴长的定义进行求解即可；（2）将直线方程与双曲线方程联立，利用方程解的个数进行求解即可.【小问1详解】因为双曲线的离心率为，所以有ca而该双曲线的虚轴的长为4，所以，所以，因此双曲线的浙近线方程为：y=±x⇒x-y=0或；【小问2详解】由（1）可知：，，所以该双曲线的标准方程为：，与直线联立得：，因为直线与双曲线相交于互异两点，所以有：且，所以的取值范围为：.21、（1），；（2）.【解析】（1）根据等比数列的定义，结合等差数列的基本量，即可容易求得数列，的通项公式；（2）根据（1）中所求