数学三同步训练：估计总体的数字特征（附答案）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精5.2估计总体的数字特征1．可以描述总体稳定性的统计量是(）A．样本平均数eq\x\to（x）B．样本中位数C．样本方差s2D．样本最大值2．下列数字特征一定是数据组中数据的是…（）A．众数B．中位数C．标准差D．平均数3．在统计中,样本的标准差可以近似地反映()A．平均状态B．波动大小C．分布规律D．最大值和最小值4．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人，现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分．5．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3,7，a,b，12，13.7,18.3，20,且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是______、______。答案：1.C2．A根据各数字特征的意义可知唯有众数一定是原数据中的数．3．B由定义知，数据的标准差反映数据的波动大小．4．85由题意知，所求平均成绩为：eq\f(40×90＋50×81，40＋50)＝85（分）．5．10。510.5∵总体的个体数是10，且中位数是10.5，∴eq\f(a＋b,2)＝10.5,即a＋b＝21，∴总体的平均数为10.要使总体的方差最小，只要(a－10)2＋（b－10）2最小,即(a－10)2＋(b－10)2＝（a－10)2＋（21－a－10)2＝2a2－42a＋221＝2(a－eq\f(21,2)）2＋eq\f(1，2),∴当a＝eq\f(21,2)＝10。5时，上式取最小值,此时b＝21－a＝10.5.1．与总体单位不一致的是()A．s2B．sC.eq\x\to（x)D．x12．下列叙述不正确的是(）A．样本均值可以近似地描述总体的平均水平B．极差描述了一个样本数据变化的幅度C．样本标准差描述了一组样本数据围绕样本均值波动的大小D．一个班级的数学成绩的方差越大说明成绩越稳定3．(2009四川高考，文5)设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618,这种矩形给人以美感,称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0。5980。6250.6280。5950。639乙批次:0.6180.6130.5920。6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0。618比较，正确的结论是…(）A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定4．一组观察值为4、3、5、6出现的次数分别为3、2、4、2，则样本均值为(）A．4。55B．4。5C．12.5D．1。645．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩统计如下表，则这100人成绩的标准差为（)分数54321人数2010303010A.eq\r(3)B.eq\f(2\r（10),5）C．3D.eq\f（8，5）6．在一次数据测量中，计算出18个数据的样本均值为50，但是后来发现其中一个数据应是86，被误记为68，那么这18个数据的正确的样本均值应该是．7．从一批棉花中抽取9根棉花的纤维，长度如下：（单位：mm）82,202，352，321，25,293,86,206，115.求样本均值、样本方差和样本标准差．8．甲、乙两台机床同时加工直径100毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下（单位:毫米）：甲:99,100,98，100,100，103；乙：99，100,102，99,100,100。（1）分别计算上述两组数据的平均值与标准差;（2)根据（1）的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求．答案：1．A方差的单位是原始数据单位的平方，所以与总体单位不一致．2．D方差越大，说明成绩越不稳定,所以D项错．3．A∵eq\x\to(x）甲＝eq\f（1,5）（0。598＋0.625＋0。628＋0。595＋0.639）＝0。617，eq\x\to(x）乙＝eq\f（1，5)（0.618＋0。613＋0。592＋0.622＋0.620)＝0.613，∴eq\x\to（x)甲更接近0。618。∴选A.4．Aeq\x\to（x)＝eq\f（4×3＋3×2＋5×4＋6×2，3＋2＋4＋2)＝eq\f(50，11）≈4。55.5．B这100人成绩的平均数为eq\x\to（x)＝eq\f(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10，100)＝3，方差为eq\f(1,100）［（5－3)2×20＋(4－3)2×10＋(3－3)2×30＋(2－3）2×30＋(1－3)2×10］＝eq\f(8，5），∴标准差为eq\r（\f（8,5））＝eq\f（2\r（10)，5).6．51根据条件易知，实际18个数据的总和应该是：50×18＋（86－68)＝918，根据平均数的计算方法可得这组数据实际的均值应该是eq\f（918,18）＝51.7．解：样本均值eq\x\to(x)＝eq\f(1,9)（82＋202＋352＋321＋25＋293＋86＋206＋115）≈186.9(mm)．样本方差s2≈eq\f（1,9)[（82－186.9)2＋(202－186。9)2＋…＋(115－186。9）2］≈12184。1（mm2)．样本标准差s＝eq\r（s2）≈110.4（mm）．8．解：（1）eq\x\to(x）甲＝100＋eq\f（1,6)(－1＋0－2＋0＋0＋3）＝100；eq\x\to(x)乙＝100＋eq\f（1,6)（－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100。seq\o\al（2，甲）＝eq\f(1,6)［（99－100)2＋(100－100)2＋（98－100)2＋(100－100）2×2＋（103－100）2]＝eq\f（1，6）［（－1)2＋02＋(－2）2＋02＋02＋32]＝eq\f(7，3），seq\o\al(2，乙）＝eq\f(1，6）［(99－100)2＋（100－100)2×3＋（102－100）2＋(99－100）2］＝eq\f（1，6）［(－1)2＋02＋22＋(－1）2＋02＋02]＝1.∴s甲＝eq\f（\r(21),3)，s乙＝1,即这两组数据的平均值都是100,标准差分别为eq\f（\r(21）,3）与1。(2）由（1）知,eq\x\to(x）甲＝eq\x\to(x)乙，s甲＞s乙，∴乙机床加工的这种零件更符合要求．1．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩,平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为(）A．1。54mB．1。55mC．1.56mD．1.57m答案:Ceq\x\to（x）＝eq\f(300×1。6＋200×1.5,300＋200)＝1。56。2。两个样本，甲:5,4，3,2，1;乙:4,0，2,1,－2。那么样本甲和样本乙的波动大小情况是()A．甲、乙的波动大小一样B．甲的波动比乙的波动大C．乙的波动比甲的波动大D．甲、乙的波动大小无法比较答案：C平均数：eq\x\to（x)甲＝eq\f（1，5）(5＋4＋3＋2＋1)＝3，eq\x\to（x）乙＝eq\f(1,5)(4＋0＋2＋1－2)＝1；方差为seq\o\al（2，甲）＝eq\f(1，5）[(5－3)2＋(4－3）2＋…＋(1－3)2]＝2，∴s甲＝eq\r(2）.seq\o\al(2，乙)＝eq\f（1，5)［（4－1)2＋(0－1)2＋…＋（－2－1)2]＝4，∴s乙＝2。∴s甲＜s乙．∴乙的波动比甲大．3．从总体中抽取的样本数据有m个a，n个b,p个c，则总体的平均数μ的估计值为（）A.eq\f（a＋b＋c,3）B。eq\f(m＋n＋p,3)C.eq\f(ma＋nb＋pc，3）D.eq\f（ma＋nb＋pc,m＋n＋p)答案:D样本均值eq\x\to（x)＝eq\f(ma＋nb＋pc,m＋n＋p)，把它作为总体均值的估计4．(易错题）设有n个样本数据x1、x2、…、xn，其标准差为sx，另有n个样本数据y1、y2、…、yn,且yk＝3xk＋5(k＝1，2，…，n）,其中标准差为sy,则下列关系正确的是()A．sy＝3sx＋5B．sy＝3sxC．sy＝eq\r(3)sxD．sy＝eq\r（3）sx＋5答案：B设x1、x2、…、xn的平均数为eq\x\to(x)，y1、y2、y3、…、yn的平均数为eq\x\to（y)，则eq\x\to（y)＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n）＝eq\f(3x1＋5＋3x2＋5＋…＋3xn＋5，n）＝eq\f（3(x1＋x2＋…＋xn）＋5n,n)＝3eq\x\to（x)＋5,∴seq\o\al（2，y）＝[(3x1＋5－3eq\x\to（x）－5）2＋(3x2＋5－3eq\x\to（x）－5）2＋…＋（3xn＋5－3eq\x\to(x）－5）2］÷n＝eq\f（9［（x1－\x\to(x））2＋（x2－\x\to（x））2＋…＋（xn－\x\to（x）)2],n）＝9seq\o\al（2，x).∴sy＝3sx.点评:对于求样本均值与样本标准差的问题，若给出具体数值,可直接应用公式代入数据运算，或用计算器计算,还较容易些．若用字母符号代替数值，去推导某结论，则显得繁琐且难度较大，易出错．本题条件中所给字母较多，要弄清两组数据标准差的关系，必须正确运用条件及公式进行数式运算，推出结论．本题很容易由条件yk＝3xk＋5(k＝1,2,3，…,n)而误选A项，这是常见错误，应引以为戒．5．一个样本方差是s2＝eq\f（1,10)［(x1－15)2＋(x2－15）2＋…＋（x10－15）2］,则这个样本均值eq\x\to(x）＝______，样本容量是______．答案：1510由方差公式知，样本容量n＝10，均值eq\x\to（x）＝15.6．在一次京剧电视比赛中，11个评委给现场每一个演员评分,并将11个评委的评分的平均数作为该演员的实际得分．对于某个演员的表演，4个评委给他评10分，7个评委给他评9分,那么这个演员的实际得分是______．（精确到小数点后两位）答案：9。36实际得分为eq\f（10×4＋9×7,11）＝eq\f(103,11）≈9.36.7．若a1，a2，…，a20这20个数据的平均数为eq\x\to（x)，方差为0。20，则a1，a2，…，a20，eq\x\to（x）这21个数据的方差约为______．答案：0.19由题意得：eq\f(1，20）[（a1－eq\x\to（x)）2＋（a2－eq\x\to（x))2＋…＋(a20－eq\x\to(x))2]＝0.20，∴（a1－eq\x\to（x）)2＋（a2－eq\x\to（x))2＋…＋（a20－eq\x\to（x))2＝4,且a1＋a2＋…＋a20＝20eq\x\to(x），∴eq\f(a1＋a2＋…＋a20＋\x\to（x),21)＝eq\f(20\x\to（x）＋\x\to(x）,21）＝eq\x\to(x)，即a1，a2，…，a20，eq\x\to(x）这21个数据的平均数也是eq\x\to(x).∴这21个数据的方差是s2＝eq\f（1，21）[4＋(eq\x\to（x)－eq\x\to（x)）2]＝eq\f（4，21)≈0.19.8．（2009海南、宁夏高考，文19）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人）,另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人)．现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．(1）A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如表1和表2所示．表1:生产能力分组[100，110）［110,120）［120，130）[130,140)[140,150)人数48x53表2：生产能力分组[110，120）[120,130）[130,140)[140,150)人数6y3618①先确定x,y，再完成下列频率分布直方