数学三同步训练：第三章概率测评（B卷）（附答案）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章概率测评(B卷)【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共120分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分）1．在某餐厅内抽取100人，其中有30人在15岁以下，35人在16～25岁,25人在26～45岁,10人在46岁以上,则数0。35是16～25岁人员占总体分布的A．概率B．频率C．累计频率D．频数答案：B2．某彩票的中奖概率为eq\f(1,1000），意味着A．买1000张彩票，就一定能中奖B．买1000张彩票，中一次奖C．买1000张彩票，一次奖也不中D．购买一张彩票,中奖的可能性是eq\f(1,1000）答案：D由概率定义知，D正确．3．做A、B、C三件事的费用各不相同，在一次游戏中，要求参加者写出做这三件事所需费用的顺序（由少到多依次排列）．如果某个参加者随意写出一种答案，则他正好答对的概率是A.eq\f（1，3）B。eq\f（1，4)C。eq\f(1,6)D.eq\f（1,12)答案：C记“正好答对"为事件N，将A、B、C排序包含6个基本事件：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB,CBA.故P(N)＝eq\f(1,6)。4．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：年最高水位(单位：m）［8,10）[10，12)［12,14）[14,16)［16，18)概率0。10。280。380。160。08在同一时期内，河流这一处的年最高水位在[14，18）（m）内的概率为A．0。08B．0。16C．0。12D．0.24答案：D河流在某处年最高水位落在各个范围内这些事件是互斥的,所以年最高水位在[14,18）（m）内的概率为：P＝0.16＋0。08＝0.24.5．2008年北京奥运会时，体育场“鸟巢”内在周长为400米的跑道上平均插上了10根彩旗标志杆,一工作人员沿跑道随机进行检查，则该工作人员离标志杆距离不超过5米的概率是A．0。1B．0.25C．0。3D．0。4答案：B距10根标志杆每根不超过5米的距离为10米，共100米，所以所求概率为eq\f（100，400)＝0.25。6．三个人随意入住三间房间，假设每个人入住每间房的概率都是相等的，则三个人住在同一间房的概率是A.eq\f(1,9)B。eq\f(1，18）C.eq\f（1,3)D.eq\f（1,6)答案：A三个人随意入住三间空房，共有27种不同的入住方式，三个人住在同一房间的方式有3种,则三人住在同一房间的概率P＝eq\f(3，27）＝eq\f（1,9）。7．已知事件M：“3粒种子全部发芽”，事件N：“3粒种子都不发芽”，那么事件M和N是A．等可能性事件B．不互斥事件C．互斥但不对立事件D．对立事件答案:C“3粒种子都不发芽”“恰有一粒发芽”“恰有2粒发芽”“全部发芽”共四种情况，它们两两互斥,∴M与N互斥．“至少有一粒发芽"与N对立．∴M与N不对立．故选C。8．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外,其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出黑球的概率是P10，则A．P10＝eq\f(1,10）P1B．P10＝eq\f（1,9)P1C．P10＝0D．P10＝P1答案：D摸球与抽签是一样的，虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后面的人知道先抽的人抽出的结果，那么各个抽签者中签的概率是相等的，并不因抽签的顺序不同而影响到其公平性,∴P10＝P1.9．考虑一元二次方程x2＋mx＋n＝0，其中m，n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为A。eq\f(19,36）B。eq\f(7，18）C。eq\f(4,9)D。eq\f（17，36）答案：A由方程有实根知，m2≥4n。由于n∈N＋,故2≤m≤6.骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑，共有6×6＝36种情形．其中满足条件的有：①m＝2，n只能取1，计1种情况；②m＝3，n可取1或2，计2种情形；③m＝4，n可取1、2、3或4，共计4种情况;④m＝5或6，n均可取1至6的值，共计2×6＝12种情形，故满足条件的情形共有1＋2＋4＋12＝19（种)．∴方程有实根的概率为P＝eq\f(19，36).故选A.10．考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于A．1B。eq\f(1,2)C。eq\f（1，3)D．0答案:A正方体六个面的中心任取三个只能组成两种三角形，一种是等腰直角三角形，如图甲;另一种是正三角形，如图乙．若任取三个点构成的是等腰直角三角形,剩下的三个点也一定构成等腰直角三角形；若任取三个点构成的是正三角形,剩下的三点也一定构成正三角形．这是一个必然事件，因此概率为1。第Ⅱ卷（非选择题共70分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）11．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为eq\f(1,12),则总体中的个体数为__________．答案：120分层抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，则eq\f(10，x）＝eq\f(1，12)⇒x＝120.12．设点A(p，q)在｜p｜≤1，|q|≤1内按均匀分布出现,则满足p2＋q2≥1的概率为________．答案：1－eq\f(π,4)如下图：点A(p，q)在－1≤p≤1,－1≤q≤1的正方形区域可视为区域D，落入阴影区域视为区域d,每个点落入D内是等可能的．记事件A＝“满足p2＋q2≥1的点",则P（A)＝eq\f(阴影面积,正方形面积）＝eq\f（22－π×12，22)＝eq\f（4－π,4）＝1－eq\f（π，4）.13．已知集合P＝{2，4,6，8｝，Q＝｛1，3,5,7｝，在P中任取一个元素用ai（i＝1，2，3，4)表示，在Q中任取一个元素用bj(j＝1,2,3,4）表示，则所取两个数满足ai>bj的概率为________．答案:eq\f(5,8)从P中4个元素中任取一个有4种结果，从Q中4个元素中任取一个也有4种结果．∴基本事件总数共有4×4＝16个．若ai>bj，则所含的基本事件(2，1），（4,1)，(4，3)，(6,1)，(6,3），(6，5),(8,1），（8，3）,（8,5），(8，7)共10个,∴所求概率为:eq\f(10，16）＝eq\f(5，8)。(注：横坐标表示ai,纵坐标表示bj，（ai，bj）表示基本事件)14．给出命题：(1）对立事件一定是互斥事件；(2）若A、B为两个事件，则P(A＋B）＝P（A）＋P(B);（3）若事件A、B、C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1；(4)若事件A、B满足P（A)＋P（B）＝1，则A、B是对立事件．其中错误命题的序号是________．(填上所有假命题的序号)答案：（2)（3）(4)只有（1)正确．（2)只有当A、B互斥时成立;(3)当A、B、C为一个随机试验的仅有的三种结果时正确，若还有其他结果就不对；(4）不正确．反例，抛一颗骰子，观察点数，设“获得点数不超过3"的事件为A，“获得点数为偶数"的事件为B,则P（A)＝0。5，P(B)＝0.5。此时P（A)＋P（B）＝1，但A、B不对立,A与B可能同时发生，如都出现2点．三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1200只作上标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1000只,其中有作过标记的100只,按概率方法估算，此保护区内有多少只这种动物？解：设保护区内有n只这种动物,假定每只动物被逮住的可能性是相等的,从中任逮一只，设事件A＝“作过标记的动物”．由古典概型可知，P(A）＝eq\f(1200，n)。①第二次逮到的1000只中，有100只作过标记，由概率的统计定义可知，P（A)≈eq\f(100,1000）。②由①②两式，可得eq\f(1200,n）＝eq\f（100,1000)。∴n＝12000(只)．答:估计此保护区内约有12000只这种动物．16．（10分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个,甲、乙两人依次各抽一题．（1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少？(2）甲、乙两人至少有1人抽到选择题的概率是多少?解：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90种，即基本事件总数是90.(1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题"为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4＝24.∴P（A)＝eq\f（m，n）＝eq\f(24,90）＝eq\f(4,15).(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题"的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题．记“甲、乙两人都抽到判断题"为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B含基本事件数为4×3＝12。（注：4个判断题，甲抽到一个后还余3个，所以，乙若抽,只能从余下的3个中抽一个,有3种可能的情况，故B发生有4×3＝12种可能结果．）∴由古典概型概率公式，得P(B）＝eq\f(12，90）＝eq\f(2，15），由对立事件的性质可得P（C)＝1－P（B）＝1－eq\f（2,15)＝eq\f(13,15）.17．（10分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语,C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1）求A1被选中的概率；（2)求B1和C1不全被选中的概率．解：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间(指整个事件中所有可能的结果构成的集合)Ω＝｛(A1，B1，C1），（A1,B1，C2），（A1，B2，C1），(A1，B2，C2)，（A1，B3，C1)，（A1,B3,C2)，（A2，B1，C1)，（A2，B1，C2),(A2，B2，C1），(A2，B2，C2)，（A2，B3，C1)，（A2，B3，C2),（A3,B1，C1），(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1）,（A3,B2，C2），（A3,B3,C1），（A3，B3，C2）｝．由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1,B1，C1），(A1,B1，C2)，（A1，B2，C1)，（A1,B2,C2)，（A1，B3,C1）,(A1，B3，C2)｝．事件M由6个基本事件组成，因此P（M）＝eq\f（6，18）＝eq\f（1，3)。(2）用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件eq\x\to（N)表示“B1、C1全被选中"这一事件．由于eq\x\to(N）＝{(A1，B1，C1）,(A2,B1，C1），(A3,B1，C1)｝,事件eq\x\to（N)由3个基本事件组成，所以P(eq\x\to（N)）＝eq\f（3，18）＝eq\f(1,6）,由对立事件的概率公式得P（N）＝1－P(eq\x\to(N））＝1－eq\f（1，6）＝eq\f（5,6）.18．（12分）两个对讲机持有者莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25千米,在下午3：00时莉莉正在基地正东距基地30千米以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40千米以内的某地向基地行驶,试问在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大?解:设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的距离,于是0≤x≤30，0≤y≤40.则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x，y),这里x,y都在他们各自的限制范围内,则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域,每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈这一事件仅当他们之间的距离不超过25千米时发生（如图①),因此构成该事件的点由满足不等式eq\r(x2＋y2)≤25的数对组成,此不等式等价于x2＋y2≤625。图①图②图②中的方形区域代表基本事件组,阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方千米，而所求事件的面积为（eq\f（1，4)）π(25)2＝eq\f（625π，4)，于是有P＝eq\f(625π/4,1200）＝eq\f（625π，4800）≈0.41。19．(12分）一汽车厂生产A，B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下:9.4,8.6，9。2，9。6,8。7,9。3，9。0,8。2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解:(1）设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得eq\f(